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豫西北教研联盟（平许洛济）2024—2025学年
高三第三次质量检测试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．集合 M＝{1，2，4，8}，N＝{y | y＝2x，x∈M}，则 M∩N＝
A．{2，4} B．{2，8} C．{2，4，8} D．M
2．已知向量 a，b 满足|b|＝2|a|，若 a⊥(a－b)，则 a 与 b 的夹角为
A π． B π C 2π． ． D 5π．
6 3 3 6
3．若复数 z满足 z·z ＝1，则|z－2i|的取值范围为
A．[1， 2] B．[1， 3] C．[1，2] D．[1，3]
4．已知圆锥的母线长为 5，侧面展开图的面积为 2 5π，则该圆锥的外接球的表面积为
A．25π B．10π C．9π D．4π
2 2
5．设椭圆 C x y： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，上顶点为 A，直线 AF 交 C于
a2 b2
1 2 1
另一点 B，△ABF2的内切圆与 BF2相切于点 P，若|BP|＝|F1F2|，则椭圆 C的离心率为
A 1 B 1 1 3． ． C． D．
4 3 2 4
6．将函数 g(x)＝sin(ωx π＋ )(ω∈N*}) 1的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到函数 f(x)的
12 2
图象，若 f(x)在(0 π， )上只有一个极大值点，则ω的最大值为
2
A．5 B．4 C．3 D．2
100
7．函数 f(x)满足： x，y∈Z，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy＋1，且 f(－2)＝1，则 [f(n)－n2]＝
n＝1
A．4900 B．4950 C．5000 D．5050
8．若 x∈[1，＋∞），都有 aeax－ln x≥0(a∈R)，则 a的取值范围为
A 1．[e，＋∞） B．[2，＋∞） C．[1，＋∞） D．[ ，＋∞)
e
平许洛济 25届高三三测数学 第 1页 （共 4页） 20250506
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．函数 f(x)＝x3＋mx2－3x＋n，且 f(x)＋2为奇函数，下列说法正确的有
A．m＝0，n＝－2
B．当 0＜x＜1时，f(x2)＜f(x)
C．直线 y＝0是曲线 y＝f(x)的一条切线
D．若 f(x)在区间(a，b)上存在两个极值点，则 b－a＞2
10．已知正方形 ABCD的边长为 2，取正方形 ABCD各边的中点 E，F，G，H，作第 2个正方
形 EFGH，然后再取正方形 EFGH各边的中点 I，J，K，L，作第 3个正方形 IJKL，依此方
法一直继续下去．若把正方形 ABCD的面积记为数列的首项 a1，后继各正方形的面积依次
为 a2，a3，…， an，…，则下列结论正确的为
A．a 110＝
256
B 10 1023．前 个正方形的面积之和为
128
C．数列{log2an}的前 100项之和为－4850
D．若这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和将趋近于 8
11．已知曲线 C过坐标原点 O，且 C上的点 P到两个定点 F1(－a，0)，F2(a，0)(a＞0)的距离
之积为 4，则下列结论正确的是
A．a＝2
B．△PF1F2的面积的最大值为 2
C．|OP|的最大值为 4
D．△PF1F2的周长的取值范围为(8，4＋4 2)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．若直线 y＝x－2与抛物线 y2＝x相交于 A，B两点，则|AB|＝_______．
x3， x≤a
13．已知函数 f(x)＝ |ln x 1 | x a，若存在实数 b，使函数 y＝f(x)－b恰有三个零点，则 a－ ， ＞
的取值范围为__________．
14．甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将
毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概
率为________，第 n次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为_________．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)
在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 a＋c＋acos C＋ccos A＝3b．
(1)求证：a＋c＝2b；
(2) A→若 B A→· C＝3，b＝2，求△ABC的面积．
16．(15分)
为丰富学生的课余生活，某地举办了 2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了
100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分 100分）划分为四个分数段：[20，
40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．已知 m＝2n，各分数段人数的频数统计如下表：
分数段 [20，40) [40，60) [60，80) [80，100]
频数 10 30 m n
(1)求 m，n的值；
(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这 100人中抽取 10人，再从这 10人中随
机抽取 4人，设抽到的 4人中成绩在[60，100]内的人数为 X，求 X的分布列与期望；
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩 T～N(64，121)．已知今年该地共有 20000名
学生参加比赛，估计成绩在[86，97]内的学生人数．
参考数据：若 T～N（μ，σ )，则 P(μ－σ≤T≤μ＋σ)≈0.6827，
P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)≈0.9973．
17．(15分)
如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA＝AD＝CD＝
2，BC＝3，E为 PD的中点，点 F在线段 PC PF 1上，且 ＝ ．
PC 3
(1)求证：CD⊥平面 PAD;
(2)求平面 FAE和平面 PAE的夹角的余弦值；
(3) PG 2设点 G在线段 PB上，且 ＝ ，判断直线 AG
PB 3
是否在平面 AEF内？请说明理由．
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18．(17分)
在平面直角坐标系中，点 P是圆 F2：(x－ 5)2＋y2＝16上任意一点，点 F1的坐标为
(－ 5， 0)，线段 PF1的垂直平分线与直线 PF2相交于点 Q，记动点 Q的轨迹为曲线 C．
(1)求 C的方程；
(2)已知点 T(1，0)，若垂直于 x轴的直线与 C相交于 A，B两点，设直线 AT和 C的另外一
个交点为 D．
(i)求证：直线 BD过定点 E；
(ii)过点 E作直线 l交 C于 M，N两点（M，N在 y轴右侧），求△TMN的面积的最小值．
19．(17分)
若存在正实数 a，对任意 x∈D，使得 ax2≤f(x)≤2ax2，则称函数 f(x)在 D上是一个“T(a)函
数”．
(1)已知函数 f(x)＝x在区间[1，2]上是一个“T(a)函数”，求 a；
(2) x π x当 ∈(0， )时， ＜sin x＜x．证明：函数 g(x)＝1－cos x π π 1在区间(－ ， )上是一个“T( )函
2 2 2 2 4
数”；
1 1 1 2
(3) 1 2n －n证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＞ (n∈N*)．
tan 1 2tan 1 3tan 1 ntan 1 2n＋1
2 3 n
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豫西北教研联盟（平许济洛）2024—2025 学年高三
第三次质量检测试题
数学参考答案及评分意见
一、 选择题
1—4：ABDA 5—8： CDBD
二、多选题
9.ACD 10.BD 11.ABD
三、填空题（第 14 题，对一空得 3 分，全对得 5 分）
1 1 1 1
12. 3 2 n 13. (0,e) 14. , ( )
2 4 4 3
四、解答题
15.(1)证明：因为a c a cosC c cos A 3b ，
由正弦定理得，sin A sin C sin AcosC sin C cos A 3sin B ， ………….2 分
则 sin A sin C sin(A C) 3sin B ，即sin A sin C sin B 3sin B
所以sin A sin C 2sin B， ……..…….4 分
所以a c 2b . ..……...….5 分
(2)由 AB AC 3，b 2，
3
得bc cos A 3，则cos A ， ..………….7 分
2c
b2 c2 a2
又由(1)知a c 2b =4， cos A ,
2bc
3 22 c2 (4 c)2 9
则 ，解得c ， ………….10 分
2c 4c 4
2 5
所以cos A ，则 sin A 1 cos2 A ， ………….12 分
3 3
1 3 5
所以 ABC 的面积 S bcsin A . ..……….13 分
2 4
16. 解：(1)因为10+ 30+m + n =100 ，m = 2n，所以m = 40 ，n = 20 . …..…2 分
(2)由分层随机抽样可知，抽取的 10 人中，成绩在 60,100 这两个区间内的人数为
40+ 20
10 = 6 . …..…..…..3 分
100
抽到的 4 人中成绩在[60,100]的人数为 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.
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C0C46 4 1 C
1
6C
3
4 24 4 C
2C2 90 3
P(X = 0) = = ， P(X =1) = = = ，P(X = 2) = 6 4 = =4 4 ， C10 210 C
4 210 35 C10 10 210 7
C3C1 4 0
P(X = 3) = 6 4
80 8 C C 15 1
= = ，P(X = 4) = 6 4 = = .
C4 410 210 21 C10 210 14
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 4 3 8 1
P
210 35 7 21 14
…………..9 分
1 4 3 8 1 12
所以E(X ) = 0 +1 + 2 +3 + 4 = . ....…….…11分
210 35 7 21 14 5
(2)由学生成绩T ~ N (64,121)，得学生成绩的平均值和标准差为： = 64 ， =11，
则 P (86 T 97) = P (64+22 T 64+33) = P ( +2 T +3 ) ,
1 1
= [P( 3 T +3 )-P( 2 T + 2 )] = (0.9733 0.9545) = 0.0214 ,……14 分
2 2
所以估计成绩在[86,97]内的人数为20000 0.0214 = 428 . .….…15 分
17．(1)证明：因为 PA 平面 ABCD，
所以 PA CD， ...…….1 分
又因为 AD CD， PA AD=A，CD 平面 ABCD，
所以 CD 平面 PAD. ………..3 分
(2)在平面 ABCD 内过点 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M.
因为 PA 平面 ABCD，
所以 PA AM，PA AD. ……….4 分
如图，建立空间直角坐标系 A-xyz,
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则 A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)， ……..….5 分
因为 E 为 PD 的中点，所以 E(0,1,1)，
所以 AE (0,1,1), PC (2,2, 2), AP (0,0,2) ，
1 2 2 2
所以PF PC ( , , )，
3 3 3 3
2 2 4
AF AP PF ( , , )， ………….7 分
3 3 3
设平面 FAE 的法向量为n (x, y, z)，
y z 0
n AE 0
则 ，即 2 2 4 .
n AF 0 x y z 0
3 3 3
令 z=1，则 y=-1,x=-1,
于是可取n ( 1, 1,1)
又平面 PAE 的法向量可取m (1,0,0)， ……………9 分
设平面 FAE 和平面 PAE 的夹角为 ，
| n m | 3
则 cos | cos n,m | ,
| n || m | 3
3
所以平面 FAE 和平面 PAE 的夹角的余弦值为 . ……..……11 分
3
(3)直线 AG 在平面 AEF 内. …..………12 分
PG 2
因为点 G 在 PB 上，且 ， PB (2, 1, 2) ，
PB 3
2 4 2 4 4 2 2
所以PG PB ( , , )， AG AP PG ( , , ) , ……….. 14 分
3 3 3 3 3 3 3
由(2)可知，平面 AEF 法向量n ( 1, 1,1)，
4 2 2
所以 AG n 0，
3 3 3
所以直线 AG 在平面 AEF 内. ……..…15 分
18. 解：(1) Q 在线段PF1的垂直平分线上 QF1 = QP ，
2
点 P 是圆F2：(x 5) + y2 =16上任意一点, PF2 = 4 ，
| QF1 | | QF2 | = | QP | | QF2 | =| PF2 |= 4 (定值) | F1F2 |，
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点Q 的轨迹是以 F1, F2为焦点，实轴长为 4 的双曲线， ……….3 分
a = 2,c = 5,b =1，
x2 2
曲线C 的方程为： y =1. ……..…..5 分
4
(2)设 A(x1, y1)，D(x2 , y2 ) ，则 B(x1, y1)，
直线 AT 的方程为 y k(x 1)，联立直线 AT 与双曲线C 的方程
y k(x 1)
，得 (1 4k 2 )x2 8k 2x 4k 2 4 0，则
x2 4y2 4
8k 2 4k 2 4
x x ， x x ， …………7 分 1 2 1 2
4k 2 1 4k 2 1
64k 4 16(k 2 1)(1 4k 2 ) 16 48k 2 0，
y y y y
设直线 BD 的斜率为 k ，则 k 2 1BD ，得直线 BD 的方程为：
2 1 ，
BD y y1 (x x1)
x2 x1 x2 x1
y2 y1 x1yy x 2
x2 y1 1 [(y y )x (x y y x )]， …….8 分 2 1 1 2 1 2
x2 x1 x2 x1 x2 x1
2k
又 y2 y1 k(x2 1) k(x1 1) k(x1 x2 ) 2k ，
4k 2 1
8k
x1y2 y1x2 kx1(x2 1) kx2 (x1 1) 2kx1x2 k(x1 x2 ) ，
4k 2 1
1 2k 8k 2k
y ( x ) (x 4)， ………10 分
x x 4k 2 2 22 1 1 4k 1 (x2 x1)(4k 1)
则当x 4时, y 0，
直线BD 过定点 E(4，0)； ……..…..11 分
(3)直线 l 过点 E(4，0)，与双曲线C 的右支交于M , N 两点，故斜率必不为 0，所以设 l 方程
为： x = my + 4 ,M (x1, y1)， N (x2 , y2 ) ，
x = my + 4 2 2
由 ，得 (m 4)y +8my +12 = 0 ,则
x2 4y
2 = 4
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8m 12
y + y = ， y y = ， ……….12 分1 2 2 1 2m 4 m2 4
= 64m2 48(m2 4) 0，
2
2 m 2即m 0,4)， ……….13 分
1 3 64m2 48 3 16(m2 +12) m2 +12
S TMN = TE y1 y2 = = = 6 ，2 2
2 2 ( 2m2 4) m 4 2 (m2 4) (m2 2 4)
令m2 +12 = t,则t 12,16)，
t t 1
S TMN = 6 = 6 = 6 ， ……..…15 分( 2 2t 16) t 32t + 256 256t + 32
t
256 256 t + 在 t 12,16)上单调递减， 当t =12，即m = 0时， t + 有最大值，
t t
此时△TMN 的面积的最小值为3 3 . ……..…17 分
19.解：(1) 因为函数 f (x) = x 在 1,2 上一个“T (a)函数”，
1
所以对任意 x [1,2] ，ax2 x 2ax2 恒成立，即a 2a .
x
1
令 F(x) = , x 1,2 ，
x
1
则 F(x) = F (2) = ，F (x)min max =1 ………..2 分
2
1
1 a 1
要使a 2a恒成立，则 2 ，解得a = .
x 2
2a 1
1
故 a的值为 . .….....….4 分
2
π π 1
(2) (i) 要证明函数 g (x) =1 cosx 在 , 上是一个“T 函数”，
2 2 4
π π 1 2 1 2
只需证当 x , 时， x 1 cos x x ，证明如下：
2 2 4 2
π x
当 x 0, 时， sin x x ，
2 2
π x
由图象的对称性可知，当 x ,0 时， x sin x . .….....….6 分
2 2
1
h(x) = x2
π π
令 + cos x 1, x , ，
2 2 2
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则 h (x) = x sin x ，
π π
当 x 0时，h (x) 0，h(x)在 ,0 上单调递减；
2 2
π π
当 0 x 时，h (x) 0，h(x)在 0, 上单调递增. .….....….8 分
2 2
1 1
所以h(x) h(0) = 0
2 2
，即 x + cos x 1 0 ，所以1 cos x x . ………..…9 分
2 2
1 π π
令M (x) = x
2 + cos x 1, x , ，
4 2 2
1
则M (x) = x sin x，
2
π π
同理可得M (x) 在 ,0 上单调递增，在 0, 上单调递减. ……..…11 分
2 2
1 1
则M (x) M (0) = 0
2
，即 x + cos x 1 0
2
，所以 x 1 cos x .
4 4
1
x2
1
综上所述， 1 cos x x
2
.
4 2
π π 1
所以，函数 g (x) =1 cosx 在 , 上是一个“T 函数”. …….…12 分
2 2 4
x2
(ii) 当 x (0, 2 )时，1 0，
2
x2 1 1
由(i)可得，cos x 1 0 ,且0 sin x x, 0 .
2 sin x x
x2
1 x x
2
所以 1 2 ，即当 x (0, 2 )时， 1 . …..…15 分 tan x 2
tan x x
1 1
令 x = ,n

N ，则 (0, 2 )，
n n
1 1 2
1 =1 2 2 1 1
则有 1 2n2 4n2 1 =1 =1 2 ，
n tan 4n 1 (2n 1)(2n+1) 2n 1 2n+1
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + n 1 + + +
所以 tan1 1 1 1

3 3 5 2n 1 2n +1 2tan 3tan ntan
2 3 n
1 2n 2n
2 n
= n 1 = n = ,
2n+1 2n+1 2n+1
1 1 1 1 2n2 n
+ + + +
故 tan1 1 1 1 2n +1 ， ……..…17 分
2 tan 3tan n tan
2 3 n
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