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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练02：不等式（组）与方程（组）
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
一次方程（组） 2024年广东省深圳卷第7题考查根据实际问题列二元一次方程组；2024年广东省广州卷第6题考查根据实际问题列一元一次方程. 2025年模拟卷第6题可能设置根据实际问题列一次方程（组）. 容易
分式方程 2024年广东省卷第9题考查分式方程的解法，2022年涉及分式方程应用题 2025年模拟卷第9题可能设置“分式方程解的验证” 容易
一元二次方程 2024 年第13 题考查判别式，2023年涉及根与系数关系. 2025 年模拟卷第13 题可能结合“方程有实根求k的取值. 容易
不等式 2024 年第12题通过数轴求不等式组解集，2022 年涉及解不等式组. 2025 年模拟卷第 12 题可能设 置“数轴表示解集. 容易
版块二：不等式（组）与方程（组）
考向01:根据实际问题列一元一次方程
1．（2025 广东模拟）深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小时后两车相遇，则可列方程为（　　）
A．85x+92x＝24 B．85x+92x﹣5＝24
C．92x﹣85x＝24 D．85x+92x＝24﹣5
2．（2025 增城区一模）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，还剩6件；若每个快递员派送15件，则差9件，设该分派站有m名快递员，则可列方程为（　　）
A．12（m+6）＝15（m﹣9） B．12m+6＝15m﹣9
C．12（m﹣6）＝15（m+9） D．12m﹣6＝15m+9
3．（2025 花都区一模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（　　）
A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x
C． D．
4．（2025 惠东县模拟）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过x天两车相遇．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 惠州一模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童，则下列方程正确的是（　　）
A．3×5x+10＝4×8x+2 B．
C． D．
6．（2025 宝安区校级模拟）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（　　）
A．x﹣4x﹣1 B．x+4x﹣1
C．x﹣4x+1 D．x+4x+1
考向02:根据实际问题列二元一次方程组
1．（2025 海珠区一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 宝安区二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将x份奖品分给了y名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份，根据题意可列方程（组）（　　）
A．4y﹣30＝5y+20 B．4x+20＝5x﹣30
C． D．
3．（2025 罗湖区二模）“拔萝卜，拔萝卜，嘿呦嘿呦拔萝卜，嘿呦嘿呦拔不动，小兔子，快快来，快来帮我们拔萝卜...”经典儿歌《拔萝卜》深受小朋友喜爱．这一天，一群兔爸爸、兔妈妈带着各自的小兔子宝宝来到田地里拔萝卜；领队兔爷数了数，大小兔子正好100只；规定每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，收工后，兔爷数了数萝卜刚好100个．若设大兔子有x只，小兔子有y只，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 蓬江区校级一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 天河区一模）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．“意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有x只羊，乙有y只羊，可列出方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 罗湖区二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
考向03:解分式方程
1．（2025 南沙区一模）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
2．（2025 化州市一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝2
3．（2025 惠州一模）方程的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
4．（2025 广东模拟）方程的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝6 C．x＝2 D．x＝﹣6
5．（2025 越秀区一模）方程的解是 　 ．
6．（2025 白云区一模）方程的解为　 　 ．
考向04:分式方程的应用
1．（2025 东莞市校级一模）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 南山区模拟）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目．其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 坪山区模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是x天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 广东模拟）某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．
5．（2025 惠州一模）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的2倍多100元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元．
（1）求甲、乙两种无人机的单价；
（2）该公司拟计划再订购这两种无人机共200台，且总费用不超过64000元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？
6．（2025 阳西县一模）某商店用20000元购进A、B两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买A种品牌茶叶与购B种品牌茶叶的费用相同、且A种品牌茶叶单价是B种品牌茶叶单价的2倍．
（1）求A、B两种品牌的茶叶叶单价；
（2）若计划用35000元的资金再次购进A、B两种品牌茶叶共200千克，且A、B两种品牌的单价不变，求A、B两种品牌茶叶各购进多少千克．
考向05:一元二次方程
1．（2025 番禺区一模）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A． B． C．
2．（2025 天河区一模）若关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025 越秀区一模）若关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式化简的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1
4．（2025 东莞市校级模拟）已知方程mx2﹣2（m+1）x+m+2＝0（m≠0）是一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根小于﹣1，求m的取值范围．
5．（2025 江海区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
6．（2025 广东模拟）已知关于x的方程x2+（k+3）x0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程两根为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考向06:一元二次方程的应用
1．（2025 深圳一模）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
2．（2025 广州模拟）根据广东省统计局数据，广东省2024年的地区生产总值为141633.81亿元，位列全国第一，2022年的地区生产总值为129118.58亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．129118.58（1+x）＝141633.81
B．129118.58（1+x）2＝141633.81
C．129118.58x2＝141633.81
D．129118.58（1+x2）＝141633.81
3．（2025 潮阳区一模）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率
为 ．
4．（2025 深圳模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 　 　 件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
5．（2025 鹤山市一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某电动车用品批发店准备分两次购入A、B两款头盔．第一次购进了A、B两款头盔共500个，A款头盔进价10元，售价20元；B款头盔进价16元，售价20元．
（1）第一次购进头盔的金额不得超过6320元，则至少购进多少个A款头盔？
（2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变．A款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了8m个，售价比第一次提高了2m元；B款头盔售价和第一次相同，进货量为300个，但是在运输过程中有5%已经损坏，无法销售．结果第二批头盔的销售利润为5044元，求m的值．
6．（2025 南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
考向07:一元一次不等式及其应用
1．（2025 增城区一模）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
2．（2025 罗湖区二模）不等式3+2x≥1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 花都区一模）若关于x，y的方程组的解满足x﹣2y＞7，则m的最小整数解为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025 英德市一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　）
A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000
C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000
5．（2025 新丰县模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个？
6．（2025 黄埔区一模）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．
（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？
考向08:一元一次不等式组及其应用
1．（2025 天河区一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 蓬江区校级一模）不等式组的解集为（　　）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
3．（2025 汕头模拟）若不等式组无解，则k的取值范围为（　　）
A．k＞2 B．k≥2 C．k＜﹣2 D．k≤﹣2
4．（2025 深圳模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
5．（2025 汕头模拟）解不等式组：，并求所有整数解的和．
6．（2025 东莞市校级一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
（1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
（2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练02：不等式（组）与方程（组）
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
一次方程（组） 2024年广东省深圳卷第7题考查根据实际问题列二元一次方程组；2024年广东省广州卷第6题考查根据实际问题列一元一次方程. 2025年模拟卷第6题可能设置根据实际问题列一次方程（组）. 容易
分式方程 2024年广东省卷第9题考查分式方程的解法，2022年涉及分式方程应用题 2025年模拟卷第9题可能设置“分式方程解的验证” 容易
一元二次方程 2024 年第13 题考查判别式，2023年涉及根与系数关系 2025 年模拟卷第13 题可能结合“方程有实根求k的取值. 容易
不等式 2024 年第12题通过数轴求不等式组解集，2022 年涉及解不等式组. 2025 年模拟卷第 12 题可能设 置“数轴表示解集. 容易
版块二：不等式（组）与方程（组）
考向01:根据实际问题列一元一次方程
1．（2025 广东模拟）深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小时后两车相遇，则可列方程为（　　）
A．85x+92x＝24 B．85x+92x﹣5＝24
C．92x﹣85x＝24 D．85x+92x＝24﹣5
【分析】设乙车出发x小时后两车相遇，根据该通道全长24千米，列方程即可得到结论．
【解答】解：设乙车出发x小时后两车相遇，根据题意得，85x+92x+5＝24，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
2．（2025 增城区一模）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，还剩6件；若每个快递员派送15件，则差9件，设该分派站有m名快递员，则可列方程为（　　）
A．12（m+6）＝15（m﹣9） B．12m+6＝15m﹣9
C．12（m﹣6）＝15（m+9） D．12m﹣6＝15m+9
【分析】设该分派站有m名快递员，根据“若每个快递员派送12件，还剩6件；若每个快递员派送15件，则差9件”，即可得出关于x的一元一次方程．
【解答】解：由题意得：12m+6＝15m﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
3．（2025 花都区一模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（　　）
A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x
C． D．
【分析】根据快马追上慢马时路程相等列方程即可．
【解答】解：根据题意得：240x＝150（x+12），
故选：A．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
4．（2025 惠东县模拟）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过x天两车相遇．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝两座城市间的总路程（“1”），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2025 惠州一模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童，则下列方程正确的是（　　）
A．3×5x+10＝4×8x+2 B．
C． D．
【分析】根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程5+108+2，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
5+108+2，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元一次方程．
6．（2025 宝安区校级模拟）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（　　）
A．x﹣4x﹣1 B．x+4x﹣1
C．x﹣4x+1 D．x+4x+1
【分析】设绳长是x尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程即可．
【解答】解：依题意得x﹣4x﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
考向02:根据实际问题列二元一次方程组
1．（2025 海珠区一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合40名员工购买电影票共用去1550元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共40名员工去看电影，
∴x+y＝40，
∵该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，且购票恰好用去1550元，
∴35x+40y＝1550，
则根据题意可列出方程组：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2025 宝安区二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将x份奖品分给了y名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份，根据题意可列方程（组）（　　）
A．4y﹣30＝5y+20 B．4x+20＝5x﹣30
C． D．
【分析】根据“若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵若每人分4份，则剩余30份，
∴4y+30＝x；
∵若每人分5份，则还缺20份，
∴5y﹣20＝x．
∴可列方程组为．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2025 罗湖区二模）“拔萝卜，拔萝卜，嘿呦嘿呦拔萝卜，嘿呦嘿呦拔不动，小兔子，快快来，快来帮我们拔萝卜...”经典儿歌《拔萝卜》深受小朋友喜爱．这一天，一群兔爸爸、兔妈妈带着各自的小兔子宝宝来到田地里拔萝卜；领队兔爷数了数，大小兔子正好100只；规定每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，收工后，兔爷数了数萝卜刚好100个．若设大兔子有x只，小兔子有y只，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“大小兔子正好100只；每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，萝卜刚好100个”．即可列出方程组组．
【解答】解：根据题意得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了列二元一次方程组的应用，正确读懂题意列出方程组是解题关键．
4．（2024 蓬江区校级一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
5．（2025 天河区一模）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．“意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有x只羊，乙有y只羊，可列出方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据乙给甲1只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数+1＝2×（乙的羊数﹣1）；如果甲给乙1只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数﹣1＝乙的羊数+1，进而可得方程组．
【解答】解：根据题意得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
6．（2025 罗湖区二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可列方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．理解题意是关键．
考向03:解分式方程
1．（2025 南沙区一模）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
【分析】方程两边同乘x﹣2，将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：，
方程可化为，
方程两边同乘x﹣2，得1+3＝x﹣2，
解得x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
2．（2025 化州市一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝2
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【解答】解：，
x﹣2＝1，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
3．（2025 惠州一模）方程的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的根，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
4．（2025 广东模拟）方程的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝6 C．x＝2 D．x＝﹣6
【分析】方程两边都乘（x﹣1）（2x+3）得出2x+3＝3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘（x﹣1）（2x+3），得
2x+3＝3（x﹣1），
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，（x﹣1）（2x+3）≠0，
所以x＝6是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
5．（2025 越秀区一模）方程的解是 　 ．
【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘x（x﹣1），得2x＝3（x﹣1），
去括号，得2x＝3x﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
6．（2025 白云区一模）方程的解为　 　 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
3＝x+2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x+2≠0，
∴x＝1是原方程的根，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，一点要注意解分式方程必须检验．
考向04:分式方程的应用
1．（2025 东莞市校级一模）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费（x+0.4）元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程×3＝电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程×3＝电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程：
，
故选：B．
【点评】本题主要考查列分式方程，理解题意找到等量关系是关键．
2．（2025 南山区模拟）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目．其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可．
【解答】解：由题意可得：2．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意建立等量关系是关键．
3．（2025 坪山区模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是x天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据甲、乙两队单独施工所需时间，可得出甲、乙两队的工作效率，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天”，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，且设这项工程的规定时间是x天，
∴甲队单独施工所需时间为x天，乙队单独施工所需时间为1.8x天，
∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为．
根据题意得：18（）＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2025 广东模拟）某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．
【分析】设1号车的平均速度为x千米/小时，则2号车的平均速度为1.2x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合1号车比2号车多用3分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设1号车的平均速度为x千米/小时，则2号车的平均速度为1.2x千米/小时，
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝48．
答：2号车的平均速度为48千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2025 惠州一模）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的2倍多100元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元．
（1）求甲、乙两种无人机的单价；
（2）该公司拟计划再订购这两种无人机共200台，且总费用不超过64000元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？
【分析】（1）设甲种无人机的单价是 x 元，则乙种无人机的单价为 （2x+100）元．根据题意列出
方程 ，然后解方程并检验即可；
（2）设购买乙种无人机 m 台，则购买甲种无人机（200﹣m）台，根据题意得500m+200（200﹣m）≤64000，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）设甲种无人机的单价是x元，则乙种无人机的单价为（2x+100）元，
根据”采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元“可得，
，
解得x＝200，
经检验x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x+100＝500，
答：甲种无人机的单价是200元，乙种无人机的单价是500元．
（2）设购买乙种无人机m台，则购买甲种无人机（200﹣m）台，
500m+200（200﹣m）≤64000，
解得m≤80，
答：该公司最多可以购买80台乙种型号的无人机．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
6．（2025 阳西县一模）某商店用20000元购进A、B两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买A种品牌茶叶与购B种品牌茶叶的费用相同、且A种品牌茶叶单价是B种品牌茶叶单价的2倍．
（1）求A、B两种品牌的茶叶叶单价；
（2）若计划用35000元的资金再次购进A、B两种品牌茶叶共200千克，且A、B两种品牌的单价不变，求A、B两种品牌茶叶各购进多少千克．
【分析】（1）设B种品牌茶叶的单价为x元/kg，则A种品牌茶叶单价为2x元/kg，根据购买A种品牌茶叶与购B种品牌茶叶的费用相同，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设购进A种品牌茶叶m kg，则购进B种品牌茶叶（200﹣m）kg，根据用35000元的资金再次购进A、B两种品牌茶叶，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设B种品牌茶叶的单价为x元/kg，则A种品牌茶叶单价为2x元/kg，
由题意得：150，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×100＝200，
答：A种品牌茶叶的单价为200元/kg，B种品牌茶叶单价为100元/kg．
（2）设购进A种品牌茶叶m kg，则购进B种品牌茶叶（200﹣m）kg，
由题意得：200m+100（200﹣m）＝35000，
解得：m＝150，
∴200﹣m＝200﹣150＝50，
答：购进A种品牌茶叶150kg，购进B种品牌茶叶50kg．
【点评】本题考查了分式方程的运用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
考向05:一元二次方程
1．（2025 番禺区一模）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A． B． C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝12﹣4m＝0，
解得m．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．（2025 天河区一模）若关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）＞0，
解得k＜1，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3．（2025 越秀区一模）若关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式化简的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1
【分析】由题意，利用一元二次方程根的判别式与系数的关系列出方程，从而求得m的值．
【解答】解：方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣2）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝﹣8m+16≥0，
∴m≤2，
设关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），
∵两根之和不小于﹣6，
∴2（m﹣2）≥﹣6，
解得m≥﹣1，
∴﹣1≤m≤2，
∴
|m+1|
|m+1|
＝|m﹣2|﹣|m+1|
＝2﹣m﹣m﹣1
＝﹣2m+1，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式与系数的关系，属于易错题．
4．（2025 东莞市校级模拟）已知方程mx2﹣2（m+1）x+m+2＝0（m≠0）是一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根小于﹣1，求m的取值范围．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数；
（2）先求出原方程的两个实数根，根据方程有一根小于﹣1，列出不等式组，求出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，
∴不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：∵mx2﹣2（m+1）x+m+2＝0，
∴[mx﹣（m+2）]（x﹣1）＝0，
∴x1，x2＝1．
则由题意，得，
∴或，
解得﹣1＜m＜0．
即m的取值范围是﹣1＜m＜0．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根；Δ＜0 方程没有实数根．同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式组．
5．（2025 江海区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ＞0即可．
（2）因为，所以由根与系数的关系可得，解方程可得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+4m+1﹣4m+4＝4m2+5＞0，
∴不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）知方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0总有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1）＝﹣2m﹣1，x1x2＝m﹣1，
而，即，解得，
∵时，m﹣1≠0，
∴是原分式方程的解，
∴．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
6．（2025 广东模拟）已知关于x的方程x2+（k+3）x0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程两根为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣k﹣3、x1x2，将其代入1中即可求出k值，再由（1）的结论即可确定k值，此题得解．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（k+3）x0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（k+3）2﹣4×16k+9＞0，
解得：k．
（2）∵方程x2+（k+3）x0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣k﹣3，x1x2．
∵1，即1，
∴k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6．
∵k，
∴k＝6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1，找出关于k的方程．
考向06:一元二次方程的应用
1．（2025 深圳一模）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【分析】设每件商品降价x元，则每件的利润为（60﹣20﹣x）元，根据总利润＝每件的利润×件数即可得解．
【解答】解：设每件商品降价x元，
由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2025 广州模拟）根据广东省统计局数据，广东省2024年的地区生产总值为141633.81亿元，位列全国第一，2022年的地区生产总值为129118.58亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．129118.58（1+x）＝141633.81
B．129118.58（1+x）2＝141633.81
C．129118.58x2＝141633.81
D．129118.58（1+x2）＝141633.81
【分析】设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据2022年的地区生产总值为129118.58亿元，2024年的地区生产总值为141633.81亿元，列出方程．
【解答】解：设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，129118.58（1+x）2＝141633.81，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．（2025 潮阳区一模）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率
为 ．
【分析】设该种药品平均每次降价的百分率为x,利用该种药品的现价=该种药品的原价×（1-该种药品平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x,
根据题意得：200（1﹣x）2=98，
解得：x1=0.3=30%，x2=1.7（不符合题意，舍去），
∴该种药品平均每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2025 深圳模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 　 　 件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【分析】（1）利用月销售量＝400+20×该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：降价x元后的月销售量为（400+20x）件．
故答案为：（400+20x）；
（2）根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．（2025 鹤山市一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某电动车用品批发店准备分两次购入A、B两款头盔．第一次购进了A、B两款头盔共500个，A款头盔进价10元，售价20元；B款头盔进价16元，售价20元．
（1）第一次购进头盔的金额不得超过6320元，则至少购进多少个A款头盔？
（2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变．A款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了8m个，售价比第一次提高了2m元；B款头盔售价和第一次相同，进货量为300个，但是在运输过程中有5%已经损坏，无法销售．结果第二批头盔的销售利润为5044元，求m的值．
【分析】（1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过6320元”列出一元一次不等式，解之即可求解；
（2）根据“第二批头盔的销售利润为5044元”列出一元二次方程，解之即可求解．
【解答】解：（1）设第一次购进A款头盔x个，则购进B款头盔（500-x）个，
根据题意，得：10x+16（500﹣x）≤ 6320，
整理得，6x ≥1680，
解得x ≥280，
答：A款头盔至少购进280个；
（2）根据题意，可得（280+8m）（20+2m-10）+（300×95%×20-300×16）=5044，
整理得：m2+40m-84=0，
解得m=2或-42，
因为m=-42不合题意，舍去，
所以m的值为2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键．
6．（2025 南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
【分析】（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，根据该路段的长度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为（3y+6）米，宽为（2y+2）米，根据镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的
，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，
根据题意得：30x=12（x+120），
解得：x=80．
答：原计划每天摊铺沥青80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2=（3y+6）米，宽为（2y+2）米，
根据题意得：（3y+6）（2y+2）=2×3×2×，
整理得：y2+3y﹣=0，
解得：y1=0.2，y2=-3.2（不符合题意，舍去）．
答：镶上的木质框架的宽为0.2米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考向07:一元一次不等式及其应用
1．（2025 增城区一模）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＞b，
两边同时加上2得：a+2＞b+2，则A不符合题意，
两边同时减去2得：a﹣2＞b﹣2，则B符合题意，
两边同时乘2得：2a＞2b，则C不符合题意，
两边同时乘﹣2得：﹣2a＜﹣2b，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2．（2025 罗湖区二模）不等式3+2x≥1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集即可解决问题．
【解答】解：解不等式3+2x≥1得，
x≥﹣1，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
3．（2025 花都区一模）若关于x，y的方程组的解满足x﹣2y＞7，则m的最小整数解为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣2y＝3m﹣2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣2y＝3m﹣2，
∵关于x，y的方程组的解满足x﹣2y＞7，
∴3m﹣2＞7，
解得：m＞3，
∴m的最小整数解为4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
4．（2025 英德市一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　）
A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000
C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000
【分析】根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【解答】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x+60+80≤1000，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5．（2025 新丰县模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个？
【分析】（1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元．
由题意可得7（x+3）＝10x，
整理得，3x＝21，
解得x＝7，
则x+3＝10．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200﹣m）个．
10m+7（200﹣m）≤1600，
整理得，3m≤200，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键．
6．（2025 黄埔区一模）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．
（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？
【分析】（1）设每袋甲种青团的单价是x元，每袋乙种青团的单价是y元，根据“购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购进m袋甲种青团，则再次购进（150﹣m）袋乙种青团，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1750元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每袋甲种青团的单价是x元，每袋乙种青团的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；
（2）设再次购进m袋甲种青团，则再次购进（150﹣m）袋乙种青团，
根据题意得：10m+12（150﹣m）≤1750，
解得：m≥25，
∴m的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种青团．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
考向08:一元一次不等式组及其应用
1．（2025 天河区一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＞1，
由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：1＜x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
2．（2025 蓬江区校级一模）不等式组的解集为（　　）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣3x≥﹣1，得：x≤1，
解不等式x﹣1≥﹣2（x+2），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2025 汕头模拟）若不等式组无解，则k的取值范围为（　　）
A．k＞2 B．k≥2 C．k＜﹣2 D．k≤﹣2
【分析】求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于k的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可．
【解答】解：，得：，
由条件可知k＞0，，，
令，
由条件可知：反比例函数的图象在第四象限，y随着k的增大而增大，
当y＝﹣3时，k＝2，
∴当时，k≥2；
故选：B．
【点评】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2025 深圳模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，从而得出其所有整数解．
【解答】解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣1．
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【点评】本题考查解解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
5．（2025 汕头模拟）解不等式组：，并求所有整数解的和．
【分析】解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1；
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1，
∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键．
6．（2025 东莞市校级一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
（1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
（2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
【分析】（1）设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为x万元，y万元，根据安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买慢充电桩a个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，求出a的取值范围，设总费用为W万元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）设快速充电桩的单价为x万元，慢速充电桩的单价为y万元，由题意得：
，
解得：，
答：快速充电桩的单价为3.1万元，慢速充电桩的单价为2.5万元；
（2）设购买慢速充电桩a个，则购买快速充电桩（30﹣a）个，由题意得：
，
解得：8≤a≤10，
设总费用为W万元，由题意得：
W＝2.5a+3.1（30﹣a）＝﹣0.6a+93，
∴W随着a的增大而减小，
∵8≤a≤10，
∴当a＝10时，W的值最小为﹣0.6×10+93＝87，
此时30﹣a＝20，
故购买慢速充电桩10个，购买快速充电桩20个时，所需资金最少，最少是87万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用，正确列出式子是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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