资源简介

11.2反比例函数的图像与性质
【类型一：反比例函数的概念】
1．下列函数：①y＝2x，②，③xy＝﹣2，④，⑤．其中反比例函数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（　　）
A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数
B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数
C．圆柱体的体积为6m3，圆柱的底面积与高
D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
【类型二：用待定系数法求反比例函数解析式】
3．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm．
（1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
（2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长．
4．已知函数．
（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
5．已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数．
（1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式；
（2）证明y是x的反比例函数．
6．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
【类型三：反比例函数的图像与性质】
7．矩形的面积为6，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．函数和y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
10．若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
11．已知函数，，当时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣6，则ak＝（　　）
A． B．9 C． D．3
12．若A（m，y1），B（m+5，y2）两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（　　）
A．当m＜﹣5时，y1＞y2＞0 B．当﹣5＜m＜0时，y1＞0＞y2
C．当0＜m＜5时，y2＞0＞y1 D．当m＞5时，y2＞y1＞0
13．已知反比例函数．
（1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
14．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小．
【类型四：反比例函数与一次函数】
15．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
16．如图，在直角坐标系中，直线y1＝﹣x﹣1与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接OC，过点C作CM⊥x轴，垂足为点M，且OA＝AM．则下列结论正确的个数是（　　）
①S△CMO＝1；
②当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大；
③方程只有一个解为x＝﹣2；
④当x＜﹣2，y1＜y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【类型五：反比例函数与几何综合】
17．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OA在y轴上，点A的坐标为（0，4），将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
18．如图，△AOB的顶点坐标分别为A（1，3），O（0，0），B（3，1）．若反比例函数的图象经过△AOB内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
19．如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形ABCD为正方形．则点A的坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，4） C．（﹣3，5） D．（﹣3，4）
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和菱形ABCD都在第一象限内，，B∥x轴，且BD＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，求此反比例函数的解析式；
（2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值．
21.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 　 　；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
22.如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a），B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）在y轴上取一点P，使|PB|﹣|PA|取得最大值，求出此时点P的坐标．
23.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是﹣4；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出x的解集；
（3）将直线l1：yx沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．
（1）反比例函数的表达式为 　 　；
（2）不等式mx+1的解集是 　 　；
（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为 　 　．
25.如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA＝2，OB＝4，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）将正方形ABCD沿x轴负方向平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图形上．
26.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°．点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，4），M是BC边的中点，函数y（x＞0）的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），且EF在y轴上，点D在函数y（x＞0）的图象上，求直线DF的表达式．
参考答案
【类型一：反比例函数的概念】
1．
【分析】根据反比例函数的定义即可作答．
【解答】解：①是正比例函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③是反比例函数；
④y是x+1反比例函数；
⑤y﹣3是x反比例函数；
所以反比例函数有2个．
故选：C．
2．
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、加工时间×每天加工的零件个数＝800，则加工时间与每天加工的零件个数的乘积是定值，此选项正确，成反比例关系，不符合题意；
B、组数×每组人数＝50，则组数与每组人数的乘积是定值，成反比例关系，此选项正确，不符合题意；
C、底面积×高＝6，则底面积与高的乘积是定值，成反比例关系，此选项正确，不符合题意；
D、购买苹果的金额+购买香蕉的金额＝100，则购买苹果的金额与购买香蕉的金额的和是定值，不成反比例关系，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【类型二：用待定系数法求反比例函数解析式】
3．解：（1）设矩形的面积为S cm2，则S＝7.5×8＝60，
即xy＝60，y，
即y关于x的函数解析式是y，这个函数是反比例函数，系数为60；
（2）当x＝5时，y12，
故这个矩形与之相邻的另一边长为12．
4．解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0，
解得m＝﹣1；
（2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0，
解得m＝1．
故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1．
5．（1）解：∵y是z的反比例函数，
∴设（a≠0），
∵当时，y＝6，
∴a4，
∴①，
∵z是x的正比例函数，
∴设z＝bx（b≠0），
又∵当x＝6时，z＝4，
∴，
∴②，
将②代入①，得：；
（2）证明：由（1）得：（a≠0），z＝bx，
∴，
∴y是x的反比例函数．
6．解：∵y1与x成正比例，y2与x2成反比例，
∴设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0），
∴y＝y1+y2＝ax，
∵当x＝2和x＝3时，y的值都为19，
∴，
解得a＝5，k＝36，
所以y与变量x的函数关系式是．
【类型三：反比例函数的图像与性质】
7．
【分析】由题意y，（x＞0），所以y是x的反比例函数，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意y，（x＞0），
所以y是x的反比例函数，图象在第一象限，
故选：D．
8．
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质、一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故选项C不符合题意．选项D符合题意；
当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故选项A、B均不符合题意；
故选：D．
9．
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限，
∴n﹣2＞0，
解得：n＞2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
10．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数常数k＝﹣m2﹣3＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣3，a）在第二象限，
∴a＞0，
∵B（1，b）、C（2，c）在第四象限，
∴0＞c＞b，
∴b＜c＜a．
故选：D．
11．
【分析】根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内y1随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内y2随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案．
【解答】解：由条件可知：函数经过第一、三象限，在每个象限内y1随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内y2随x增大而增大，
∵当时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣6，
，
∴，
∴ak＝3，
故选：D．
12．
【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限y随x的增大而增大，由此即可求解．
【解答】解：反比例函数k＝﹣5＜0，
∴图象经过第二、四象限，每个象限y随x的增大而增大，
当m＜﹣5时，0＜y1＜y2，故A选项错误，不符合题意；
当，﹣5＜m＜0时，y1＞0＞y2，故B选项正确，符合题意；
当m＞0时，y1＜y2＜0，故C，D选项错误，不符合题意；
故选：B．
13．解：（1）∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴2k+1＜0，
解得：；
（2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴2k+1＞0，
∴．
14．解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2；
（2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
【类型四：反比例函数与一次函数】
15．
【分析】将A（2，1）代入，求出m的值可得反比例函数的解析式．将B（﹣1，n）代入反比例函数的解析式，求出n的值，结合图象可直接得出答案．
【解答】解：将A（﹣2，1）代入，
得m＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y，
将B（n，﹣2）代入y，
得n＝1，
∴B（1，﹣2），
∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
16．
【分析】根据题意当y＝0，可求出x的值，即可得出A点的坐标，即可得出AO的长度，根据题意可知MO的长度，即可得出点M的坐标，由一次函数解析式即可算出点C的坐标，即可得出CM的长度，即可计算出△CMO的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④结论是否正确．
【解答】解：当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），
∴AO＝1，
∵AO＝MA，
∴MO＝2AO＝2，
∴点M（﹣2，0），
把点x＝﹣2代入y＝﹣x﹣1中，
得y＝1，
∴点C（﹣2，1），CM＝1，
∴，
∴①结论正确；
由图象可知，当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴②结论正确；
解方程可得：x2+x+k＝0，Δ＝12﹣4k＞0，有两个解，
∴③结论错误；
由图象可知，当x＜﹣2，y1＞y2，
∴④结论错误．
故选：B．
【类型五：反比例函数与几何综合】
17．
【分析】作DE⊥x轴于E，如图，根据旋转的性质得到AB＝AC，AD＝AO，OB＝CD，利用等腰三角形三线合一的性质得出OB＝OC，进一步得出OC＝CD，即可证得Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），得出∠OAC＝∠DAC＝30°，在Rt△ACO中利用直角三角函数得到CD＝OCOA，通过解直角三角形CDE，确定CE、DE，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k的值．
【解答】解：作DE⊥x轴于E，
∵点A的坐标为（0，4），
∴OA＝4，
∵将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上，
∴AB＝AC，AD＝AO，OB＝CD，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC，
∴OC＝CD，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴∠OAC＝∠DAC，
∵∠OAD＝60°，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∴∠ACO＝∠ACD＝60°，
∴OCOA，∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴CD，
∴CE，DECD＝2，
∴OE＝OC+CE2，
∴D（2，2），
∵点D在反比例函数y的图象上，
∴k＝24．
故选：D．
18．
【分析】根据题意，找到符合条件整点即可得到k的个数．
【解答】解：∵△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（3，1），点P为△OAB内部或边界上的整点，
∴这样的整点有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），
∵反比例函数的图象经过△AOB内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），
∴k值有1，2，3，4，共4个．
故选：B．
19．
【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形ABCD为正方形得，解得n＝5，得点A的纵坐标为5，将n＝5代入，进行计算即可得．
【解答】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，
∵点A，B分别在两个反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
n2＝25，
n＝5，n＝﹣5（舍），
∴点A的纵坐标为5，
将n＝5代入得，，
x＝﹣3，
∴A（﹣3，5），
故选：C．
20．解：（1）连接AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，BE＝DE，
∵反比例函数的图象和菱形ABCD都在第一象限内，，BD∥x轴，BD＝4，
∴AB＝AC，BE＝DE＝2，
∴CE＝AE，
∵点A（3，5），
∴B（1，），D（5，），
∴C（3，2），
若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵点A（3，5）．D（5，），
将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，
∴A′（3，5﹣m），B′（1，m），C′（3，2﹣m），D′（5，m），
当A′，D′两点同时落在反比例函数图象上时，
∴3（5﹣m）＝5（m），
∴m，
∴A′（3，），
k＝3．
当B′，C′两点同时落在反比例函数图象上时，则B′（1，），
∴k＝1．
故m的值为，此时k的值为或．
21.解：（1）把A（2，3）代入反比例解析式得：m＝6，
∴反比例解析式为y，
把B（﹣3，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（﹣3，﹣2），
把A与B代入一次函数解析式得：，
解得：k＝1，b＝1，即一次函数解析式为y＝x+1；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴由图象得：kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜2，
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2；
（3）根据题意得：△ABC的面积S|﹣2|×[2﹣（﹣3）]＝5．
22.解：（1）（1）点A（﹣2，a）在第二象限，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4，
∴OC＝2，AC＝a，
∴S△AOC＝4OC a，解得a＝4，即A（﹣2，4），
∵点A（﹣2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴4，解得k＝﹣8，
∴反比例函数y，
∵点B（b，﹣1）在反比例函数y的图象上，
∴b＝8，
∴a＝4，b＝8；
（2）如图所示，作点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′，
∴A′（2，4），且点B（8，﹣1），
设A′B所在直线的解析式为y＝ex+f（e≠0），
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣，yx，
当点P，A′，B三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值，且点P在y轴上，
∴令x＝0时，y，
∴点P的坐标为（0，）．
23.解：（1）∵直线l1：yx经过点A，A点的横坐标是﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝2，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为yx+b，
把D（15，0）代入，可得015+b，
解得b，
∴平移后的直线l2的函数表达式为yx．
24.解：（1）连接AD，与x轴交于点E，
∵D（2，﹣3），
∴OE＝2，ED＝3，
∵菱形AODC，
∴AE＝DE＝3，EC＝OE＝2，
∴A（2，3），
将A坐标代入直线y＝mx+1得：2m+1＝3，即m＝1，
将A坐标代入反比例y得：k＝6，
∴反比例函数的表达式为y，
故答案为：y；
（2）联立直线与反比例解析式得：，
解得：或，
由图象可知当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值；
∴不等式mx+1的解集是x＜﹣3或0＜x＜2，
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2；
（3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6，
∴S菱形AODCOC AD＝12，
∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP OE＝12，
∴设P（0，p），则|p|×2＝12，即|p|＝12，
解得：p＝12或p＝﹣12，
则P的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．
25.解：（1）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E．则∠DEA＝∠AOB＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝DA，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△AOB≌△DEA，
∴ED＝OA＝2，EA＝OB＝4，
∴OE＝OA+EA＝6，
∴点D的坐标为（6，2），
把D（6，2）代入得：，解得：k＝12，
∴所求的反比例函数关系式为；
（2）如图2，过点C作CF⊥y轴于点F，交双曲线于点M，
同（1）可得△AOB≌△BFC，故CF＝OB＝4，BF＝OA＝2，
∴C（4，6），
∵在反比例函数y中，当y＝6时，x2，
∴M（2，6），
∵CM＝CF﹣MF＝4﹣2＝2，
∴将正方形ABCD沿x轴向左平移2个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上．
26.解：（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB＝4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
∵函数（x＞0）的图象经过点M，
∴k＝3×2＝6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE＝AB，EF＝BC，∠DEF＝∠ABC＝90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝2．
∴DE＝2．
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2．
∵点D在函数（x＞0）的图象上，
当x＝2时，y＝3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF＝BC＝4，
∴点F的坐标为（0，﹣1）．
设直线DF的表达式为y＝ax+b，将点D，F的坐标代入，
得 解得
∴直线DF的表达式为y＝2x﹣1．

展开更多......

收起↑