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湖南省长沙市2025年高考数学考前练习卷（一）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（ ）
A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9
6．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是（）
A．抽取的样本里女生有40人 B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为165 D．样本中不可能有两名男生身高超过190
10．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．当时，函数有极小值
D．当时，函数有极小值
11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，无人机在离地面高300m的A处，观测到山顶M 处的仰角为、山脚C处的俯角为，已知，则山的高度MN为 m．
13．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ．
14．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积．
16．已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围．
17．等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）．将沿折起到的位置，点O，F分别为的中点（如图2）．
(1)求证：平面平面；
(2)如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
18．甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
(1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
(3)求甲成为最终获胜者的概率．
19．对于正整数n，定义函数，函数的导函数记为．
(1)求函数在区间上的零点；
(2)证明：当n为奇数时，函数在区间上至少存在2个极值点；
(3)证明：对于任意实数x，有，并指出等号成立时x的取值．
《湖南省长沙市2025年高考数学考前练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B D B B ABD ABD
题号 11
答案 BCD
12．450
13．/0.4
14．
15．(1)；
(2).
16．(1)；
(2).
17
【详解】（1）因为且，故四边形是平行四边形，则，
又为等腰梯形且，可得是等边三角形．
故四边形BCEA为菱形，是等边三角形，
因为为中点，所以，同理可证．
又，且平面，所以平面，
又BE在平面BCDE内，所以平面平面.
（2）存在点P，使得平面，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又，建立以为原点，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，
设，
则，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，
要使平面，则，即，解得，
故在侧棱上存在点，使得平面，
此时，，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，即，
设平面与平面夹角为，所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．(1);
(2);
(3).
【详解】（1）甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为，
乙连胜两局，概率为；
甲胜第一局乙连胜后两局，概率为；
乙胜第一局甲连胜后两局，概率为；
设事件A为比赛在前三局内结束，则；
答：比赛在前三局内结束的概率为.
（2）设事件为比赛在第四局结束，设事件为甲最终获胜，设事件为乙最终获胜．
则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，
故.
比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为，
故；
故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率；
答：比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为.
（3）定义：状态：当前擂主为甲，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前播主为甲，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前播主为乙，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前擂主为乙，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为．
当状态为时，甲守播成功（概率为0.6），进入状态；甲失败（概率为0.4），进入状态，
可得，，
当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6），比赛结束；甲失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），进入状态；乙失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），比赛结束；乙失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
综合以上四个方程，可解得，．
又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5，故甲成为最终获胜者的概率.
19．
【详解】（1）依题意
.
令，即或或，
解得函数在区间的零点为.
（2）方法一：依题意，对函数求导，得：，
当时，
当时，又为奇数，故，
由零点存在性定理，则存在使得且为极大值点．
又
函数在区间连续且一个对称中心为．
故存在为的极小值点，故在至少存在2个极值点．
方法二：．
取，
，
由零点存在定理，使得，且均为变号零点，
则在至少存在2个极值点.
（3）由(2)知，
由于，
可得，
等号成立当且仅当所有的符号一致且，
此时，解得，则，
或，解得，，
综上或

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