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2025年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（一）
数学
本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列有理数中，比－1小的数是（ ）
A.2 B.1 C.0 D.－2
2.下列图形是化学仪器的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）超123.19亿元，登顶全球动画电影票房榜．数据123.19用科学记数法表示为（ ）
A. B. C.0.12319×10 D.12.319×10
4.将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.下列各式中，从左到右变形正确的是（ ）
A.a－b＝b－a B.
C. D.
6.若一个角的余角是42°，则这个角的度数是（ ）
A.38° B.48° C.58° D.138°
7.在一个扇形统计图中，已知某部分所对的圆心角为72°，则该部分占总体的百分比是（ ）
A.72% B.36% C.20% D.10%
8.如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝BC D.∠ABC＝∠ADC
9.唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，桨轮船的轮子半径为5m，则轮子的浸水深度CD为（ ）
A.2m B.3m C.4m D.5m
10.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则点（k，－b）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D．第四象限
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.计算： ．
12.已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则实数m的取值范围是 ．
13.如图，当随机闭合电路开关S ，S ，S 中的两个时，灯泡发光的概率为 ．
14.现规定一种新运算：a△b＝2a－3b，若4△x＝14，则x＝ ．
15.如题15图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是线段AB的中点，AC＝2，CD＝若分别以点A，B为圆心，1.5的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.计算：．
17.如图，在△ABC中，∠C是钝角．
（1）实践与操作：用尺规作图法，作AC的垂直平分线交AB于点D，作BC的垂直平分线交AB于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，EC，若∠，求∠DCE的大小．
18.【阅读理解】已知F＝（k＋3）x＋1，若F的值和x的取值无关，则k＋3＝0，k＝－3．所以当k＝－3时，F＝（k＋3）x＋1和x的取值无关．
【知识应用】已知，．
（1）用含m，n，x的式子表示M＋N；
（2）若M＋N的值和x的取值无关，求m的值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时9h，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分）．甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示．
乙组学生的比赛成绩条形统计图
组别 平均数 众数 中位数 方差
甲 6.8 a 6 3.76
乙 －－ 7 b 1.16
（1）补全条形统计图，统计表中a＝ ，b＝ ；
（2）求乙组学生比赛成绩的平均数；
（3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由．
20.笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同．
（1）求两种型号“文房四宝”的单价；
（2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套？
21.【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图1，四边形ABCD为正方形纸片，E为BC上一动点，将该纸片沿AE所在的直线折叠，使点B落在正方形ABCD内部的点G处，将该纸片再沿着过点A的直线折叠，使AD和AG刚好重合，折痕交CD于点F．
（1）【观察思考】在点E移动的过程中，同学们发现E，G，F三点共线且∠EAF的大小不变．请证明E，G，F三点共线，并求出∠EAF的大小；
（2）【拓展探究】如图2，继续将该纸片沿过点E的直线折叠，使点F落在线段AF的点P处，折痕交AF于点H，求证：AP·EC＝2PH·BE．
图1 图2
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD，其中
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）如图2，连接OC交于点E，若求AC的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OF⊥AD于点F，连接BF交OC于点G，求FG的长．
图1 图2 图3
23.如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OB＝OC且OB·OC＝64
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值；
（3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在△MNE与△BOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
2025年广东省初中学业水平质量监测卷
九年级（一）
数学试题参考答案及评分参考
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B D B C C A D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.解：原式＝．．．．．．．．3分
＝．．．．．5分
＝．．．．．．．7分
17.解：（1）如图1，垂直平分线及交点D，E即为所求．
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）由垂直平分线的性质可得，DA＝DC，
∴．．．．．．．．．．．5分
同理，．．．．．．．．．6分
在中，，
∴．．．．．．．．．．7分
18.解：（1）∵，，
∴．．．．．．．．．．1分
＝．．．．．3分
（2）∵的值和的取值无关，
∴，．．．．．．．．．．．5分
∴，．．．．．．．．．6分
∴．．．．．．．．．．7分
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.解：（1）补全条形统计图如图2所示．
乙组学生的比赛成绩条形统计图
………………2分
，．………………4分
（2）．…………6分
（3）乙组学生的比赛成绩更好．理由如下：
∵，且甲组学生比赛成绩的方差＝3.76＞乙组学生比赛成绩的方差＝1.16，
∴乙组学生的比赛成绩较为稳定．
∴乙组学生的比赛成绩更好．……………9分
（答案不唯一，合理即可）
20.解：（1）设B型号“文房四宝”的单价为元，则A型号“文房四宝”的单价为元．
依题意得，……2分
解得．…………3分
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴100－20＝80（元）．
答：B型号“文房四宝”的单价为100元，A型号“文房四宝”的单价为80元．…4分
（2）设购买B型号“文房四宝”套，则购买A型号“文房四宝”套．
依题意得，…………6分
解得．…………7分
∵取正整数，
∴的最大值为4…………………8分
答：最多购买B型号“文房四宝”4套．…………9分
21.（1）解：由题意可知，，，
∴．
∴，，三点共线．……………2分
由题意可知，，．
，
，即．
．…………………4分
（2）证明：四边形为正方形，
．……………………5分
由折叠可知，，，，
．
．…………………6分
．
．………7分
．
，
．…………………8分
．…………9分
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.（1）证明：为的直径，
．
，
在中，．…………1分
，
．………………………2分
．
与相切．……………3分
解：（2）在中，，
．
，
．…………………4分
，
．
设，
在中，．
．
∴．…………………6分
∴，．
∴在Rt△中，．……………7分
（3）如图3，过点作交于点．
∵，
∴为的中点．
∴．…………8分
在Rt△中，，
∴．
又∵，
∴，．
∴，．
∵，
∴，△．
∴．
∴．…………………10分
∵，
∴．…………………………11分
∴．
∴．………………12分
∴．……………13分
23.解：（1）∵且，
∴．
∴，．……………1分
将，代入，得
，解得．………2分
∴该抛物线的函数解析式为．………3分
（2）如图4，过点P作交BC于点Q．
∵，
∴△PDQ∽△ADB．
∴．
设点C到直线PA的距离为h，
∴．…………4分
设直线BC的解析式为，
将B（8，0），C（0，8）代入，得
，解得．
∴直线BC的解析式为．………5分
令，解得，．
∴A（－2，0）．
∴AB＝10……………6分
设，则．
∴．………………7分
∴．………8分
∴当时，有最大值，为……………9分
（3）∵抛物线的函数解析式为，直线BC的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，E（3，5）．……………10分
∵△MNE与△BOC相似，△BOC为等腰直角三角形，
∴△MNE为等腰直角三角形．…………………11分
设，
①如图5，当时，，
令，解得，（舍去）．
∴；12分
②如图6，当时，，
∴，．
∴，解得（舍去），．
∴；13分
③如图7，当时，，由②可得．
综上所述，或．14分
注意：以上解答题只提供一种解法，其他解法请参照酌情给分．

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