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2024-2025 学年海南省某中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若A3 = 10C2 ，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 12 D. 13
2.已知随机变量 服从二项分布 (5,0.4)，则 ( ) =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.根据一组样本数据( 1, 1)，( 2, 2)， ，( 10, 10)，求得经验回归方程为 = 1.1 + ，已知 = 3， = 4，
则 =( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4.地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘
坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35 岁及以下的市民中，男性约占
52％；35 岁以上的市民中，男性约占 56％；男性市民中，35 岁及以下的约占 43％；女性市民中，35 岁
及以下的约占 40％.根据以上信息，下列结论不一定正确的是( )
A.样本中男性比女性多
B.样本中多数女性是 35 岁以上
C.样本中 35 岁及以下的男性人数比 35 岁以上的女性人数多
D.样本中 35 岁以上的市民比 35 岁及以下的多
5.现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这 7
个景点中随机选择 1 个景点游玩．记事件 =“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件 =“两位游客
选择的景点不同”，则 ( | ) =( )
A. 67 B.
6
13 C.
10 12
13 D. 13
6.4 名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报 1 个项目，则不同
的报名方式有( )种
A. 81 B. 64 C. 36 D. 72
7.用四种不同的颜色给如图所示的六块区域 , , , , , 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总
数是( )
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A. 120 B. 144 C. 264 D. 96
8.6 个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲、乙两个
芯片不相邻的前提下，丙、丁两个芯片相邻的概率为( )
A. 2 B. 3 C. 13 5 2 D.
3
10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2025 年春节档共上映 6 部电影全国电影票房达 95.1 亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪
吒之魔童闹海》和《唐探 1900》分居票房第一、第二的宝座.小明想要观看这 6 部电影，则( )
A.若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探 1900》放在相邻次序观看，则共有 120 种观看顺序
B.若《唐探 1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有 360 种观看顺序
C.若将 6 部电影每 2 部一组随机分为 3 组，则共有 90 种分组方式
D.若将 6 部电影随机分为 2 组，则共有 31 种分组方式
10.已知随机事件 ， 1 1发生的概率分别为 ( ) = 2， ( ) = 3 .事件 ， 的对立事件分别为 ， 则下列结论
正确的是( )
A. = 23 B.若 与 互斥，则 ( ∪ ) =
5
6
C.若 ( ) = ( ) ( )，则 ， 相互独立 D. ( | ) + | = ( )
11.一组样本数据 , , ∈ 1,2,3, , 100 .其中
100 5 100
> 1895， =1 = 2 × 10 ， =1 = 970，求得其经验
′
回归方程为： = 0.02 + 1，残差为 ′1.对样本数据进行处理： = ln 1895 ，得到新的数据 , ，
求得其经验回归方程为： = 0.42 + 2，其残差为 ， 、 分布如图所示，且 ～ 0, 21 ， ～ 0, 22 ，
则( )
A.样本 , 正相关 B. 1 = 49.7
C. 2 21 > 2 D.处理后的决定系数变小
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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4
12.若 3 ∈ 的展开式中的常数项为 4，则 = ．
13.如果随机变量 ～ 2, 2 ，且 ( ≤ 4) = 0.7，那么 ( ≤ 0)的值为 ．
14.蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并
改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023 年中央一号文件》中关于“加
强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举
措，研究了 50% 70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放 10 条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据：
湿度 /% 5055606570
产卵总数 /个2 4 6 9 18
根据表中数据，可以预测湿度为 58%时 10 条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总
数与湿度之间的 关系．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 1)6 = + + 2 + 30 1 2 3 + 44 + 5 65 + 6 ， ∈ ．
(1)求 0的值；
(2)求 1 + 3 + 5的值；
16.(本小题 15 分)
为了估计一个小池塘中鱼的条数 ，池塘主人先从中打捞出 20 条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出
10 条鱼，发现有记号的鱼有 4 条．
(1)试估计 的值；
(2)对于(1)中的估计值 ，若在这 条鱼中， 种鱼有 8 条，从 条鱼中打捞出 3 条，用 表示其中 种鱼的
条数，求 的分布列和数学期望．
17.(本小题 15 分)
截至 2025 年 2 月 13 日晚，电影《哪吒之魔童闹海》(《哪吒 2》)总票房(含预售)已突破 100 亿元，观影
人次破 2 亿，成为中国影史首部票房破 100 亿且观影人次破 2 亿的电影，登顶全球影史单一市场票房榜，
暂列全球票房榜第 17 名．按照猫眼专业版 预测，其最终票房将达到 153.38 亿，若达成则有望超越电影
《星球大战：原力觉醒》的 150.19 亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，
调查了 400 名学生(男女各一半)的选择，发现喜欢该电影的人数是 300，喜欢该电影的女生比男生少 60 人．
(1)完成下面的 2 × 2 列联表；
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喜欢电影不喜欢电影总计
女生
男生
总计
(2)根据调查数据回答：有 99.9％的把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )．
临界值表如下：

= 2 0.10 0.05 0.01 0.0050.001
≥
2.7063.8416.6357.87910.828
18.(本小题 17 分)
寒假有来自不同大学的 3 名男生和 2 名女生来母校开展大学宣讲活动．
(1)若要将这 5 名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？
(2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间(甲乙同学之间只有班主
任)，有多少种不同的排法？
(3)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？(写出
必要的数学式，结果用数字作答)
19.(本小题 17 分)
2025 年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块， ， ， 三个工程队负责从冰冻的江中采出
尺寸相同的冰块．在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了． ， ， 三个
工程队所采冰块总数之比为 6: 7: 5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为 0.8，0.6，0.6.
在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中．现
在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率．
(1)若只取 1 块，求它是由 队所采的概率；
(2)若抽取 2 块，其中由 队采出的冰块数记为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为 0.65，那么能否判断今年冰块的利
用率有显著提升？你有什么好的建议？
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.0.3/ 310
14.回归模型；线性相关
15.解：(1)因为(2 1)6 = 0 + 1 + 22 + 33 + 4 4 + 5 65 + 6 ， ∈ ，
令 = 0 得， 0 = 1．
(2)因为(2 1)6 = + + 2 + 30 1 2 3 + 4 4 + 5 65 + 6 ， ∈ ，
令 = 1 得， 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1，
令 = 1 得， 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 = 729，
上述两个等式相减得 2 1 + 3 + 5 = 1 729 = 728，故 1 + 3 + 5 = 364．
16.解：(1)已知小池塘中鱼的条数为 ，
20
由样本估计总体得 =
4
10，解得 = 50，
所以估计小池塘中有 50 条鱼．
(2)依题意， 的可能取值为 0，1，2，3，
3 2
( = 0) = C42 = 41 ( = 1) = C42C
1
8 = 123
1 2 3
所以 ， ， ( = 2) = C42C8 = 3 C8 1
C350 70 C
3 3
50 350 C50 50
， ( = 3) = 3 = ，C50 350
的分布列为
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0 1 2 3
41 123 3 1
70 350 50 350
( ) = 0 × 41 + 1 × 123 3 1 1270 350 + 2 × 50 + 3 × 350 = 25．
17. + = 300解：(1)设喜欢电影的男生人数为 = 180，喜欢电影的女生人数为 ，有 = 60，解得 = 120．
计算得到不喜欢该电影的男生人数为 20，不喜欢该电影的女生人数为 80.填表如下：
喜欢电影 不喜电影 总计
女生 120 80 200
男生 180 20 200
总计 300 100 400
(2)先假设是否喜欢哪吒电影与性别无关．
2 2
在表格中选取 = 0.001 ( ) 400(120×20 180×80)，根据公式计算： 2 = ( + )( + )( + )( + ) = 300×100×200×200 = 48 > 10.828
说明是否喜欢哪吒电影与性别有关的可能性在 99.9％以上．
18.解：(1)由题意，先讲 5 名同学分成三个组，则有“1，1，3”和“1，2，2”两种分法，
1 1 2 2
所以分组方法总共有 5 4 + 5 3 = 25 种，再将其分配给三个班，则有 25 3 = 150 种；
2 2 32 2
(2)利用捆绑法，先排班主任与甲乙有 22 = 2 种，
再与其他三名同学一起排列，则有 2 44 = 48 多少种；
(3)利用正难则反，求出所有情形再减去甲在最左端，乙在最右端的情况，
再加上甲在最左端，且乙在最右端的情况，共有 55 2 4 + 34 3 = 78 种.
19.解：由题意知，冰块之间是没有差异的，所以从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块
冰的可能性可以看作是相等的．
(1) 7因为 ， ， 三个工程队所采冰块总量之比为 6: 7: 5，所以若只取 1 块，它是 队所采的概率为 = 6+7+5 =
7
18．
(2)据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取，
设事件 ， ， 分别表示随机抽取的一块冰是由 ， ， 三个队分别采回的，
与(1) 6 1同理可求得若只取 1 块，则 ( ) = 6+7+5 = 3，
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由 ， 两队所采的概率为 ( ) = 1 ( ) = 23，
1
依题意可知 的取值为 0，1，2，且 ∽(2, 3 )，
所以 ( = 0) = 0( 1 )0( 2 )2 = 42 3 3 9，
( = 1) = 1 × 1 × 22 3 3 =
4
9，
( = 2) = 2( 1 )2( 2 0 12 3 3 ) = 9，
所以 的分布列为：
1 2
数学期望 ( ) = 2 3 = 3．
(3)设事件 表示冰块被利用，由(2)知 ( ) = 7 7 56+7+5 = 18， ( ) = 18，
所以 ( ) = 0.8， ( | ) = 0.6， ( | ) = 0.6，
又因为 ( ) = ( ∪ ∪ ) = ( ) ( ) + ( ) ( | ) + ( ) ( ) = 13 × 0.8 +
7 5
18 × 0.6 + 18 ×
0.6 = 23 ≈ 0.67，
即今年冰块的利用率约为 0.67，
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约 0.67 0.65 = 2%，
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，可以进一步查阅数据，构
造相关统计量再进行判断. (答案合理即可)
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