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2024-2025 学年福建省泉州市永春二中中等五校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 2 57 7 =( )
A. 63 B. 10 C. 21 D. 0

2.已知函数 ( ) = → 0 (1) (1+ )，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3.某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁 4 位同学报名参加 ， ， ， 这 4 个项目的比赛，每人只
报名 1 个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加 项目，则不同的报名方法种数有( )
A. 18 B. 21 C. 23 D. 72
4.若曲线 = 3 + 在点(1,1)处的切线方程为 = 4，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.随机变量 ～ (100, )，且 ( ) = 20，则 (2 1) =( )
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
6.已知偶函数 ( )的定义域为 ，导函数为 ′( )，若对任意 ∈ [0, + ∞)，都有 2 ( ) + ′( ) > 0 恒成
立，则下列结论正确的是( )
A. (0) < 0 B. 9 ( 3) < (1) C. 4 (2) > ( 1) D. (1) < (2)
7. ( )是定义在[ , ]上的函数， ′( )为 ( )的导函数，若方程 ( ) = ′( )在[ , ]上至少有 3 个不同的
解，则称 ( )为[ , ]上的“波浪函数”.已知定义在[ 4,3]上的函数 ( ) = 3 + 2 2 + + 8 为“波浪函
数”，则实数 的取值范围是( )
A. 565 < 7 B.
56
5 < 4 C. 4 <
56
5 D. 7 < 4
8.考察下列两个问题：①已知随机变量 ～ ( , )，且 ( ) = 4， ( ) = 2，记 ( = 1) = ；②甲、乙、
丙三人随机到某 3 个景点去旅游，每人只去一个景点，设 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，
表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记 ( | ) = ，则( )
A. = 123 , =
1
2 B. =
1
24 , =
1
22 C. =
1 , = 1 = 1 , = 1
25 2 D. 26 22
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 ( ∈ )，则( )
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A. ( )是奇函数
B. ( ) 3 3的单调递增区间为( ∞, 3 )和( 3 , + ∞)
C. ( ) 2 3的最大值为 9
D. ( )的极值点为( 3 , 2 3 ), ( 3 , 2 33 9 3 9 )
10 1.已知二项式(2 ) 的展开式中共有 7 项，则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为 128 B.所有项的系数和为 1
C.二项式系数最大的项为第 4 项 D.有理项共 3 项

11 4 2.记 ， 分别为 ， 的对立事件，且 ( ) = 15， ( ) = 15， ( | ) =
3
4，则( )
A. ( | ) = 3

8 B. ( | ) =
1
4 C. ( ∪ ) =
3
10 D. ( ∪ ) =
7
10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用 5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同
的种植方法种数是______．
13.已知函数 ( ) = 3 + 2 + 1 在区间[1,2]上单调递增，则实数 的取值范围是______．
14.若 0 + 2 1 + 22 2 + + 2 = 243，且(3 + ) = 0 + 1 + + ，则 0 1 + 2 3 + +
( 1) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
2025 年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、《封神 2》、《射雕英雄传》4
部优秀的影片.现有 4 名同学，每人选择这 4 部影片中的 1 部观看．
(1)如果这 4 名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这 4 名同学中的甲、乙 2 名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神 2》，那么共有多
少种不同的选择方法？
(3)如果这 4 名同学中恰有 2 名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16.(本小题 15 分)
为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，现
两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：
①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，
分数持平，则并列为冠军；
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②如果在答满 5 轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满 5 次题可能答对的题目数量，则不需再
答题，譬如：第 3 轮结束时，双方答对题目数量比为 3：0，则不需再答第 4 轮了；
3 2
③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是4，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是3，每
轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了 3 轮题，且每次答题互不影响，记 为答对题目的数量，求
的分布列及数学期望；
(2)求在第 4 轮结束时，学生代表甲答对 3 道题并刚好胜出的概率．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 + 3( 2) 2 12 ．
(1)当 = 0 时，求 ( )在[ 2,4]上的最值；
(2)讨论 ( )的单调性．
18.(本小题 15 分)
1
某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是2，从按
1 2
钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3，3，若前一次出现绿球，则
3 2
下一次出现红球，绿球的概率分别为5，5，记第 ( ∈ , ≥ 1)次按下按钮后出现红球的概率为 ．
(1)求 2的值；
(2)若 ∈ ， ≥ 2，试用 1，表示 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1 ) ，
(1)若 ( )在定义域内为增函数，求 的取值范围；
(2) (1) ( ) = 在 的条件下，设函数 ，若在[1, ]上至少存在一个 0，使得 ( 0) ≥ ( 0)成立，求实数 的取
值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.240
13.[ 134 , + ∞)
14.32
15.24；
16；
144．
16. 3解：(1)易知 ～ (3, 4 )，
而 的可能取值为 0，1，2，3，
3 1
此时 ( = 0) = (1 )34 = ， ( = 1) =
1
64 3
3
4 (1
3 2 9
4 ) = 64，
( = 2) = 23 (
3
4 )
2 (1 3 274 ) = 64， ( = 3) =
3
3 (
3 3 3 0 27
4 ) (1 4 ) = 64，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 9 27 27
64 64 64 64
则 ( ) = 3 × 3 94 = 4．
(2)记“在第 4 轮结束时，学生代表甲答对 3 道题并刚好胜出”记为事件 ，
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记“在第 4 轮结束时，学生代表乙答对 0 道题”记为事件 1，
记“在第 4 轮结束时，学生代表乙答对 1 道题”记为事件 2，
此时 1、 2互斥，且 = 1 2，
所以 ( 1) = 23 (
3 2 3 3 2 4 1
4 ) (1 4 ) 4 (1 3 ) = 256，
( ) = ( 3 )3 (1 3 ) × 1 2 (1 2 )3 + 2 3 22 4 4 3 3 3 3 ( 4 ) (1
3 ) 34 4
1
4
2
3 (1
2 3 5
3 ) = 128，
则 ( ) = ( 1) + ( 2) =
11
256．
11
故在第 4 轮结束时，学生代表甲答对 3 道题并刚好胜出的概率为256．
17.解：(1)已知 ( ) = 2 3 + 3( 2) 2 12 ，函数定义域为 ，
当 = 0 时， ( ) = 2 3 6 2，
可得 ′( ) = 6 2 12 = 6 ( 2)，
当 < 0 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 0 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 0 时，函数 ( )取得极大值，极大值 (0) = 0，
当 = 2 时，函数 ( )取得极小值，极小值 (2) = 8，
又 ( 2) = 40， (4) = 32，
所以 ( )在[ 2,4]上的最大值为 32，最小值为 40；
(2)易知 ′( ) = 6 2 + 6( 2) 12 = 6( + )( 2)，
若 < 2，即 > 2 时，
当 < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
若 = 2，即 = 2 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增；
若 > 2，即 < 2 时，
当 < 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 2 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上，当 > 2 时，函数 ( )在( ∞, )和(2, + ∞)上单调递增，
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在( , 2)上单调递减；
当 = 2 时，函数 ( )在 上单调递增；
当 < 2 时，函数 ( )在( ∞,2)和( , + ∞)上单调递增，
在(2, )上单调递减．
18.解：(1)设 1 =第 1 次出现红球， 2 =第 1 次出现绿球， =第 2 次出现红球，
则 ( 1) = ( 2) =
1
2， ( | 1) =
1
3， ( | ) =
3
2 5，
由全概率公式得 2 = ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | ) =
1 1 1 3 7
2 2 × 3 + 2 × 5 = 15．
(2)设 1 =第 1 次出现红球， 2 =第 1 次出现绿球， =第 次出现红球，
1 3
则 ( 1) = 1， ( 2) = 1 1， ( | 1) = 3， ( | 2) = 5，
由全概率公式得 = ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2)
= 1 3 4 3 1 × 3+ (1 1) × 5 = 15 1 + 5 ( ∈ , ≥ 1)．
19.解：(1) ∵函数 ( ) = ( 1 ) ，
∴ ′( ) = + 1 2
1
，
∵ ( )在定义域内为增函数，
∴ ′( ) = + 1 1 2 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
∴ ≥ 1 1在(0, + ∞)上恒成立， +
∵ + 1 ≥ 2，
∴ 0 < 1 1 ≤
1
2， +
∴ ≥ 12；
(2)在[1, ]上至少存在一个 0，使得 ( 0) ≥ ( 0)成立，等价于 ( ) ≥ ( ) ，
∴ ( ) ≥ ( )，
∴ ( 1 ) ≥ 1，
∴ ≥ 2 2 1．
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