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2024-2025 学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列 3，4，5，6， 的一个通项公式为( )
A. = B. = + 1 C. = + 2 D. = 2
2.下列数列是等比数列的是( )
A. 3，9，15，21，27 B. 1，1.1，1.21，1.331，1.464
C. 13，16，19，112，115 D. 4， 8，16， 32，642
3.如果质点 按照规律 = 3 2运动，则在 = 3 时的瞬时速度为( )
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
4.{ }是首项 1 = 4，公差 = 2 的等差数列，如果 = 2020，那么序号 =( )
A. 1009 B. 1012 C. 1008 D. 1010
5.在等比数列 中，若 2 8 = 9，则 3 7 =( )
A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9
6.在等差数列 中， 7 + 8 = 16，则 2 + 13 =( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
7.已知 ( ) = 3 + 6 2 + 4 + 8 2的一个极值点为 2，且 ( 2) = 0，则 、 的值分别为( )
A. = 1、 = 3 B. = 3、 = 15
C. = 1、 = 9 D. = 2、 = 9
8.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题，今有白米一百八十石，令三人从上及和
减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三
人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请
问甲应该分得白米为( )
A. 96 石 B. 78 石 C. 60 石 D. 42 石
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数列中，是等差数列的是( )
A. 0，0，0， ，0，
B. 2， 1，0， ， 3，
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C. 1，13， 13， ， 23 + 53，
D. 1， 1，1， 1， ， 1 + 1，
10.在公比 为整数的等比数列{ }中， 是数列{ }的前 项和，若 1 + 4 = 18， 2 + 3 = 12，则下列说
法正确的是( )
A. = 2 B.数列{ + 2}是等比数列
C. 8 = 510 D.数列{ }是公差为 2 的等差数列
11.如图是函数 = ( )的导数 = ′( )的图象，则下面判断正确的是
( )
A.在( 3,1)内 ( )是增函数
B.在 = 1 时， ( )取得极大值
C.在(4,5)内 ( )是增函数
D.在 = 4 时， ( )取得极小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若已知数列 的通项公式是 = 2 + 13，其中 ∈ .则 10 = ______， +1 = ______．
13.45 和 80 的等比中项为______．
14.已知曲线 ( ) = 2 2 + 1 在点 ( 0, 0)处的瞬时变化率为 8，则点 的坐标为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }中， 1 = 1， 3 2 = 1．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
求下列函数的导数：
(1) = 5 3 3 2 + 7 4；
(2) = 2 + 3 ；
(3) = 2 ；
(4) = 3；
(5) = (1 2 )3．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ．
(1)求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)求函数 ( )的极值．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }( ∈ )是公差不为 0 的等差数列，若 1 = 1，且 2， 4， 8成等比数列．
(Ⅰ)求{ }的通项公式；
(Ⅱ)若 =
1
，求数列{ }的前 项和 ． +1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 3 9 + 5．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)求函数 ( )在[ 3,3]上的最大值和最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.97 2 + 3 11
13.±60
14.( 2,9)
15.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
∵ 1 = 1， = 3 2 = 1．
∴数列{ }的通项公式为：
= 1 + ( 1) × 1 = ．
(2) ∵ 1 = 1， = 1，
∴数列{ }的前 项和：
= × 1 +
( 1)
2 × 1 =
( +1)
2 ．
16.解：(1)由 = 5 3 3 2 + 7 4，得 ′ = 15 2 6 + 7；
(2)由 = 2 + 3 ，得 ′ = 2 + 3 3；
(3)由 = 2 ，得 ′ = 2 2 ；
2 2
(4) = 3 1 3 由 3，得 ′ = 6 = 4 ；
(5) = (1 2 )3，得 ′ = 3(1 2 )2 (1 2 )′ = 6(1 2 )2．
17. 2解：(1)由已知可得 ′( ) = 2 ，
所以 ′(1) = 0，又 (1) = 1，
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所以曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 = 1；
(2) ( )的定义域为(0, + ∞)，
(1) ( ) = 2 2 = 2( +1)( 1)由 知 ′ ，
令 ′( ) = 0，可得 = 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )在 = 1 处取得极小值，极小值为 (1) = 1，无极大值．
18.解：(Ⅰ)设{ }的公差为 ，
因为 22， 4， 8成等比数列，所以( 4) = 2 8．
即( 1 + 3 )2 = ( 21 + ) ( 1 + 7 )，即 = 1 .
又 1 = 1，且 ≠ 0，解得 = 1．
所以有 = 1 + ( 1) = 1 = ( 1) = ．
(Ⅱ) (Ⅰ) = 1 = 1 = 1 1由 知： +1 ( +1)
+1．
则 1 = 1 2 +
1
2
1
3 + … +
1 1
+1．
即 = 1
1
+1 = +1．
19.解：(1) ∵ ( )的定义域为 ，且 ′( ) = 9 2 9 = 9( + 1)( 1)，
令 ′( ) > 0，可得 < 1 或 > 1；令 ′( ) < 0，可得 1 < < 1，
∴递增区间为( ∞, 1)，(1, + ∞)，递减区间( 1,1)；
(2)根据(1)列表如下：
3 ( 3, 1) 1 ( 1,1) 1 (1,3) 3
′( ) + 0 0 +

= ( ) 49单调递增极大值 11单调递减极小值 1单调递增 59
∴函数 ( )在[ 3,3]上的最大值为 59，最小值为 49．
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