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2025年山东省济南市学业水平考试数学模拟练习试卷（三）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1．一月某天，以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
济南 烟台 青岛 泰安
A．济南 B．烟台 C．青岛 D．泰安
2 . 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，
如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 . 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月4日，累计票房已达145亿元，
据相关数据预测，电影《哪吒之魔童闹海》到3月30日下映时的总票房将达到160亿元以上，
数据16000000000用科学记数法表示约为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．
若，，则α等于（ ）
A． B． C． D．
如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，
则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
7． 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
8 . “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，
小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张
送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），
让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，
连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）

A． B．若，则
C． D．
10 . 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．
点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．
点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，
的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．
下列说法正确的是（ ）
点的运动速度为；
点的坐标为；
线段段的函数解析式为；
曲线段的函数解析式为；
若的面积是四边形的面积的，则时间．
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11 .分式方程的解是 ．
12 . 现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．
现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 个．
13 .为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为__________度时，平行于支撑杆．
14 .小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，
他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．
小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，
小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），
图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．
小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米．
15 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．计算：．
解不等式组：，并写出它的所有整数解．
如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
19 .图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角．
填空： ， ；
求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离；
若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
20. 如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
求证：；
(2) 若，，求的长．
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，
极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，
赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，
随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，
得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30 b
a 0.30
80 0.40

请根据所给信息，解答下列问题：
抽取的样本容量为 ，　 　，　 　；
请补全频数分布直方图；
若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度；
这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段；
若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，
则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？
为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，
某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
23.综合与实践：
如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
把线段绕点B逆时针旋转得到，过点C作轴于点D，
反比例函数的图象经过点C，与直线交于两点E和F．

求反比例函数的解析式；
如图2，若点E的横坐标是1，点F的纵坐标是．
① 直接写出线段和的数量关系和当时，x的取值范围；
② 连接和，求的面积；
当点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，
以点A，D，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
24.如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3) 在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，
点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，
使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．
请直接写出和的数量关系．
【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．
请直接写出的值．
【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．
连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
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2025年山东省济南市学业水平考试数学模拟练习试卷（三）解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1．一月某天，以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
济南 烟台 青岛 泰安
A．济南 B．烟台 C．青岛 D．泰安
【答案】A
【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：，
四个城市中某天中午12时气温最低的城市是北京，
故选：A．
2 . 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，
如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3 . 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月4日，累计票房已达145亿元，
据相关数据预测，电影《哪吒之魔童闹海》到3月30日下映时的总票房将达到160亿元以上，
数据16000000000用科学记数法表示约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：16000000000用科学记数法表示为．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
【答案】B
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案．
【详解】A．，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项正确，符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．
若，，则α等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，
则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦的长为，
故选：D．
7．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据方程有实数根，可得，带入数值求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
即，
化简可得，
当时，一元二次方程变为一元一次方程，
解得，
即当时，方程有实数根，
综上可得，的取值范围是，
故选．
8 . “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，
小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张
送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），
让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
9 . 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，
连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）

A． B．若，则
C． D．
【答案】B
【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵ABCD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
10 . 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．
点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．
点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，
的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．
下列说法正确的是（ ）
点的运动速度为；
点的坐标为；
线段段的函数解析式为；
曲线段的函数解析式为；
若的面积是四边形的面积的，则时间．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒，
当时间为秒时，，此时的面积为，
∴为，
∴点的运动速度为：，故正确；
当运动到秒时，函数关系式改变，则，
过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
由，则，
∴，
∴，故错误；
当点在上时，如图，于点，
∴，故正确；
如图，，，过点作于点，
由得，
则，
∴，
即曲线段的函数解析式为：，故正确；
∵，
∴，
当 时，，时，或（舍去），
当 时，，解得或 （舍去），
∴或，的面积是四边形的面积的，故错误，
综上可知，
故选：．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11 .分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键在于将分式方程转化整式方程以及求得的结果要进行检验．方程两边同时乘以得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得，
，即
解得：，
检验：当时，，
是方程的解．
故答案为：．
12 . 现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．
现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 个．
【答案】16
【分析】此题考查了概率公式的应用，解题的关键是注意掌握方程思想的应用，概率=所求情况数与总情况数之比．
首先设红球有x个，利用概率公式即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：设红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解．
故答案为：16．
13 .为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为__________度时，平行于支撑杆．
【答案】70
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：70
14 .小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，
他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．
小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，
小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），
图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．
小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意知，小明的速度为（米/分钟），小明从第分钟时，开始回家，当小明在返回途中追上爸爸时，，可求，根据此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，小明的速度为（米/分钟），
小明从第分钟时，开始回家，
∵小明在返回途中追上爸爸，
∴，
解得，，
∴此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有（米），
故答案为：．
15 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据绝对值的定义、指数幂、负值数幂、特殊角的三角函数值把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，然后再根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
19 .图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角．
填空： ， ；
求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离；
若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)，
(2)车后盖最高点到地面的距离为；
(3)没有碰头危险，见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
（1）由题意得，利用平行线的性质即可求解；
（2）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（3）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）解；由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图，作，垂足为点，
在中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为；
（3）解：没有碰头危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，
，，
，
，
，
在中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有碰头危险．
20. 如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
求证：；
(2) 若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，由是的直径，得到，则，即可证明；
（2）由是的中点，，得，求得，由，求得，由，求得，进而得到，再证明，则，由，，得，则，推出．
【详解】（1）
证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
是的直径，
，
，
；
（2）解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，，
，
，
，
的长为．
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，
极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，
赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，
随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，
得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30 b
a 0.30
80 0.40

请根据所给信息，解答下列问题：
抽取的样本容量为 ，　 　，　 　；
请补全频数分布直方图；
若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度；
这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段；
若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，
则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
(4)
(5)1400
【分析】（1）根据的频数和频率计算样本容量，根据和的频率和频数计算a，b；
（2）根据表格数据补全频数分布直方图即可；
（3）根据分数段的频率乘以计算圆心角即可；
（4）根据频数分布直方图得出中间两个数落在的分数段，从而得出中位数所落在的分数段；
（5）利用样本80分以上(包括80分)的频率乘以学校总人数计算即可．
【详解】（1）解：∵的频数为10，频率为0.05，
∴抽取的样本容量为：；
∴，；
故答案为：，，；
（2）根据表格数据补全频数分布直方图如下：

（3）∵对应的频率是，
分数段对应的扇形的圆心角为：
故答案为：；
样本容量是200，根据频数分布直方图可知从小到大排列后，
第100个和第101个数据都在这个范围，
∴这次比赛成绩的中位数会落在分数段，
故答案为：；
（5）该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有：
故答案为：1400．
为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，
某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元，
根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为4000元，
故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
23.综合与实践：
如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
把线段绕点B逆时针旋转得到，过点C作轴于点D，
反比例函数的图象经过点C，与直线交于两点E和F．

求反比例函数的解析式；
如图2，若点E的横坐标是1，点F的纵坐标是．
① 直接写出线段和的数量关系和当时，x的取值范围；
② 连接和，求的面积；
当点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，
以点A，D，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②15
(3)或或．
【分析】（1）证明，得到点，进而求解；
（2）①观察函数图象即可求解；
②由的面积，即可求解；
（3）当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和列出表达式，即可求解；当是对角线时，同理可解．
【详解】（1）对于，令，解得，令，则，
即点、的坐标分别为、，
，，
，
，，
，
，，
点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
故反比例函数表达式得：；
（2）当时，，即点，
同理可得，点，
①由点、、的坐标知，，
即，
观察函数图象知，当时，的取值范围为：或；
②延长交轴于点，设交轴于点，

设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：，即点；
同理可得，直线的表达式为：，即点，
则，，，
则的面积
；
（3）设、，，
当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得；
即点；
当是对角线时，同理可得：
，解得，
即点；
当是对角线时，同理可得：
，解得：，
故点；
综上，点的坐标为：或或．
24.如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3) 在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，
点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，
使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)yx2x+4
(2)E（3，8）
(3)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）
【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式；
（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案；
（3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线yx+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标．
【详解】（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
（3）yx2x+4（x）2；
∴该抛物线对称轴是：x，
∴A（-1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，
由（2），可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线yx+4上，
∴点M的坐标是（3，2），
又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为，
∴P（，）；
②如图3，以AM为边时，
∵由（2），可得点M的横坐标是3，
∵A（-1，0），且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为，
∴P（，）；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
∴点P的坐标是（，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（，）或（，）或（，）．
（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．
请直接写出和的数量关系．
【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．
请直接写出的值．
【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．
连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；②
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，进而得出结果；
（3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，设，
∴．
∴， ，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，，，则
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
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