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2024-2025 学年江西省景德镇一中高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 1 , 2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是( )
A. 1 2 , 2 2 1 B. 1 2 ,
1
1 2 2
C. 2 2 3 1 , 6 1 4 2 D. 1 + 2 , 1 + 3 2
2.函数 = + 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.已知非零向量 , 满足| | = 4| |，且 ⊥ 2 + ，则 与 的夹角为( )
A. 3 B.

2 C.
2 D. 5 3 6
4 .已知将函数 = sin + 6 ( > 0)的图象仅向左平移4个单位长度和仅向右平移2个单位长度都能得
到同一个函数的图象，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5 8 163 3 C. 3 D. 3
5.如图，某县区域地面有四个 5 基站 ， ， ， .已知 ， 两个基站建在江的南岸，距离为 10 3km；基
站 ， 在江的北岸，测得∠ = 75°，∠ = 120°，∠ = 30°，∠ = 45°，则 ， 两个基站的距
离为( )
A. 10 2km B. 10 5km C. 15 D. 10 3km
6.已知函数 ( ) = tan( )( > 0,0 < < ) 与直线 = 交于 、 两点，且线段 长度的最小值为3，
若将函数 ( ) 的图象向左平移12个单位后恰好关于原点对称，则 的最大值为( )
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A. B. C. 3 D. 7 8 4 4 8
7.已知 是△ 内一点，2 + 3 + = 0 ，若△ 与△ 4的面积之比为7，则实数 的值为( )
A. 10 B. 10 C. 20 D. 203 3 3 3
8 3.已知向量 , , 满足 = 1, = 3， = , , 2 = 30
，则 的最大值等于( )
A. 2 7 B. 7 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = (1, 2)， = (4, )，则正确的有( )
A.若 / / ，则 = 8
B.若 ⊥ ，则 在 + 方向上的投影向量是(1,0)
C.若 与 + 9的夹角为锐角，则 的取值范围为( ∞, 2 )
D.若 ， 的夹角为120 ，则 = 3
10 3 .已知函数 ( ) = sin + 4 ( > 0)，且 ( ) ≤ 2 ， ( )的最小正周期为 ， < < 2 ，则( )
A. = 5 B. 3 6 2 = 1
C. + 3 为奇函数 D. ( )关于 2 , 0 对称
11.在三角形 所在平面内，点 满足 =

+

，其中 ∈ (0, + ∞)， , ∈ R， ≠ 0， ≠ 0，

则下列说法正确的是( )
A.当 | | = | |时，直线 一定经过三角形 的重心
B.当 = = 1 时，直线 一定经过三角形 的外心
C.当 = cos , = cos 时，直线 一定经过三角形 的垂心
D.当 = sin , = sin 时，直线 一定经过三角形 的内心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 sin(2 ) = 4 , ∈ 3 5 2 , 2
sin +cos
，则sin cos =
13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系 中，两坐标轴的正半轴的
夹角为 60°， 1 ， 2 分别是与 轴， 轴正方向同向的单位向量.若向量 = 1 + 2 ，则称有序实数对( , )
为 在该斜角坐标系下的坐标.若向量 ， 在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2, )，且 = 15，则
实数 的值为 ．
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14.在 中，∠ = 90°， = 4， = 2，点 为边 的中点，点 在边 上，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1, 2)， = 3 5．
(1)若 // ，求 的坐标；
(2)若(8 ) ⊥ ( )，求 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数 = ( )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所
π
有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向右平移4个单位后得到函数 = ( )的图
象.若 ( ) + 1 = 0 ∈ π , π在 4 2 有解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱
蚊灯，去年每月收集 28 天，连续检测了 12 个月，其中 5 月份蚊虫最多，11 月份最少，由于工作人员不小
心，某些月份数据丢失，保留的月份 (1 ≤ ≤ 12)及每月对应的蚊虫密度值 的数据如下表：
2 5 8 11
42 82 42 2
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(1)从 = + ( > 0，且 ≠ 1)， = sin( + ) + ( > 0, > 0, < < )， = log ( > 0，且
≠ 1)中选择一个合适的函数模型，并给出理由;
(2)在(1)的基础上，求出蚊虫密度 关于月份 的拟合模型的解析式;
(3)今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于 62 时，将采取灭蚊措施.若
此养殖场今年的蚊虫密度符合(2)中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施
18.(本小题 17 分)
1
如图，在 中， 为 中点， 为 上一点，且满足 = + 3 ，
(1)求 的值；
(2)若∠ = 3 33， 的面积为

2 ，求 的最小值．
(3)若∠ = 3， = 3，求 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
是直线 外一点，点 在直线 上(点 与点 ， 任一点均不重合)，我们称如下操作为“由 点对 施
| |sin∠ | |sin∠
以视角运算”：若点 在线段 上，记( , ; ) = | |sin∠ ；若点 在线段 外，( , ; ) = | |sin∠ .
在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，点 在射线 上.
(1)若 是角 的平分线，且 = 3 ，由 点对 施以视角运算，求( , ; )的值；
(2)若 = 60°， = 4， ⊥ ，由 点对 施以视角运算，( , ; ) = 4，求 的周长；
(3)若 = 120°， = 4 sin ，由 点对 施以视角运算，( , ; ) = sin ，求 + 4 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.17
13.2
14.45/0.8
15. →
→
【详解】(1)因为 / !/ ，设 = ，则 = = | | = | | × 12 + ( 2)2 = 5| | = 3 5，
所以 =± 3，即 = (3, 6)或 = ( 3,6)．
(2)因为 8 ⊥ ，所以得到 8
2
· = 8 2 9 · + = 8 × 5 9 × 5 ×
3 5cos , + 45 = 0，
17
解得 cos , = 27．
16. π π π π 2π【详解】(1)由图可知：2 = 3 12 = 4，所以 = 2 = ，所以 = 4，
∵ > 0 ∴ = 1 1， 由图易得 3，则 ( ) = 3 sin(4 + )，
π = 1 sin π又 12 3 3 + =
1 π π
3，则 sin 3 + = 1，则3 + = 2 π +
π
2， ∈ ，
π
所以 = 2 π + 6， ∈ ，
1 π 1 π
所以 ( ) = 3 sin 4 + 2 π + 6 = 3 sin 4 + 6 ．
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令 2 π π2 ≤ 4 +
π
6 ≤ 2 π +
π
2， ∈ ，
π π π π解得 2 6 ≤ ≤ 2 + 12， ∈ ，
所以 ( ) π π π π的单调递增区间为 2 6 , 2 + 12 ， ∈ ．
(2)由题 ( ) = sin 2 π4 +
π
6 = sin 2
π
3 ．
∈ π , π π π 2π 1当 4 2 ，2 3 ∈ 6 , 3 时， ( ) ∈ 2 , 1 ．
所以 = ( ) + 1 ∈ 32 , 2 ．
17.解：(1) = sin( + ) + ( > 0, > 0, < < )适合，
当 = 2 与 = 8 时， = 42，
而 = + ( > 0，且 ≠ 1)与 = log ( > 0，且 ≠ 1)均为单调函数，
所以 = sin( + ) + ( > 0, > 0, < < )适合；
(2) 由 5 月份蚊虫最多，11 月份最少，得2 = 11 5 = 6，
2
所以 = 12 = ，得 = 6，
由 + = 82， + = 2，得 = 40， = 42，
所以 = 40sin( 6 + ) + 42，
(5,82) 5 5 将 代入得 sin( 6 + ) = 1， 6 + = 2 + 2， ∈ ，
即 = 2 3， ∈ ，又 < < ，
所以 = 3，故 = 40sin(

6 3 ) + 42(0 ≤ ≤ 12, ∈ )；
(3) 令 40sin( 6 3 ) + 42 ≥ 62(0 ≤ ≤ 12, ∈ )，
1 5
得 sin( 6 3 ) ≥ 2，即 2 + 6 ≤ 6 3 ≤ 2 + 6， ∈ ，
得 12 + 3 ≤ ≤ 12 + 7， ∈ ，又 0 ≤ ≤ 12， ∈ ，
故 = 3，4，5，6，7，
即养殖场应准备在 3，4，5，6，7 月采取灭效措施．
18.【详解】(1)在 中， 为 中点，则 , , 三点共线，
设 = ，∴ = ( )，
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故 = + (1 ) = + 12 (1 )
，
=
又 = + 1 3
，故 1
2 (1 ) =
1 ,
3
= = 1 = 1解得 3，即 3．
(2)由(1)知 = 1 + 1 3 3
，
所以
2
=
2 2 2
= ( 1 + 1 )23 3 =
1 ( + 9 + 2
)
1
= (| |2 + | 29 | + 2|
| | |cos∠ )
≥ 1 (2| | | | + 2| | | |cos∠ )，当且仅当| | = | 9 |时取等号，
= 3 3 1又 ，则 | 2 2 | |
|sin∠ = 3 32 ，
1
即 | | | |sin π = 3 3，∴ | | | 2 3 2 | = 6
故
2
≥ 1 π 9 (2 × 6 + 2 × 6cos 3 ) = 2，∴ ≥ 2，
即 的最小值为 2，当且仅当| | = | | = 6时取等号．
2 2 2
(3)而 + = 2 ，故( + )2 = + 2 + = 4 = 12，
令 = | |, = | |，则 2 + 2 cos + 2 = 2 + + 2 = 12 ≥ 3 ，
所以 ≤ 4，当且仅当 = = 2 1时等号成立，则 面积 = 2 sin ≤ 3，
综上， 面积的最大值为 3．
19.【详解】(1)因为 是角 的平分线，所以∠ = ∠ 且 在线段 上，
( , ; ) = | |sin∠ 所以 | |sin∠ = ，
又 = 3 ，所以( , ; ) = =
1
3；
(2)因为点 在射线 上，∠ = 60°，且 ⊥ ，所以 在线段 外，且∠ = 30°，
| |sin∠ sin90° 2
所以( , ; ) = | |sin∠ = sin30° = = 4，
所以 = 2 ，
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在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以42 = 2 + 4 2 4 2cos60°，即 3 2 = 16
4 3 4 3
解得 = 3 或 = 3 (舍去)，
所以 的周长为 = + + = 4 + 4 3．
(3)因为( , ; ) = sin | |sin∠ sin > 0，所以| |sin∠ = ，则∠ = ∠ ，
因为 = 120°，所以∠ = ∠ = 60°，
1
又 = + ，所以2 sin120° =
1
2 sin60° +
1
2 sin60°，
又 = 4 4 4，所以 = 4( + )，所以 + = 1，
+ 4 = ( + 4 ) 4+ 4 = 16 + 4 + 20 ≥ 2 16 4 所以 + 20 = 36，
16 = 4 当且仅当 ，即 = 12， = 6 时等号成立，
所以 + 4 的最小值为 36．
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