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来宾高中2024-2025学年下学期高二4月月考数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1 若，则m等于（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 已知函数在处的导数为2，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
3. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（ ）
A. 64 B. 81 C. 24 D. 12
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线在点处的切线的方程为
A. B. C. D.
6 已知数列满足，则等于（ ）
A. 6 B. 11 C. 22 D. 43
7. 在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ）
A. 12 B. 18 C. 30 D. 36
8. 已知函数，，若，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共4小题，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分）.
9. 下列函数求导错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间单调递增
B. 函数在区间单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
11. 已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. D. 有最大值为
12. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A. B.
C D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在等比数列中，，则______.
14. 展开式中各项系数之和__________.
15. 6名同学排成一排，其中甲 乙两人不相邻的排法共有__________种方法；
16. 已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为__________．
四、解答题（共70分，第17题10分，其余每题12分）
17. 已知的展开式中共有9项.
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列满足，求的前项和．
20. 已知中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若为中点，，求的面积.
21. 如图，在四面体中，面ABC，.
（1）求证：面面PBC；
（2）若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.
22. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.
C
C
B
B
C
C
D
C
ACD
ABD
AC
ABC
480
11
17.（1）由题意得，解得.
（2）由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则.
故展开式中的系数为112.
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.
18.（1）函数的定义域为，
又，
当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
19.（1）当时，，即，
当时，联立
①－②，可得，
即，
所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，则，，
所以
．
20.（1）根据题意由正弦定理得，
因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
又因为所以，
而，所以.
（2）解法一：由为的中点知，
两边同时平方得，
即，所以，
又在，由余弦定理得，
所以，所以的面积为.
解法二：在中，由余弦定理可得，整理得①
在中，，在中，，
而，所以，
故，即②,
由①②得，，所以的面积为.
21.（1），，
面ABC，，面，
面PAC，面面PBC.
（2）由题意知，，，则.
以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，设，则，
，，
设平面DAC的法向量为，则，
令，则，，
同理平面的法向量为，
设平面和平面夹角为，则，
平面和平面夹角的余弦值为.
22.（1）由，即，又，即，，
，故椭圆C的方程为.
（2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在，
不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合，
，且PQ方程为，将与联立，
求得两交点为，，，故.
当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为，
，，联立方程，
得且恒成立，
，，
同理可得，
令，则，，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，，故.

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