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2025七年级数学下册期末复习
第十章
——二元一次方程组
知识结构
两
1
加减
三
达标训练
一、选择题（每题6分，共36分）
1.下列方程组中是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
2.若是关于，的二元一次方程的解，则 的值
为( )
B
A. B.1 C.7 D.2
3.用加减消元法解方程组 时，下列方法中能消元的是
( )
D
A. B. C. D.
4. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到
这样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测
之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深
度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四
等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？若设绳长 尺，
井深 尺，则符合题意的方程组是( )
C
A. B.
C. D.
5.解方程组时，一学生把看错而得到 而正确的
解是那么 的值为( )
D
A.4 B.5 C.6 D.7
6.幻方是古老的数字游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—
—九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两
条斜对角线上的3个数之和相等.如图为一个三阶幻方的一部分，则图中
右上角空格中 的值为( )
D
A. B.0 C.2 D.4
二、填空题（每题6分，共18分）
7.如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么
________.
8. 若关于，的二元一次方程组 的解是
则含字母和的一次多项式 可以是______________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
9. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元
钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4
元，乙种奖品每件3元，则购买方案有___种.
3
[解析] 点拨：设购买甲种奖品件，乙种奖品 件，
由题意可得， .
，且，都是正整数， 是4的整数倍，
当时，；当时， ；当
时，；当时， ，不符
合题意，故有3种购买方案.
三、解答题（共46分）
10.（12分）解方程组：
（1）
解：把②代入①，得，解得 ,
把代入②，得 ，
方程组的解是
（2）
解：②去分母，得 ，
整理，得 ，③
将①与③联立，得，得 ，
.把代入①得，， ，
原方程组的解为
11.（16分）定义：关于， 的二元一次方程
与互为“共轭二元一次方程”，例如：
与 互为“共轭二元一次方程”.
（1）二元一次方程 的“共轭二元一次方程”为____________；
（2）二元一次方程 与它的“共轭二元一次方程”有一个相同
的解求， 的值.
解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是 ，
二元一次方程 与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解
解得
12.（18分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，
原计划租用45座（不含司机座位）客车若干辆，但有15人没有座位；若
租用同样数量的60座（不含司机座位）客车，则多出三辆车，且其余客
车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量（不含司机）和租金
如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 45 60
租金/（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
解：设参加此次研学活动的师生人数是，原计划租用 辆45座客车.
根据题意，得解得
答：参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13辆45座客车.
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
解：租用45座客车：（辆） （人），
（辆），所以需租用14辆，租金为
（元），
租用60座客车： （辆），所以需租用10辆，租金为
（元），
， 租用14辆45座客车才合算.
素养发展
1.阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组我们可以将， 的系数和相应的常
数项排成一个数表，求得的一次方程组的解 用数表
可表示为 .
（1）用数表简化解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为
=___,
=____;
下行-上行
6
10
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组 的过程.
解：
方程组的解为
2.
【探究】 在平面直角坐标系中，把方程的解中的和 值分别
作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在坐标系中描出对应点.
… 0 1 ①___ …
… ②___ 4 3 2 …
2
5
解：如图.
【发现】 过这些点中的任意两点画直线，你有什么发现？
解：过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同一条直线上.
【归纳】以方程 的解为坐标的点的全体叫作方程的“图象”.一般
地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的“图象”都是一条直线.
【应用】 二元一次方程 的“图象”上有两个点分别为点
，点 ，请求出这个二元一次方程.
解： 二元一次方程 的“图象”上有两个点分别为点
，点 ，
解得
这个二元一次方程为 .

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