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北京市朝阳区2025年中考一模数学试题
2025.4
考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（ ）
A. 一定是正数
B. 一定是负数
C. 一定等于0
D. 是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形分别经过点，且平行于．给出下面四个结论：
①E，F是线段的三等分点；
②是线段的中点；
③是正八边形；
④的面积是的面积的2倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
10. 分解因式：_____．
11. 方程的解为___________．
12. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_．
13. 体育委员从全年级名学生中随机抽取了名同学，统计了他们秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次数
频数
根据以上数据，估计该年级的名学生中秒跳绳次数在范围的学生有___________人．
14. 如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°．
15. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为___________．
16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）：
零件 流水线 流水线 流水线 流水线
程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换．
（1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件；
（2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求的长．
21. 小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表：
交通方式 碳排放量
开私家车
乘坐公交
骑自行车 0
小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求该函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围．
23. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）：
b．二队成绩如下：
68 69 70 70 71 73 77 78 80 81
82 82 82 82 83 83 83 86 91 94
c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
一队 79.6 77 P
二队 79.25 m q
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）；
（2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________；
A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大
C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小
（3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5
甲 90 94 90 94 91
乙 91 92 92 92 93
丙 93 90 92 93 k
若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________．
24. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
25. 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为___________，转盘的半径约为___________；
②此摩天轮转一圈所用时间为___________；
③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过___________（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
27. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为．
（1）图形为线段，
①若图形为线段，则___________，___________；
②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围；
（2）已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围．
参考答案
1. 【答案】B
2. 【答案】A
3. 【答案】B
4. 【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8. 【答案】C
9. 【答案】
10. 【答案】
11.【答案】
12.【答案】＞
13. 【答案】
14. 【答案】65
15. 【答案】
16. 【答案】 ①. ②.
17. 【答案】
18. 【答案】
19. 【答案】
20.
【小问1】
证明：∵延长至点E，使，
为中点，
为中点，
∴是的中位线，
，，
∵延长至点F，使，
，
，
∴四边形是平行四边形；
【小问2】
解：平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
∴在中，．
21. 解：设小明在这100天中，有x天乘坐公交．
由题意可知，．
解得：．
答：小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交．
22.
【小问1】
解：由题意得：将点和代入中得：
，
解得：，
∴该函数解析式为：；
【小问2】
解：当时，代入得：，
在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图：
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴当过时满足题意，
∴，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0，
∴当过时满足题意，
∴，，
综上：满足条件的n的取值范围为：．
23. ．【小问1】
解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多，
故众数，
一队成绩的中位数位于，
二队成绩的中位数为，
∴，
故答案为：82，；
【小问2】
解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小；
故答案为：D；
【小问3详解】
解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：，
乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：，
丙选手的平均数为：，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．
∴，
解得，
∵k为整数，
∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名；
当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名；
∴k（k为整数）的值为92或91，
故答案为：92或91．
24. 【答案】（1）是的切线
（2）1
25. 【小问1】
解：这个函数的图象如图所示：
【小问2】
解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为，
∴转盘的直径约为，
∴转盘的半径约为，
故答案为：90，40；
②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为，
∴从最高点到最低点用时也为，
∴此摩天轮转一圈所用时间为，
故答案为：12；
③根据函数图象可得，当时，距离地面的高度为，当时，距离地面的高度是，则两个座舱距离分钟的路程，
∵这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为，
∴若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同．
若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同．
故答案为：1.5或4.5．
26. 【答案】（1）
（2）或
27.
【小问1】
解：补全图形如图1所示：
【小问2】
解：设．
四边形是正方形，
，，
，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，
，
．
【小问3】
解：，证明如下：
如图2，作，交的延长线于点H，连接．
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
28.【答案】（1）①5，5；②2，
（2）4，，
第1页（共1页）

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