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广东实验中学2024-2025学年（下）期中考试数学试卷
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量其中,且则向量和的夹角是（ ）
A.π/6 B.π/3 C. D.π/6
4.一个底面边长为2cm的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了cm.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为，若则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（ ）
A.40 B.41 C.-40 D.-41
7.学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手.要求甲乙同时入选或同时不入选.不同组队形式有（ ）种.
A.360 B.480 C.540 D.570
8.已知函数及其导函数的定义域均为R，记且,为偶函数，则（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.-2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知在首项为1，公差为d的等差数列中，是等比数列的前三项，数列的前n项和为,则（ ）
A.d=0或d=3 B. C.是等差数列 D.
10.如下图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A.动点F轨迹的长度为 B.三棱锥体积的最小值为
C.与不可能垂直 D.三棱锥的体积为定值
11.已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A.m=3 B.函数在区间（0,2）上单调递减
C.过点（1,-2）只能作一条直线与相切 D.函数恰有4个零点
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是___________.
的展开式中的系数___________.
14.已知圆点M在上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A和B，以AB为直径作圆，则圆的面积的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知△ABC的内角的对边分别是已知
（1）求角B的大小；
（2）若D为AC上一点，且为∠ABC的角平分线，求线段BD的长.
16.（15分）设数列的前n项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）若组成一个n+2项的等差数列，记其公差为，求数列的前n项和.
17.（15分）如图，四面体ABCD中,△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形,AB=BD=4.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）E是边BD上的点，且CE与平面ABD所成角的正切值是,求△ACE的面积.
18.（17分）平面内有一点和直线,动点满足：P到点的距离与P到直线l的距离的比值是点P的运动轨迹是曲线E，曲线E上有四个动点.
（1）求曲线E的方程；
（2）若A在x轴上方，求直线AB的斜率；
（3）若C、D都在x轴上方，，直线求四边形的面积S的最大值.
19.（17分）设函数a为常数.
（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在（0,+∞）上是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，说明理由；
（3）已知a∈Z，若为增函数，求a.
数学参考答案
1．C 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．AC 10．ABD 11．ABC
12． 13．5 14.
【注意】建议解答题评分时，每道题都按照满分无瑕疪的原则。
7．解析：甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得．因此所求方法数为
8．解：因为为偶函数，，所以，
对两边同时求导，得，
所以有，所以函数的周期为8，
在中，令，所以，
因此，因为为偶函数，
所以有（1），
，由（1），（2）可得：（7），所以（7），故选：D．
9．【答案】AC 【详解】由题意，则，整理得，可得或，当时，，则，即是等差数列，此时；当时，，则，即是等差数列，此时，易知公比为4，故；综上，对，错．
11．ABC 【详解】对于A中，由函数，可得，
因为是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C正确；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D错误。
故选：ABC．
12．答案：
13．解析：因为的展开式的通项，所以的展开式中的系数为
14．解析：由题设有，设，则，，设，则，易得递增，且，容易判断在时取得极小值，也是最小值故而最小值为．
由等积法可得，故，故最小值为．故圆的面积的最小值为．
15．【详解】（1）由得，…1分
故，故…………………………2分
即，……………………3分
因，故………………………………5分
（2）
由角平分线定理得：，则，……………………7分
在中，由余弦定理得：，得，……………………9分
由得：，………………11分
得．…………………………………13分
16．解：因为所以，当时，，
两式相减得，，即，当时，………………………3分
又当时，，而，则，…………………………5分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以………………………………………………………………………7分
（2）依题意可知，，………………………………………9分
由（1）得，，即，……………………………10分
则，
,……………………………………………11分
两式相减得，………………………12分
即，…………………………………………14分
所以，………………………………………………………………15分
17．【详解】（1）由题设得，从而……………………1分
又是直角三角形，所以…………………………………………2分
取AC的中点O，连接，则，
又是正三角形，故…………………………………………………3分
则在直角中，，
又，所以，
故．…………………………………………………………………………4分
而平面ABC，
故平面ABC，而平面ACD，
所以平面平面ABC……………………………………………………………6分
（2）设与平面ABD所成角为，
结合（1）结论，以为坐标原点，OA为轴，OB为轴，OD为轴，建立的空间直角坐标系，
则，
，………………………………8分
设平面ABD的法向量，
则，则，令，则，
故，………………………………………………………………………………10分
由，则………………………………………………………………11分
故………………………12分
则，解得……………………………………………………………13分
故，
则，
所以AC边上的高为，
故……………………………………………………………………15分
18．答案：（1） （2） （3）
解：（1）由题意，
两边平方得，化简得，
所以曲线的方程为；……………………………………………………3分
（2），即，则直线AB的斜率是正数，…………………………4分
设，直线AB的斜率为，………………………………………………….5分
设，联立，
化简得，所以，………………………7分
由题意知，
代入，消，可得，
解得，所以直线AB的斜率是；……………………………………………………10分
（3）延长，交椭圆于点，
，由对称性可知和等底等高，所以面积相等，
四边形的面积，…………………………12分
设，由（2）知，
所以，即，……14分
令，所以，……………………………16分
当且仅当即时，S取到最大值，此时C、D分别在正上方．………17分
19．解：（1）当时，，则，
，切点为，切线斜率为，
（2）切线方程为，整理得，………………4分
（说明：本小问共4分，求导2分，整理得到切线方程2分）
,………………………………5分
当时，递增，无极值；………………6分
当时，得，
得得，………………7分
所以在单调递减，在单调递增………………8分
所以时有极小值，无极大值，………………9分
综上：当时，无极值；
当时，有极小值，无极大值．………………………………10分
（说明：本小问5分，极小值没化简或未说明无极大值，共扣1分）
（3）为增函数，恒成立，…11分
方法1：令，
则，………………………………12分
当时，单调递减，
当时，单调递增，………………………………13分
当时，取得极小值，也是最小值，
，………………………………14分
令，令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，………16分
．………………………………………………17分
（3）方法2：，解得，或，
当时，，易知，不符题意；
当时，，设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，，符合题意；
（说明：必要性探路得分，后面略
分析判断得，或分，
验证分，验证分，结论1分．
若由直接得，再去验证，酌情给分）

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