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江苏扬州市邗江区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷
一、单选题
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则B=（ ）
A． B．或 C． D．或
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，则（ ）
A．2 B． C．-2 D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，设，则下列说法错误的是（ ）
A． B．边上的高是
C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是
二、多选题
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．函数有3个零点
B．若函数有2个零点，则
C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则
D．关于的方程有5个不等实数根
三、填空题
12．若向量，则与同向的单位向量的坐标是 .
13．已知，为锐角，则 .
14．已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．解答下列各题：
(1)在中，已知，，.求的长.
(2)锐角中，角所对应的边分别为，，，，求；
16．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值.
17．已知函数.
(1)将函数化简为的形式；
(2)求函数的最小正周期及在区间上的最大值；
(3)若，，求的值.
18．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.
(1)若、分别为、的中点，求；
(2)若，求的范围；
(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
19．为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题.

(1)若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值；
(2)若最终敲定方案为，求扩建后四边形面积的最大值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B C A D AC AD
题号 11
答案 BCD
1．D
利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果.
【详解】易知.
故选：D
2．A
利用正弦定理进行求解即可．
【详解】在中，已知，，
可知，所以．
由正弦定理得，
所以，则．
故选：A．
3．C
判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.
【详解】因为函数和函数在上都单调递增，
所以函数为增函数，
又，，，，
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
4．A
先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解．
【详解】在中，，，，
则，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以米.
故选：A
5．B
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
6．C
先由求出和，再用两角和的正切公式即可求出.
【详解】因为在中，，所以为锐角，
所以，，
则.
故选：C
7．A
利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】因为，则
.
故选：A.
8．D
根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项.
【详解】对于A，，解得，故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确；
对于D，由等积法知，，故D不正确.
故选：D.
9．AC
根据平面向量数量积运算性质和定义逐一判断即可.
【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B：与共线，与共线，而与不一定共线，
所以不一定成立，因此本选项不一定成立；
C：，所以本选项一定成立；
D：当 时，，所以本选项不一定成立，
故选：AC
10．AD
根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故选：AD
11．BCD
根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，函数，
由此作出函数的草图：
依次分析选项：
对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误；
对于B：令，可得，
则函数的零点个数即为与的图象的交点个数，
若函数有两个零点，由图象可知，B正确；
对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点.
不妨设，
由图象可得：，且，，
所以，故C正确；
对于D：因为，解得或，
结合图象可知：有一个根，有四个根，
所以关于的方程有5个不等实数根，D正确．
故选：BCD.
12．(0.6，-0.8)
根据向量的坐标，可得，从而根据即可得出与同向的单位向量的坐标.
【详解】解：因为，
则，
则与同向的单位向量的坐标是
故答案为：(0.6，-0.8)
13．
根据角的象限，以及平方关系求得，再根据两角和的余弦公式求值即可.
【详解】因为，且为锐角，所以，
所以.
故答案为：.
14．
利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，的角平分线交于点，且，
因为，即，
即，即，所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
15．(1)；
(2)
（1）根据内角和定理求得，再由正弦定理求解即可；
（2）由正弦定理可得，从而得，再由，求解即可.
【详解】（1）解：在中，
，
所以，
由正弦定理得，
所以；
（2）解：在中，由正弦定理得，
即，解得，
又为锐角三角形，
所以，
所以
.
16．(1)；
(2).
（1）利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示求出x，然后根据坐标运算和向量模的坐标表示可得；
（2）利用向量的坐标运算和向量平行的坐标表示求出x，然后根据向量的夹角公式求解可得.
【详解】（1），由可得，
即，解得，
所以，故.
（2）依题意，
又，所以，
解得，则，，，
所以，故与的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)，2
(3)
（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）由正弦型函数的周期性以及值域，代入计算，即可得到结果；
（3）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，.
（2）所以函数的最小正周期为.由可知，
则当，即时，取得最大值为.
（3）∵，∴.又，
∴，∴.
∴
.
18．(1)；
(2)；
(3)存在，.
（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得；
（2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得；
（3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得.
【详解】（1）解法1：因为，，
所以
，
，
，
.
解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴 轴建立直角坐标系
则，，，，
所以，，，
.
（2）由，，
故，则，
所以
，
由，故；
（3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在，且.
19．(1)
(2)
（1）利用三角形面积公式结合基本不等式即可求出最值；
（2）设，，分别利用余弦定理及勾股定理表示，即可得到，利用面积公式结合辅助角公式化简四边形面积函数，利用三角函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）设，则，所以的面积，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，扩建的区域的面积有最大值为；
（2）设，由题意，，，设，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
所以四边形面积
，
因为，所以，故当，即时，取到最大值为1，即，
所以四边形面积的最大值为.

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