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(共18张PPT)
4.6 两条平行线间的距离
1. 理解公垂线、公垂线段的概念;
2. 掌握公垂线段的性质；
3. 理解两条平行线之间距离的本质是公垂线段的长度，能度量两条平行线之间的距离.
连接两点的线段的长度叫作两点间的距离.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
A
B
P
l
O
a
b
什么是两条平行线间的距离？
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线.
连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.
于是 AB⊥l1，CD⊥l1 .
直线 AB，CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线.
线段 AB，CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段.
画两条互相平行的直线 l1，l2，从 l1 上任取两点 A，C，分别作 AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点 B，D.
l1
l2
A
C
B
D
公垂线和公垂线段
画两条互相平行的直线 l1，l2，从 l1 上任取两点 A，C，分别作 AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点 B，D.
问题2：在 l1 上再多取几个点，结果会发生变化吗？量一量.
思考：由此你发现两条平行线的所有公垂线段有什么关系？
问题1：点 A，C 到直线 l2 的距离 AB，CD有什么大小关系？量一量.
相等
不会
都相等
l1
l2
A
C
B
D
于是 AB∥CD.
l1
l2
A
C
B
D
将直线 AB 沿点 A 到点 C 的方向平移 AC 的长度，
则易知线段 AB 的对应线段是 CD.
由平移的性质可知，AB = CD.
画两条互相平行的直线 l1，l2，从 l1 上任取两点 A，C，分别作 AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点 B，D.
几何验证：
公垂线段的性质：
两条平行线的所有公垂线段都相等.
知识要点
l1
l2
A
C
B
D
几何语言：
因为AB，CD都是平行线l1，l2的
公垂线段，
所以 AB = CD.
两条平行线间的距离
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
l1
l2
A
C
B
D
如图，线段 AB，CD 的长度就是平行线 l1，l2 间的距离.
思考：如图，l1 ∥l2 ，在直线 l1 上任取一点 A，作 AB⊥ l2 于点 B. 平行线 l1 与 l2 的距离等于点 A 到直线 l2 的距离吗？
l1
l2
A
B
因此，平行线 l1 与 l2 的距离等于点 A 到直线 l2 的距离.
又线段 AB 的长度是点 A 到直线 l2 的距离，
解：因为l1 ∥l2 ，AB⊥ l2 于点 B，
从而线段 AB 的长是直线 l1 与 l2 之间的距离.
所以 AB⊥ l1 于点 A，
所以线段 AB 是平行线 l1 与 l2 的公垂线段，
知识要点
两条平行线间距离的性质：
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
例1 如图，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段AE与CF相等吗？
解：因为AB∥DC，DE⊥AB，
所以 DE⊥DC.
又 AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB. 因而 DE∥FB.
又 DF⊥DE，DF⊥FB，
从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段. 故 DF = EB.
又 AB = DC，所以 AB – EB = DC - DF，即 AE = CF.
A
B
C
D
E
F
EB⊥DE，EB⊥FB，
例2 设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示. 已知 a 与 b 的距离为 5，b 与 c 的距离为 2，求 a 与 c 的距离．
解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别与 b，c 相交于 B，C 两点．
因为 a，b，c 是三条互相平行的直线，
所以∠1=∠2=∠3=90°，即 AB⊥b，AC⊥a.
因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b ，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.
又 AC = AB+BC = 5 + 2 = 7，
因此 a 与 c 的距离是 7.
A
B
C
a
b
c
1
2
3
根据“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条”，这一步可以省略.
议一议：若将例2中的“如图所示”去掉，a与c的距离会变化吗？
a与c的距离为7
a与c的距离为3
例2 设a，b，c是三条互相平行的直线，如图所示.已知a与b的距离为5，b与c的距离为2，求a与c的距离．
a
b
c
a
b
c
1. 如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，则S△PAB 与S△QAB 的关系为（ ）
【解析】分别过P，Q两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为C，D.
因为MN//AB，PC⊥AB，QD⊥AB，
所以 PC=QD.
所以 S△PAB= S△QAB .
又因为S△PAB= (AB·PC) ，
C
D
M
N
P
Q
A
B
C. S△PABD. 无法确定
A. S△PAB=S△QAB
B. S△PAB>S△QAB
A
S△QAB=(AB·QD) ,
2. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm，这样的直线可以画几条？
可以画2条
l1
l2
l
3. 如图，DE∥BC，AF⊥DE 于点 G，DH⊥BC 于点 H，且 AG = 4 cm，DH = 4 cm，试求点 A 到 BC 的距离.
解：因为AF⊥DE，DE∥BC，
所以 AF⊥BC.
因为 DH⊥BC，
所以 DH∥GF.
因为 DE∥BC，且 DH⊥BC，GF⊥BC，
所以 DH = GF= 4 cm.
所以 AF = AG + GF = 4 + 4 = 8(cm).
即点 A 到 BC 的距离是 8 cm.
两
条
平
行
线
间
的
距
离
性质
概念
公垂线
公垂线段
两条平行线间的距离
1. 两条平行线的所有公垂线段都相等.
2. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.

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