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25.4 高桥中学强基模拟考数学试卷
一、填空题
1. 分解因式: _____.
2. 已知实数 满足 且 ,则 _____.
3. 如图,在 中, 分别在 上,且 ,
为 中点, 交 于点 ,则 _____.
4. 已知
5. ,对任意实数 ,在 内总存 使得 成立,则 的范围是_____.
6. 如图,已知 分别是锐角 的三边上的点,且 、 交于点 ,设 ,若 ,则 _____.
7. 把两个半径为 5 及一个半径为 8 的圆形纸片放在桌面上, 使它们两两外切. 若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于_____.
8. 对于 ,有 且有 . 则正整数 的最小值是_____.
9. 如图, ,四边形 为平行四边形,若 ,则 的长为_____.
10. 已知 都是正整数,且抛物线 与 轴有 2 个不同的交点 和 ,若 到原点的距离都小于 1 ,则 的最小值为_____.
二、简答题
11. 如图, 中, 分别是 上的点, ,求证: .
一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层, 它一次最多能容纳 32 人,而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次。对于每个人来说他往下走一层楼梯感到 1 分不满意, 往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层, 并且他们分别在第 2 至第 33 层的每一层, 问: 电梯停在哪一层,可以使 32 人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼).
试卷全解全析
一、填空题
1. 【解析】
将原式分解为 , 展开多项式可得 , 与原式对比, 得到如下方程组:
注意到 ,代入 得: . 只有 和 两种分解方案,
考虑第一种分解, 符合条件, 原式可以分解为 .
考虑第二种分解,此时 ,无法取到整数.
故答案为 .
2. 【解析】
法一: 判别式
由 得 ,代入
得
展开
即
都为实数
展开整理得
,即
平方数非负, ,得
同理可得 ,则
.
法二: 柯西不等式
根据柯西不等式有
且 左边 ,右边 ,即左边 右边
柯西不等式当且仅当 时等号成立, .
.
故答案为：25
3. 【解析】
过 作 的平行线交 于 ,过 作 的平行线交 于 ,如图所示.
, ,
从而 ,
又 ,
,
从而 .
故答案为 .
4. 【解析】
注意到上面三个方程中分母 2、 4、6 在变化,我们用 代替这些数字的位置,得到方程 ,去分母得
若将其看成关于 的方程,则这是一个一元三次方程,且其解为 4、16、36,
因此我们将其展开必然是如下形式的方程
,其中 为常数,
由高次方程的韦达定理可知 ,
故 .
5. 【解析】
原命题反面是存在 ,在 内对任意的 总有 将 代入得
根据绝对值不等式 ,有
,故原命题中 的范围是 .
6. 【解析】
考虑运用面积来进行求解.
过点 分别作 的垂线 ,
从而 ,同理可得 ,
,即 ,
去分母化简得 ,
故 .
7. 【解析】
根据题意,能盖住这 3 个圆的最小圆形纸片的圆心 在对称轴 上,且与已知三个圆内切,则 ,在 中,
.
设圆形纸片的半径为 ,则 ,
在 中,由 得 ,解得 ,即所求圆形纸片的最小半径等于 .
【解析】
将 分为正负两组,令正数的和为 ,负数的绝对值和为 ,正数的数量为 ,负数的数量为 ,则方程变为 ,
分析两种情况:
①当 时,方程变为 ,解得 ,
②当 时,方程变为 ,解得 ,
由于 ,所以 ,因此 ,总项数 .
检验构造: ,可满足题设要求.
故 的最小值为 2026.
【解析】
注意到求 并无现有的特殊三角形,但是现有两个斜边重合的直角三角形,不妨取中点,用中位线求 长度.取 中点 ,连结 交 于点 ,连结
,又由 为 中点, ,故 ,
而 .
10. 【解析】
由 都是正整数知抛物线对称轴 ,故 和 均在 -1 到 0 之间,
由题意可知 需满足 ,即 ,
从而有 ,即 ,
故 ,不妨取 ,令 ,
此时满足题意,故 的最小值为 11 .
11. 【解析】
注意到
设 ,则原命题即证
设 ,则
即
要使 有实根,
则
解得 ,所以原命题得证.
12. 【解析】
分段处理,设电梯停在第 层.
第一段,直接从第 1 层楼梯上楼,第二段,从第 层下楼,第三段,从第 层上楼,
设第一段与第二段的分界点为 ,即层数在 层以上的均为第二段,
可得不满意总分 .
将其带 的项展开得 ,其中 为仅含有 的多项式,
这是一个关于 的二次函数,顶点 ,
因而 取该值的四舍五入取整时,表达式取最小,
先不考虑 的取整,将 代入可得 ,
化简得 ,其顶点在 处。
验算,当 时,总分为318; 当 时,总分为316,因而 是问题的解.
因此电梯停在 27 层可以使得 32 人不满意的总分达到最小, 最小值为 316.
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