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沪科版数学八年级下册19.2菱形、矩形、正方形同步检测专题一
一、选择题
1．（2024八下·涡阳期末）在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（　　）
A．3 B． C．2 D．
2．（2024八下·怀宁期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
3．（2023八下·埇桥期末）如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为　 　．
4．（2024八下·芜湖期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，．
（1）过点作于，则　 　；
（2）四边形的面积为　 　．
5．（2024八下·庐江期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为　 　．
（2）线段长度的最小值为　 　．
三、平行四边形
6．（2022八下·定远期末）如图，四边形的对角线、相交于点，，过点且与、分别相交于点、，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，周长是15，求四边形的周长.
7．（2023八下·涡阳期中）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）在中，若，，，求边上的高．
8．（2024八下·合肥期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，，，．
（1）的长为　 　．
（2）点为平行四边形边上的一个动点，设点到直线的距离为．当时，满足条件的点有　 　个．
9．（2023八下·蒙城期末）在中，，F是的中点，作于点E，垂足E在线段上（不与A、B重合），连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，若E为的中点，请直接写出与的关系．
10．（2023八下·桐城期末）如图，在平行四边形中，，平分，于点E，连接．
（1）求证：
（2）求的值
（3）求证：
11．（2023八下·凤台期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）探索，和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，利用（2）中结论，已知，求的长．
12．（2021八下·淮南期中）请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1， ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
（1）尝试发现
按图1填空：
①若 ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　 　；
②若 ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是　 　．
（2）应用发现
如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积．
（3）应用拓展
如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是　 　．
13．（2023八下·涡阳期中） 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、．
（1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，；
（3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：．
14．（2023八下·蜀山期末）如图 1，在矩形中，点是边上一点，点 在 延长线上，且.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，在上取一点，使 ，连接 交于点，令=
①求的度数 (请用含的代数式表示)；
②若，求证：四边形为正方形.
四、菱形
15．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且．
（1）求证：四边形为菱形
（2）若，，求四边形的面积
16．（2023八下·合肥期末）如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为，求的长．
17．（2023八下·安庆期末）如图，正方形中，，点，是对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并加以证明；
（3）设的延长线交边于点，若点恰为边的中点，求四边形的周长与面积．
18．（2023八下·庐阳期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．
五、矩形
19．（2023八下·临泉期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E．与交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求的面积．
20．（2022八下·无为期末）如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别是AD，BC的中点，G、H是对角线AC上的两个动点，且分别从点A、点C同时都以每秒1个单位长度的速度相向而行，运动时间为t秒，其中．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）若点从E点出发沿直线AD向右运动，点从F点出发沿直线CB向左运动，且与点G，H以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，求t的值．
21．（2023八下·桐城期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形
（2）连接，若，，求的长
22．（2023八下·潘集期末）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）填空：当　秒时，四边形是矩形．
（3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形的面积； 如果不能，说明理由．
23．（2023八下·凤阳期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
24．（2024八下·凤台期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，．
（1）直接写出点的坐标： ；
（2）如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度；
（3）如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标．
六、正方形
25．（2022八下·包河期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，过D点作交BC的延长线于点F．AG平分交DF于点G，交DC于点M．
（1）若，，求AB长；
（2）求证：
26．（2023八下·瑶海期末）如图，正方形中，E为边上一点，交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E为的中点，，求正方形的面积，
27．（2023八下·芜湖期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点Q，交于点P，于点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）①连接，判断的度数，并证明；
②若，，求的长．
28．（2022八下·肥东期末）如图，在中，，，点D为延长线上一点，以为边在右侧作正方形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，请画出正方形的两条对角线并求出它们的长度．
29．（2023八下·淮北期中）如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点(0（1）求证：AM=MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM= PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD=4，求AM的长．
30．（2023八下·合肥期末）如图，在边长为4的正方形中，
（1）如图1，，垂足为点O，求证：；
（2）如图2，垂直平分，且，求的长；
（3）如图3，，点F、R和S分别为、和的中点，，求的长．
31．（2023八下·瑶海期末）如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）连接 ，求的长；
（3）如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为　 　．
32．（2022八下·瑶海期末）在正方形ABCD和正方形AEFG中，分别连接AC、AF、CF，点H为CF的中点．
（1）如图1，当点F、G分别在线段AB、AC上，求∠BHG的度数；
（2）如图2，当点E、F、G分别在线段AB、AC、AD上，求证：GH=BH；
（3）如图3，当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，求BGH的面积．
七、四边形综合
33．（2023八下·凤阳期末）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．
（1）定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是　 　；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形；
（3）如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由．
34．（2024八下·大余期末）在中，在的左边，，将关于作轴对称，得四边形是对角线上的动点，是直线上的动点，且．
（1）四边形如图所示，四边形是　 　填“矩形”或“菱形”或“正方形”；　 　填“”或“”；
（2）四边形如图所示，且，四边形是_▲_填“矩形”或“菱形”或“正方形”；中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
（3）四边形如图所示，若，，请直接写出的度数用含、的代数式表示
35．（2024八下·斗门期中）（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；
（2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；
（3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．
36．（2025八下·永定期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
（1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
（2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
（3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
37．（2023八下·长丰期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图，是中垂三角形，，分别是，边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形．
（2）如图，在中垂三角形中，，分别是边，上的中线，且于点，求证：．
（3）如图，四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长，交于点求证：是中垂三角形；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
3．【答案】2.5
【知识点】三角形的中位线定理
4．【答案】4；24
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
5．【答案】10；
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质
6．【答案】（1）解：∵，
∴，∴
∴，∴
∵
∴，
∴
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，∴
∴
即
∵中
∴的周长是.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先求出，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
7．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合BE=DF，可得AF=EC，根据一组对边平行且相等可证四边形 是平行四边形；
（2）由勾股定理求出BC=10，根据 即可求出AG的长.
8．【答案】；3
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
9．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长，交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∵
∴，
∴，即为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
F是AD的中点，E是AB的中点
故答案为
【分析】（1）根据 平行四边形性质，根据 F是的中点， 得到，求得即可求出答案。
（2）根据平行四边形性质，可证明，根据全等三角形性质，直角三角形性质即可求出答案。
（3）根据平行四边形性质，全等三角形性质，三角形面积公式即可求出答案。
10．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵平分，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：延长，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即为的中点，
又∵，即是直角三角形，
∴，
∴；
（3）证明：过点作，则四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可知，
由等腰三角形三线合一可得：平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）、本题属平行四边形的内容，通过考查平行四边形的性质，角平分线的性质得出AD=CF，最后证出DF=CF.
（2）、由 想到延长BF，AD构造直角三角形，再证出点F为BG的中点，即可求出 的值 .
（3）、 作 ，可证出四边形AHFD为平行四边形，四边形BCFH为菱形，再由等腰三角形的性质，得出 ，本小题为为灵活性较强的题型.
11．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：如图，连接，过点 E作交于点G，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
由（1）可知，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据，，得出，进而结合图形，即可求解；
（2）连接，过点 E作交于点G，证明，得出是等腰直角三角形，然后勾股定理即可求解；
（3）根据题意得出四边形是平行四边形，勾股定理求得CD=AB=，勾股定理求得AD，即可求解．
12．【答案】（1）18；10
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵ OA＝OC＝
∴在Rt△AOD中，OD＝
∴S菱形ABCD＝
∴S四边形ABFE＝S菱形ABCD =
（3）4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】尝试发现：（1）①∵四边形ABCD的周长为24
∴AB+BC=12
由典例再现可得，△AOE≌△COF
∴AE=CF，OE=OF
∴EF=2OE=6
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=12+6=18；
故答案为：18；
②∵四边形ABCD的面积为20，
∴
由①知△AOE≌△COF
∴
∴
故答案为：10
（3）如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在
和
中，
∴≌
∴，
∴
∴
故答案为：4
【分析】（1）①由平行四边形的性质可得AB+BC=12，由典例再现可证△AOE≌△COF，可得AE=CF，OE=OF，即得EF=2OE=6，根据四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+
EF，据此即可得解；②由平行四边形的性质可得
由①知△AOE≌△COF，可得
，从而可得 ；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD ，OA＝OC＝ ，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OD的长，根据S菱形ABCD＝
AC×BD求出面积， 利用S四边形ABFE＝S菱形ABCD 即可求解；
（3），延长AD到E，使DE=AD，连接CE，证明 ≌ ，可得 ， ，利用勾股定理求出AE的长，根据 即可求解.
13．【答案】（1）证明：∵D，E分别是 的边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
同理： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ，
∴ ， ，
由（1）知，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（3）证明：在射线 上截取 ，连接 ， ，
∵D，O分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 即 ，
同理： ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ， ， ， ，即得 ， ，根据一组对边平行且相等即证结论；
（2）取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ， 由（1）知，四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质可得 ， ， 根据线段的中点即可求解；
（3） 在射线 上截取 ，连接 ， ， 利用三角形中位线定理可证四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质即得结论.
14．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：①∵，=，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②延长至，使，连接，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边（AD和FE）平行且相等可判定四边形AFED为平行四边形；
（2）①首先可求得等腰△APD的顶角∠PAD的度数，然后根据（1）的结论四边形AFED为平行四边形，得出∠FED=∠PAD，然后可得∠CDE的度数；②延长BC至G，使AQ=CG，连接AG，根据等腰△DEG的顶角，可求得底角∠G=90°-α，得出∠CDG=∠APD=∠ADP=α，然后通过证明 △ADQ≌△CDG得出对应边AD=CD，从而得出 矩形ABCD为正方形．
15．【答案】（1）证明：
∵，为边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，即可得证；
（2）勾股定理求得BC，进而根据三角形面积公式以及菱形的性质即可求解．
16．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是斜边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接交于点O，设，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
解得（舍去）．
故．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而根据菱形的判定定理即可求解；
（2）连接交于点O，设，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得DO，进而求得菱形的面积，根据等面积法，列出一元二次方程，解方程即可求解．
17．【答案】（1）解：证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴、互相垂直平分，
∴四边形是菱形；
（3）解：过点E作于M，于N，则，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵正方形中，，点恰为边的中点，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的周长为，面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）连接交于点O，先证出、互相垂直平分，可得四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可得到四边形是菱形；
（3）过点E作于M，于N，则，先求出，再利用菱形的周长公式及面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）解：，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，由角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，等量代换得到AD=BC，由菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据垂直的定义得到∠AEC=90°，根据菱形的性质得到AO=CO， AC⊥BD，根据勾股定理即可得到结论.
19．【答案】（1）证明：将矩形沿对角线折叠，则，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质及全等三角形的判定定理即可求出答案。
（2）根据全等三角形性质得，根据矩形性质即可求出答案。
（3）由得，设，根据矩形性质得，由勾股定理可解得，再利用三角形面积公式即可求出答案。
20．【答案】（1）解：由题意，得，∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴，而E，F分别是AD，BC的中点，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：如图1，连接EF，
∵，，，∴四边形ABFE是矩形，
∴，当四边形EGFH是矩形时，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵，∴，∴，即四边形EGFH为矩形时；
（3）解：设t秒时四边形为菱形，此时点E、F分别运动到点、的位置（如图2），连接，，，与AC交于点O．
∵四边形为菱形，，，，
∴，，∴四边形为菱形，∴，，在Rt△CD中，
由勾股定理得，即，解得，∴当时，四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再结合矩形的性质可得，所以，再求出t的值即可；
（3）先证明四边形为菱形，可得，，利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出t的值即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，则，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，则为的中点，
设，
∵四边形是矩形，，，
则，，
∴，，即：，
解得：，即：，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）、本题属平行四边形，综合考查菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，通过有一个角是直角的平行四边形是矩形证得；
（2）、通过勾股定理和菱形的性质求得CD的长，再由勾股定理求出OC的长，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OE的长.
22．【答案】（1）证明：在中，，，，
．
又，
；
（2）
（3）解：能；
理由如下：
，，
．
又，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形．
当时，四边形能够成为菱形．
此时，，
，
此时四边形的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】（2）∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即6-2t=2t，
解得：；
故答案为：．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合题意，即可求解；
（2）根据矩形的性质，△ DEF 为直角三角形且 ∠ EDF=90° ，进而即可求解；
（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=6-2t，根据四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，t=6-2t，求出t的值即可．
23．【答案】（1）证明：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：选择①，四边形是菱形，证明：
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，又，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）首先证明△ACE≌△ACB，从而得出∠ACE=∠ACB，再根据AD∥BC，可得∠FAC=∠ACB，等量代换为∠ACE=∠FAC，得出△FAC是等腰三角形，根据矩形性质知道点O是AC的中点，所以FO⊥AC；
（2）选择①②，所得结论都是四边形AODE是菱形。先通过证明AE=OD，AE∥OD，可得四边形AODE是平行四边形，再结合OA=OD，可得四边形AODE是菱形。
24．【答案】（1）
（2）线段的长度为3
（3）点的坐标为
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ADEF，AB＝DC，∠ABE＝∠DCB＝∠DCF＝∠DAB＝90°，
∵AEDF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴∠BAE＝∠CDF，
∵AM平分∠DAE，∠DAM＝30°，
∴∠EAM＝∠DAM＝30°，
∴∠BAE＝90° 30° 30°＝30°，
∴∠CDF＝∠BAE＝30°，
∴DF＝2CF，
∵CF＝1，
∴DF＝2，
∴DC＝＝，
∴AB＝DC＝；
（2）证明：如图2，过点G作GN⊥DG交DC的延长线于点N，
由（1）可知Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠BAE＝∠CDF，BE＝CF，
∵AEDF，
∴∠EAG＝∠DGA，
∵AM平分∠DAE，
∴∠DAM＝∠EAG，
∴∠DAM＝∠DGA，
∴AD＝DG，
∴AB＝DG，
在△ABE和△DGN中，，
∴△ABE≌△DGN（ASA），
∴AE＝DN，BE＝GN，
∵∠MAD＋∠AMD＝90°，∠AMD＝∠NMG，
∴∠MAD＋∠NMG＝90°，
∵∠AGD＋∠NGM＝90°，∠MAD＝∠AGD，
∴∠MAD＋∠NGM＝90°，
∴∠NMG＝∠NGM，
∴NM＝NG，
∴MN＝NG＝BE＝CF，
∵DM＋MN＝DN，
∴DM＋CF＝AE．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证出Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），可得∠BAE＝∠CDF，再求出∠CDF＝∠BAE＝30°，可得DF＝2CF=2，利用勾股定理求出DC的长，即可得到AB＝DC＝；
（2）过点G作GN⊥DG交DC的延长线于点N，先证出△ABE≌△DGN（ASA），可得AE＝DN，BE＝GN，再利用角的运算求出∠NMG＝∠NGM，可得MN=NG，再利用线段的和差及等量代换可得DM＋CF＝AE。
26．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：过D点作于点H，
则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
即，
在中，，，
由勾股定理得，
即正方形的面积为20．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，进而结合已知条件证明在中
（2）证明，根据（1）得出三角形是等腰直角三角形，勾股定理求得，即可求解．
27．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过D点作于M点，过D点作于N点，如图，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
在（1）中已证明，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴；
②∵矩形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）、由∠B=22.5°联想到45°特殊角，从而证出△ADP为等腰直角三角形，再通过角角边证明出两三角形全等，证出DF=DC；
（2）、通过作辅助线，得出四边形DMEN为正方形，由DE为正方形的对角线可得∠PED的度数；再根据勾股定理，垂直平分线的性质得出AD、BP的长，再求出BD的长.
28．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌(SAS)，
，
，
；
（2）解：如图，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
由（1）可知，，≌，
，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证出≌(SAS)，可得BD=CF，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先求出，再利用勾股定理可得，最后利用正方形的性质可得。
29．【答案】（1）证明：如图1，过点M分别作ME⊥CD于点E．MF． L AD于点F，则
∠DFM=∠MEN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DB平分∠ADC，
∴ME= MF．
∴∠EMF=360°-∠ DFM-∠MEN-∠ADC=90°，
∵AM⊥MN，
∴AMN=90°，
∴∠AMN=∠EMF．
∴∠AMF=∠ NME．
∴△AMF≌△NME．
∴AM= MN．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．∠BAD= 90°，
∵四边形AMNP是矩形，且AM= MN．
∴四边形AMNP是正方形，
∴AM=AP，∠MAP= 90° ，
∴∠BAD=∠MAP．
∴∠BAM=∠DAP，
∴△ABM≌△ADP，
∴BM=PD
②如图2．连接MP．∵正方形ABCD的边长为6，
∴∠ABM=∠ADM=45°．∠BAD=90°．AB=AD=6，
在Rt△ABD中．BD2=AB2+AD2．
∴BD= AB= 12．
∵PD=4．
∴DM= BD- BM=12-4=8．
由(2)①得△ABM≌△ADP．
．∠ADP=∠．ABM=45°，
．∠PDM= 2 ADP+∠ADM= 90°，
在Rt△PMD中，PM2= PD2+MD2=42+82=16+64=80．
∴PM=4．
由(2)①得∠MAP=90°．AM=AP．
在Rt△AMP中．MP2= AM2+AP2，
∴80= 2AM2
∴AM=40．AM=2．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点M分别作ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，得四边形FMED是矩形，然后证明△AMF（ASA），即可解决问题；
（2）①先证明四边形AMNP是正方形，再证明（SAS），即可解决问题；
②连接MP，根据勾股定理即可解决问题
30．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，垂足为点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵正方形，
∴，
∵垂直平分， 且，
∴，
设，
则，，
∴，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
解得，
故．
（3）解：如图，过点G作于点N，
∵正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，垂足为点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，，．
连接，并延长交于点M，
∵正方形，
∴，
∴，
∵R是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
连接，
∴．
∵S是的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）设，勾股定理求得，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可求解；
（3）过点G作于点N，证明，进而得出，连接，并延长交于点M，连接，证明，得出，勾股定理求得EM，根据S是的中点，即可求解．
31．【答案】（1）证明：∵四边形和是正方形 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图1，
取的中点Q，连接，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）如图2，
延长，交于R，作于T，
可得矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理（1）可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再求出，最后利用勾股定理求出即可；
（3）延长，交于R，作于T，先利用线段的和差求出，再利用全等三角形的性质可得，最后求出即可.
32．【答案】（1）解：∵正方形ABCD和正方形AEFG中，AC和AF是对角线，
∴，，
∵当点F在线段AB上，
∴．
∵在和中，点H为斜边CF的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点H作于点M，交CD于点P，延长GF交HM于点N．
在正方形ABCD和正方形AEFG中，
，，
又∵，
∴四边形和四边形均是矩形，
∴，，．
∵点H为CF的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵中，，，
∴，
∴，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
又∵，，
∴，即，
∴．
在和中，
，
∴，
∴GH=BH；
（3）解：当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，则，，
∴，
延长GH交BC于点Q，如图：
∵点H为CF的中点，
∴，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即BGH的面积是．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先求出，，可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点H作于点M，交CD于点P，延长GF交HM于点N，先证出，可得，再证出 是等腰直角三角形， 可得，再证出，可得GH=BH；
（3）延长GH交BC于点Q，先证出， 可得，，再求出，，结合，求出即可。
33．【答案】（1）②④
（2）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为等邻角四边形．
（3）解：，理由如下：
过点P作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为等邻角四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） ①平行四边形 ：邻角不一定相等，所以不一定是等邻角四边形 ；②矩形：四个角都是直角，所以邻角也相等，所以是等邻角四边形；③菱形 ：邻角不一定相等，所以不一定是等邻角四边形 ； ④正方形 ：四个角都是直角，所以邻角也相等，所以是等邻角四边形；
故答案为：②④.
【分析】（1）结合四种图形的性质，分别判断是不是符合等邻角四边形的条件，分别进行判断，即可得出答案；
（2）通过证明△APC≌△BPD，得出对应角∠APC=∠BPD，根据等式的性质，进一步得∠CPD=∠APB，然后根据三角形内角和，两个等腰三角形的顶角相等，得出其底角∠ABC=∠DCP，从而判定四边形ABCD是等邻角四边形；
（3）过点P作PF⊥CE，垂足为F， 通过证明△CPF≌△PCN，得到CF=PN，再证明四边形MPFE是矩形，得到EF=PM，然后，由等式的性质得到PM+PN=EF+CF，即PM+PN=CE。
34．【答案】（1）菱形；=
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
成立，理由如下：
过点P作交于点M，交于点N，如图所示：
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：E在B右侧时，=；E在B左侧时，=；当E在上时，=或．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（3）由题意可知四边形是菱形，
∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
【分析】（1）设、相交于点F，先根据轴对称的性质得到，，，进而根据菱形的判定与性质得到，从而根据平行线的性质得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意等量代换即可求解；
（2）先根据（1）中同理可证，四边形是菱形， 进而根据正方形的判定即可填空；过点P作交于点M，交于点N，先根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义得到，结合题意等量代换得到，再进行转换得到，从而即可得到∠DPE=90°，进而即可求解；
（3）先根据菱形的性质结合三角形全等的判定证明，进而分类讨论：E在B右侧时，E在B左侧时，当E在上时，根据三角形全等的判定与性质结合题意进行角的运算即可求解。
35．【答案】解：（1）证明：菱形四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
∵，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
∵，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合EF⊥AC，即可证出平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先求出，再利用等角对等边的性质可得；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先求出，再利用勾股定理可得，最后求出AF的长即可.
36．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
37．【答案】（1）证明：如图，，，
．
连接，
由题意可得，，，是的中位线，
，
，
，．
又，
≌，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图，连接，
，分别是边，上的中线，
，，，
，，，
在中，，
在中，，
；
（3）如图，连接，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
则，且，
四边形是菱形，
，，且，
，，
，，
，是的中线，
是中垂三角形．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意先求出∠ABD=45°，再根据平行线的性质求出 ， 最后利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据三角形的中线求出 ，，， 再利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据三角形的中位线求出 ，且， 再根据菱形的性质求出 ，，且， 最后证明求解即可。
1 / 1沪科版数学八年级下册19.2菱形、矩形、正方形同步检测专题一
一、选择题
1．（2024八下·涡阳期末）在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
2．（2024八下·怀宁期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
二、填空题
3．（2023八下·埇桥期末）如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为　 　．
【答案】2.5
【知识点】三角形的中位线定理
4．（2024八下·芜湖期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，．
（1）过点作于，则　 　；
（2）四边形的面积为　 　．
【答案】4；24
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
5．（2024八下·庐江期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为　 　．
（2）线段长度的最小值为　 　．
【答案】10；
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质
三、平行四边形
6．（2022八下·定远期末）如图，四边形的对角线、相交于点，，过点且与、分别相交于点、，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，周长是15，求四边形的周长.
【答案】（1）解：∵，
∴，∴
∴，∴
∵
∴，
∴
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，∴
∴
即
∵中
∴的周长是.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先求出，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
7．（2023八下·涡阳期中）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）在中，若，，，求边上的高．
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合BE=DF，可得AF=EC，根据一组对边平行且相等可证四边形 是平行四边形；
（2）由勾股定理求出BC=10，根据 即可求出AG的长.
8．（2024八下·合肥期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，，，．
（1）的长为　 　．
（2）点为平行四边形边上的一个动点，设点到直线的距离为．当时，满足条件的点有　 　个．
【答案】；3
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
9．（2023八下·蒙城期末）在中，，F是的中点，作于点E，垂足E在线段上（不与A、B重合），连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，若E为的中点，请直接写出与的关系．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长，交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∵
∴，
∴，即为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
F是AD的中点，E是AB的中点
故答案为
【分析】（1）根据 平行四边形性质，根据 F是的中点， 得到，求得即可求出答案。
（2）根据平行四边形性质，可证明，根据全等三角形性质，直角三角形性质即可求出答案。
（3）根据平行四边形性质，全等三角形性质，三角形面积公式即可求出答案。
10．（2023八下·桐城期末）如图，在平行四边形中，，平分，于点E，连接．
（1）求证：
（2）求的值
（3）求证：
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵平分，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：延长，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即为的中点，
又∵，即是直角三角形，
∴，
∴；
（3）证明：过点作，则四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可知，
由等腰三角形三线合一可得：平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）、本题属平行四边形的内容，通过考查平行四边形的性质，角平分线的性质得出AD=CF，最后证出DF=CF.
（2）、由 想到延长BF，AD构造直角三角形，再证出点F为BG的中点，即可求出 的值 .
（3）、 作 ，可证出四边形AHFD为平行四边形，四边形BCFH为菱形，再由等腰三角形的性质，得出 ，本小题为为灵活性较强的题型.
11．（2023八下·凤台期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）探索，和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，利用（2）中结论，已知，求的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：如图，连接，过点 E作交于点G，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
由（1）可知，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据，，得出，进而结合图形，即可求解；
（2）连接，过点 E作交于点G，证明，得出是等腰直角三角形，然后勾股定理即可求解；
（3）根据题意得出四边形是平行四边形，勾股定理求得CD=AB=，勾股定理求得AD，即可求解．
12．（2021八下·淮南期中）请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1， ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
（1）尝试发现
按图1填空：
①若 ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　 　；
②若 ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是　 　．
（2）应用发现
如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积．
（3）应用拓展
如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是　 　．
【答案】（1）18；10
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵ OA＝OC＝
∴在Rt△AOD中，OD＝
∴S菱形ABCD＝
∴S四边形ABFE＝S菱形ABCD =
（3）4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】尝试发现：（1）①∵四边形ABCD的周长为24
∴AB+BC=12
由典例再现可得，△AOE≌△COF
∴AE=CF，OE=OF
∴EF=2OE=6
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=12+6=18；
故答案为：18；
②∵四边形ABCD的面积为20，
∴
由①知△AOE≌△COF
∴
∴
故答案为：10
（3）如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在
和
中，
∴≌
∴，
∴
∴
故答案为：4
【分析】（1）①由平行四边形的性质可得AB+BC=12，由典例再现可证△AOE≌△COF，可得AE=CF，OE=OF，即得EF=2OE=6，根据四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+
EF，据此即可得解；②由平行四边形的性质可得
由①知△AOE≌△COF，可得
，从而可得 ；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD ，OA＝OC＝ ，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OD的长，根据S菱形ABCD＝
AC×BD求出面积， 利用S四边形ABFE＝S菱形ABCD 即可求解；
（3），延长AD到E，使DE=AD，连接CE，证明 ≌ ，可得 ， ，利用勾股定理求出AE的长，根据 即可求解.
13．（2023八下·涡阳期中） 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、．
（1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，；
（3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：．
【答案】（1）证明：∵D，E分别是 的边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
同理： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ，
∴ ， ，
由（1）知，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（3）证明：在射线 上截取 ，连接 ， ，
∵D，O分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 即 ，
同理： ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ， ， ， ，即得 ， ，根据一组对边平行且相等即证结论；
（2）取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ， 由（1）知，四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质可得 ， ， 根据线段的中点即可求解；
（3） 在射线 上截取 ，连接 ， ， 利用三角形中位线定理可证四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质即得结论.
14．（2023八下·蜀山期末）如图 1，在矩形中，点是边上一点，点 在 延长线上，且.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，在上取一点，使 ，连接 交于点，令=
①求的度数 (请用含的代数式表示)；
②若，求证：四边形为正方形.
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：①∵，=，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②延长至，使，连接，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边（AD和FE）平行且相等可判定四边形AFED为平行四边形；
（2）①首先可求得等腰△APD的顶角∠PAD的度数，然后根据（1）的结论四边形AFED为平行四边形，得出∠FED=∠PAD，然后可得∠CDE的度数；②延长BC至G，使AQ=CG，连接AG，根据等腰△DEG的顶角，可求得底角∠G=90°-α，得出∠CDG=∠APD=∠ADP=α，然后通过证明 △ADQ≌△CDG得出对应边AD=CD，从而得出 矩形ABCD为正方形．
四、菱形
15．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且．
（1）求证：四边形为菱形
（2）若，，求四边形的面积
【答案】（1）证明：
∵，为边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，即可得证；
（2）勾股定理求得BC，进而根据三角形面积公式以及菱形的性质即可求解．
16．（2023八下·合肥期末）如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是斜边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接交于点O，设，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
解得（舍去）．
故．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而根据菱形的判定定理即可求解；
（2）连接交于点O，设，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得DO，进而求得菱形的面积，根据等面积法，列出一元二次方程，解方程即可求解．
17．（2023八下·安庆期末）如图，正方形中，，点，是对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并加以证明；
（3）设的延长线交边于点，若点恰为边的中点，求四边形的周长与面积．
【答案】（1）解：证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴、互相垂直平分，
∴四边形是菱形；
（3）解：过点E作于M，于N，则，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵正方形中，，点恰为边的中点，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的周长为，面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）连接交于点O，先证出、互相垂直平分，可得四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可得到四边形是菱形；
（3）过点E作于M，于N，则，先求出，再利用菱形的周长公式及面积公式求解即可.
18．（2023八下·庐阳期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．
【答案】（1）解：证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）解：，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，由角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，等量代换得到AD=BC，由菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据垂直的定义得到∠AEC=90°，根据菱形的性质得到AO=CO， AC⊥BD，根据勾股定理即可得到结论.
五、矩形
19．（2023八下·临泉期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E．与交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：将矩形沿对角线折叠，则，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质及全等三角形的判定定理即可求出答案。
（2）根据全等三角形性质得，根据矩形性质即可求出答案。
（3）由得，设，根据矩形性质得，由勾股定理可解得，再利用三角形面积公式即可求出答案。
20．（2022八下·无为期末）如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别是AD，BC的中点，G、H是对角线AC上的两个动点，且分别从点A、点C同时都以每秒1个单位长度的速度相向而行，运动时间为t秒，其中．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）若点从E点出发沿直线AD向右运动，点从F点出发沿直线CB向左运动，且与点G，H以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，求t的值．
【答案】（1）解：由题意，得，∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴，而E，F分别是AD，BC的中点，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：如图1，连接EF，
∵，，，∴四边形ABFE是矩形，
∴，当四边形EGFH是矩形时，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵，∴，∴，即四边形EGFH为矩形时；
（3）解：设t秒时四边形为菱形，此时点E、F分别运动到点、的位置（如图2），连接，，，与AC交于点O．
∵四边形为菱形，，，，
∴，，∴四边形为菱形，∴，，在Rt△CD中，
由勾股定理得，即，解得，∴当时，四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再结合矩形的性质可得，所以，再求出t的值即可；
（3）先证明四边形为菱形，可得，，利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出t的值即可。
21．（2023八下·桐城期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形
（2）连接，若，，求的长
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，则，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，则为的中点，
设，
∵四边形是矩形，，，
则，，
∴，，即：，
解得：，即：，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）、本题属平行四边形，综合考查菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，通过有一个角是直角的平行四边形是矩形证得；
（2）、通过勾股定理和菱形的性质求得CD的长，再由勾股定理求出OC的长，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OE的长.
22．（2023八下·潘集期末）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）填空：当　秒时，四边形是矩形．
（3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形的面积； 如果不能，说明理由．
【答案】（1）证明：在中，，，，
．
又，
；
（2）
（3）解：能；
理由如下：
，，
．
又，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形．
当时，四边形能够成为菱形．
此时，，
，
此时四边形的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】（2）∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即6-2t=2t，
解得：；
故答案为：．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合题意，即可求解；
（2）根据矩形的性质，△ DEF 为直角三角形且 ∠ EDF=90° ，进而即可求解；
（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=6-2t，根据四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，t=6-2t，求出t的值即可．
23．（2023八下·凤阳期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）证明：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：选择①，四边形是菱形，证明：
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，又，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）首先证明△ACE≌△ACB，从而得出∠ACE=∠ACB，再根据AD∥BC，可得∠FAC=∠ACB，等量代换为∠ACE=∠FAC，得出△FAC是等腰三角形，根据矩形性质知道点O是AC的中点，所以FO⊥AC；
（2）选择①②，所得结论都是四边形AODE是菱形。先通过证明AE=OD，AE∥OD，可得四边形AODE是平行四边形，再结合OA=OD，可得四边形AODE是菱形。
24．（2024八下·凤台期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，．
（1）直接写出点的坐标： ；
（2）如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度；
（3）如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）线段的长度为3
（3）点的坐标为
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质
六、正方形
25．（2022八下·包河期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，过D点作交BC的延长线于点F．AG平分交DF于点G，交DC于点M．
（1）若，，求AB长；
（2）求证：
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ADEF，AB＝DC，∠ABE＝∠DCB＝∠DCF＝∠DAB＝90°，
∵AEDF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴∠BAE＝∠CDF，
∵AM平分∠DAE，∠DAM＝30°，
∴∠EAM＝∠DAM＝30°，
∴∠BAE＝90° 30° 30°＝30°，
∴∠CDF＝∠BAE＝30°，
∴DF＝2CF，
∵CF＝1，
∴DF＝2，
∴DC＝＝，
∴AB＝DC＝；
（2）证明：如图2，过点G作GN⊥DG交DC的延长线于点N，
由（1）可知Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠BAE＝∠CDF，BE＝CF，
∵AEDF，
∴∠EAG＝∠DGA，
∵AM平分∠DAE，
∴∠DAM＝∠EAG，
∴∠DAM＝∠DGA，
∴AD＝DG，
∴AB＝DG，
在△ABE和△DGN中，，
∴△ABE≌△DGN（ASA），
∴AE＝DN，BE＝GN，
∵∠MAD＋∠AMD＝90°，∠AMD＝∠NMG，
∴∠MAD＋∠NMG＝90°，
∵∠AGD＋∠NGM＝90°，∠MAD＝∠AGD，
∴∠MAD＋∠NGM＝90°，
∴∠NMG＝∠NGM，
∴NM＝NG，
∴MN＝NG＝BE＝CF，
∵DM＋MN＝DN，
∴DM＋CF＝AE．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证出Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），可得∠BAE＝∠CDF，再求出∠CDF＝∠BAE＝30°，可得DF＝2CF=2，利用勾股定理求出DC的长，即可得到AB＝DC＝；
（2）过点G作GN⊥DG交DC的延长线于点N，先证出△ABE≌△DGN（ASA），可得AE＝DN，BE＝GN，再利用角的运算求出∠NMG＝∠NGM，可得MN=NG，再利用线段的和差及等量代换可得DM＋CF＝AE。
26．（2023八下·瑶海期末）如图，正方形中，E为边上一点，交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E为的中点，，求正方形的面积，
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：过D点作于点H，
则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
即，
在中，，，
由勾股定理得，
即正方形的面积为20．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，进而结合已知条件证明在中
（2）证明，根据（1）得出三角形是等腰直角三角形，勾股定理求得，即可求解．
27．（2023八下·芜湖期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点Q，交于点P，于点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）①连接，判断的度数，并证明；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过D点作于M点，过D点作于N点，如图，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
在（1）中已证明，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴；
②∵矩形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）、由∠B=22.5°联想到45°特殊角，从而证出△ADP为等腰直角三角形，再通过角角边证明出两三角形全等，证出DF=DC；
（2）、通过作辅助线，得出四边形DMEN为正方形，由DE为正方形的对角线可得∠PED的度数；再根据勾股定理，垂直平分线的性质得出AD、BP的长，再求出BD的长.
28．（2022八下·肥东期末）如图，在中，，，点D为延长线上一点，以为边在右侧作正方形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，请画出正方形的两条对角线并求出它们的长度．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌(SAS)，
，
，
；
（2）解：如图，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
由（1）可知，，≌，
，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证出≌(SAS)，可得BD=CF，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先求出，再利用勾股定理可得，最后利用正方形的性质可得。
29．（2023八下·淮北期中）如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点(0（1）求证：AM=MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM= PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD=4，求AM的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点M分别作ME⊥CD于点E．MF． L AD于点F，则
∠DFM=∠MEN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DB平分∠ADC，
∴ME= MF．
∴∠EMF=360°-∠ DFM-∠MEN-∠ADC=90°，
∵AM⊥MN，
∴AMN=90°，
∴∠AMN=∠EMF．
∴∠AMF=∠ NME．
∴△AMF≌△NME．
∴AM= MN．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．∠BAD= 90°，
∵四边形AMNP是矩形，且AM= MN．
∴四边形AMNP是正方形，
∴AM=AP，∠MAP= 90° ，
∴∠BAD=∠MAP．
∴∠BAM=∠DAP，
∴△ABM≌△ADP，
∴BM=PD
②如图2．连接MP．∵正方形ABCD的边长为6，
∴∠ABM=∠ADM=45°．∠BAD=90°．AB=AD=6，
在Rt△ABD中．BD2=AB2+AD2．
∴BD= AB= 12．
∵PD=4．
∴DM= BD- BM=12-4=8．
由(2)①得△ABM≌△ADP．
．∠ADP=∠．ABM=45°，
．∠PDM= 2 ADP+∠ADM= 90°，
在Rt△PMD中，PM2= PD2+MD2=42+82=16+64=80．
∴PM=4．
由(2)①得∠MAP=90°．AM=AP．
在Rt△AMP中．MP2= AM2+AP2，
∴80= 2AM2
∴AM=40．AM=2．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点M分别作ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，得四边形FMED是矩形，然后证明△AMF（ASA），即可解决问题；
（2）①先证明四边形AMNP是正方形，再证明（SAS），即可解决问题；
②连接MP，根据勾股定理即可解决问题
30．（2023八下·合肥期末）如图，在边长为4的正方形中，
（1）如图1，，垂足为点O，求证：；
（2）如图2，垂直平分，且，求的长；
（3）如图3，，点F、R和S分别为、和的中点，，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，垂足为点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵正方形，
∴，
∵垂直平分， 且，
∴，
设，
则，，
∴，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
解得，
故．
（3）解：如图，过点G作于点N，
∵正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，垂足为点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，，．
连接，并延长交于点M，
∵正方形，
∴，
∴，
∵R是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
连接，
∴．
∵S是的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）设，勾股定理求得，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可求解；
（3）过点G作于点N，证明，进而得出，连接，并延长交于点M，连接，证明，得出，勾股定理求得EM，根据S是的中点，即可求解．
31．（2023八下·瑶海期末）如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）连接 ，求的长；
（3）如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为　 　．
【答案】（1）证明：∵四边形和是正方形 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图1，
取的中点Q，连接，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）如图2，
延长，交于R，作于T，
可得矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理（1）可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再求出，最后利用勾股定理求出即可；
（3）延长，交于R，作于T，先利用线段的和差求出，再利用全等三角形的性质可得，最后求出即可.
32．（2022八下·瑶海期末）在正方形ABCD和正方形AEFG中，分别连接AC、AF、CF，点H为CF的中点．
（1）如图1，当点F、G分别在线段AB、AC上，求∠BHG的度数；
（2）如图2，当点E、F、G分别在线段AB、AC、AD上，求证：GH=BH；
（3）如图3，当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，求BGH的面积．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD和正方形AEFG中，AC和AF是对角线，
∴，，
∵当点F在线段AB上，
∴．
∵在和中，点H为斜边CF的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点H作于点M，交CD于点P，延长GF交HM于点N．
在正方形ABCD和正方形AEFG中，
，，
又∵，
∴四边形和四边形均是矩形，
∴，，．
∵点H为CF的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵中，，，
∴，
∴，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
又∵，，
∴，即，
∴．
在和中，
，
∴，
∴GH=BH；
（3）解：当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，则，，
∴，
延长GH交BC于点Q，如图：
∵点H为CF的中点，
∴，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即BGH的面积是．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先求出，，可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点H作于点M，交CD于点P，延长GF交HM于点N，先证出，可得，再证出 是等腰直角三角形， 可得，再证出，可得GH=BH；
（3）延长GH交BC于点Q，先证出， 可得，，再求出，，结合，求出即可。
七、四边形综合
33．（2023八下·凤阳期末）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．
（1）定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是　 　；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形；
（3）如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由．
【答案】（1）②④
（2）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为等邻角四边形．
（3）解：，理由如下：
过点P作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为等邻角四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） ①平行四边形 ：邻角不一定相等，所以不一定是等邻角四边形 ；②矩形：四个角都是直角，所以邻角也相等，所以是等邻角四边形；③菱形 ：邻角不一定相等，所以不一定是等邻角四边形 ； ④正方形 ：四个角都是直角，所以邻角也相等，所以是等邻角四边形；
故答案为：②④.
【分析】（1）结合四种图形的性质，分别判断是不是符合等邻角四边形的条件，分别进行判断，即可得出答案；
（2）通过证明△APC≌△BPD，得出对应角∠APC=∠BPD，根据等式的性质，进一步得∠CPD=∠APB，然后根据三角形内角和，两个等腰三角形的顶角相等，得出其底角∠ABC=∠DCP，从而判定四边形ABCD是等邻角四边形；
（3）过点P作PF⊥CE，垂足为F， 通过证明△CPF≌△PCN，得到CF=PN，再证明四边形MPFE是矩形，得到EF=PM，然后，由等式的性质得到PM+PN=EF+CF，即PM+PN=CE。
34．（2024八下·大余期末）在中，在的左边，，将关于作轴对称，得四边形是对角线上的动点，是直线上的动点，且．
（1）四边形如图所示，四边形是　 　填“矩形”或“菱形”或“正方形”；　 　填“”或“”；
（2）四边形如图所示，且，四边形是_▲_填“矩形”或“菱形”或“正方形”；中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
（3）四边形如图所示，若，，请直接写出的度数用含、的代数式表示
【答案】（1）菱形；=
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
成立，理由如下：
过点P作交于点M，交于点N，如图所示：
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：E在B右侧时，=；E在B左侧时，=；当E在上时，=或．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（3）由题意可知四边形是菱形，
∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
【分析】（1）设、相交于点F，先根据轴对称的性质得到，，，进而根据菱形的判定与性质得到，从而根据平行线的性质得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意等量代换即可求解；
（2）先根据（1）中同理可证，四边形是菱形， 进而根据正方形的判定即可填空；过点P作交于点M，交于点N，先根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义得到，结合题意等量代换得到，再进行转换得到，从而即可得到∠DPE=90°，进而即可求解；
（3）先根据菱形的性质结合三角形全等的判定证明，进而分类讨论：E在B右侧时，E在B左侧时，当E在上时，根据三角形全等的判定与性质结合题意进行角的运算即可求解。
35．（2024八下·斗门期中）（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；
（2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；
（3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．
【答案】解：（1）证明：菱形四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
∵，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
∵，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合EF⊥AC，即可证出平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先求出，再利用等角对等边的性质可得；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先求出，再利用勾股定理可得，最后求出AF的长即可.
36．（2025八下·永定期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
（1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
（2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
（3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
37．（2023八下·长丰期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图，是中垂三角形，，分别是，边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形．
（2）如图，在中垂三角形中，，分别是边，上的中线，且于点，求证：．
（3）如图，四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长，交于点求证：是中垂三角形；
【答案】（1）证明：如图，，，
．
连接，
由题意可得，，，是的中位线，
，
，
，．
又，
≌，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图，连接，
，分别是边，上的中线，
，，，
，，，
在中，，
在中，，
；
（3）如图，连接，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
则，且，
四边形是菱形，
，，且，
，，
，，
，是的中线，
是中垂三角形．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意先求出∠ABD=45°，再根据平行线的性质求出 ， 最后利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据三角形的中线求出 ，，， 再利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据三角形的中位线求出 ，且， 再根据菱形的性质求出 ，，且， 最后证明求解即可。
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