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山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试
数　学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2025.4
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则
A． B．1 C．2 D．
3．某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为
A．79 B．80 C．81 D．82
4．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为
A． B． C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
6．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，
A．7 B． C．9 D．
8．设为不等实数，则关于的方程的实数根的个数可能为
A．0 B．2 C．1012 D．2023
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是
A．在区间上单调递减
B．在区间内只有1个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
10．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则
A．
B．
C．的解集为
D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有
A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
B．若，且，则双曲线的离心率为
C．若，，则的取值范围是
D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于__________.
13．已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________.
14．在2024×2023的方格表中，除首尾两行外每行各有一个坏人，同时每列有至多一个坏人。甲从第一行出发，每次沿相邻方格移动，要移动到最后一行，一旦触碰到坏人则本轮终止返回起点，但能记住已探明的坏人位置。因此，无论坏人如何分布，甲总能通过不超过n轮到达最后一行。则n的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围．
16．（15分）
已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，对任意，恒成立，求的取值范围．
17．（15分）
已知椭圆的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围.
18．（17分）
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.
(1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.
（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.
19．（19分）
已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合．
(1)已知，求．
(2)已知，若集合只有一个元素，求a的值；
(3)已知，其中且，求证：集合是一个区间．山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试
数学参考答案
6
10
11
A
B
ABD
BCD
BD
12.
19
4
13.（-0,2v2j
14.3
15.(13分)
(1)依题意，f(x）=2x2-3x-lnr,x∈(0，+x),
f(x)=4r-3-1_4r-3x--(4x+lx-)
故当x(0l)时，f'(x)0,当.x∈(l+)时，"(x)>0,
故函数f()的单调递成区间为(0,1)，单调递增区间为(l,+)
(2)依题意，(x)=4r-3+_4x-3x+入
令f'(x)=0,得4x2-3r+2=0,
令8()-3x+,放时思转化为8)布区同)上有两个不等的变号零点，
4=9-16元>0.
这ea
g(5)>0.
解得
16
绘上所述，实数4的政值兆而为行
16.(15分)
(1)对征意的nN,山2S,+n+2n-3=a①，得2S+(n+1)+2(n+)+3=a1②，
两式相减，可得241+21+3=01一4，即a1+0,=-21-3,
所以a+a,=-21-5,所以0？-4=-2.
所以，数列{的奇数项、偶数项分别成以-2为公差的等差数列，
在①式巾，令n=1,可得4=6，令n=2,可得a=1,
所以当为的数时，0=8-”空6-2-5，
当”为偶数时.a=4-23小-2行-小-+3.
综上所述，a。=
-n-5,n为奇数
--3,n为园数
(2)因为b=4=3-2m，所以h=1,h
2520,
当n≥2时，b.=2-3>0.
25、
25
可得22
23
=10,当上仅当b,=5,即n=4时等号成立，
丙-受的统小值为0.乐以0，位取值范阳为-云调
17.(15分)
(1)因为C:+
。+示=10>6>0)的离心率为5，且焦距为2，
可得e=日且2c=2解传a=2.c-1,则6=N0C-3
所以椭圆C的标准方程为上+上
431.
(2)直线1的斜率为-1，山与坐标轴的交点均在圆内部，
设直线1：y=x+m,且m∈(-53)，
x y
联立方程组
年+3=1，整理得7r-8m+4m2-12=0,
v=-x+m
设4小小则+5业。
7
因此A-x-x}+(-=V2V(x+-4xx
5g4亚46m
hme5,可得7-me么，即8y6所以AB的取值范雨为
8v64v42
77
18.(17分)
(1)因为球而三角形ABC的三条边长均为5r,R=5,
3
所以球三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体O1C为正四面体

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