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2024年广东省深圳福田区中考三模数学试题
1．（2024九下·福田模拟）计算的结果为（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】根据有理数的乘法运算法则即可求出答案.
2．（2024九下·福田模拟）截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约2920000000千瓦，这个容量用科学记数法可表示为（　　）
A．千瓦 B．千瓦
C．千瓦 D．千瓦
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024九下·福田模拟）计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方计算法则计算即可求解.
4．（2024九下·福田模拟）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这一组的众数为：8，
∴定额数量为8，
故答案为：B.
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数，据此即可求解.
5．（2024九下·福田模拟）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，
∴的长为，
故答案为：A
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
6．（2024九下·福田模拟）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线性质可得AF=CF，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．（2024九下·福田模拟）如图，点在半径为3的上，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．（2024九下·福田模拟）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（　　）
A．高 B．低 C．高 D．低
【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，
由图2可得：，，
∴，
而，
∴随t的增大而减小，
∴点处的温度低于点处的温度，
∵，且已知，两个时刻的温差是，
∴时候比时候的温度低；
故答案为：D
【分析】令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，由图2可得：，，则，再根据一次函数性质即可求出答案.
9．（2024九下·福田模拟）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
10．（2024九下·福田模拟）如图，中，，，，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知，，则AP的长需满足（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
由光的反射得到，
，
，
，
①点与点重合，
，
，
，
，
，
，
②点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理可得，再根据锐角三角函数定义可得，，，根据角之间的关系可得，由光的反射得到，则，再根据角之间的关系可得，分情况讨论：①点与点重合，根据余弦定义可得BE，根据边之间的关系可得CE，再根据正切定义可得CD，可得AD，再根据正弦定义即可求出答案；②点与点重合，根据边之间的关系可得BM，根据余弦定义可得BE，根据边之间的关系可得CE，再根据正切定义可得CD，可得AD，再根据正弦定义即可求出答案；
11．（2024九下·福田模拟）因式分解：　 　．
【答案】m(m＋3)(m﹣3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
12．（2024九下·福田模拟）甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则　 　选手成绩更稳定。（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙选手的成绩比甲的成绩更稳定，
故答案为：乙.
【分析】根据方差反应一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此即可求解.
13．（2024九下·福田模拟）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：
【分析】根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
14．（2024九下·福田模拟）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
【分析】延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
15．（2024九下·福田模拟）如图，正方形的边长为4，F为对角线上一动点，延长，交于点E，若，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，F为对角线上一动点，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，即：，
，即：，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍），
∴，
检验：当时，，
成立，
∴是的根，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AC，根据正方形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，设，则，则，代值计算可得CF，BF，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024九下·福田模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据非0数的零次方为1，二次根式的性质、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值代入计算即可.
17．（2024九下·福田模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式．
当x＝4时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则和完全平方差公式对原式化简得到结果为，最后把代入计算即可.
18．（2024九下·福田模拟）“龙腾冰雪，逐梦亚冬”，壮观的冰雪大世界吸引了众多的“南方小土豆”，寒假初期，班长委托甲、乙、丙、丁、戊5位同学组团先到哈尔滨了解景点情况．第一天，5位同学中的甲、乙、丙3位被指派分别前往冰雪大世界、东北虎林园、中央步行街三个景点（分别用A，B，C表示）考查，其余2位须在上述3个景点中任选一个考查，且每人每天刚好只够考查一个景点．
（1）关于“第一天”的以下事件：
①甲考查A景点；
②乙考查A景点；
③丁考查A景点；
④丁、戊两人都考查A景点．
其中，是随机事件的是 （填序号），
（2）结合本题条件，仿第（1）问写两条事件，要求它们是随机的等可能事件．
事件①： ；事件②： ．
（3）小明对如下问题：“求5位同学在这一天中，恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是多少？”他是这样解的：
解：5名同学与景点的匹配关系，可能形成如下几种人员分布状态：
冰雪大世界（A） 东北虎林园（B） 中央步行街（C）
第一种 1人 3人 1人
第二种 1人 1人 3人
第三种 1人 2人 2人
第四种 2人 1人 2人
第五种 2人 2人 1人
第六种 3人 1人 1人
总共有6种等可能的分布状态，其中A景区恰好有两人的占两种，
所以，P（恰好有两位同学在冰雪大世界考查）．
请对以上解法给出评价，并给出你的解法．（要求列表或用树状图，景区用字母表示）
【答案】（1）③，④
（2）第一天，丁考查B景点；第一天，戊考查A景点
（3）解：小明的解法错误，表格中列举的6种人员分布状态，不是6种等可能的结果，其中甲，乙，丙三个人去得景点是固定的，丁和戊同学与景点的匹配关系如图：
共有9种等可能的结果，
∵甲同学已经在景点，故丁和戊只能有1个在景点，共有4种等可能的结果，
∴．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）①甲考查A景点，是必然事件，不符合题意；
②乙考查A景点，是不可能事件，不符合题意；
③丁考查A景点，是随机事件，符合题意；
④丁、戊两人都考查A景点，是随机事件，符合题意，
故答案为：③④；
（2）∵丁、戊须在上述3个景点中任选一个考查，
∴事件①：第一天，丁考查B景点；事件②第一天，戊考查A景点；都是随机的等可能事件；
【分析】（1）根据一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生可能不发生的是随机事件，进行判定即可；
（2）根据等可能事件的定义，作答即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出丁和戊只能有1个在景点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．（2024九下·福田模拟）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
（1）求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
（2）“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
【答案】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，
依题意得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
所以，．
答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个；
（2）解：依题意得，
，
当时，每天总利润最大，
此时，（个），（个），
答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，结合二次函数性质即可求出答案.
20．（2024九下·福田模拟）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．
（1）证明：．
（2）如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．
【答案】（1）证明：设交于G，
∵为的直径，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）设交于G，根据圆周角定理可得 ，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据边之间的关系可得，再根据切线性质可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（2024九下·福田模拟）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】（1）如图所示：
（2）等比性质；
（3）①
②解：由，可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；盲区
【解析】【解答】解：（2）材料三中的依据是指等比性质；
设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：
，
∴
（3）①解：如图，刚好进入感应区时，此时
此时，
因，，
可得，所在直线解析式为：
令， 得， 即 .
当经过点，的正上方时， 视差，此时，
即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时，，之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.
设抛物线解析式为
将等代入得，
，
解得，，
因为，，对称轴在轴右侧，
所以，.
故，
此时，
所以，抛物线解析式为，
【分析】（1）根据盲区的定义作图即可求出答案.
（2）设，根据待定系数法代值计算即可求出答案.
（3）①刚好进入感应区时，此时，此时，，求出直线所在直线解析式为：，将y=16代入解析式可得 ，当经过点，的正上方时， 视差，此时，，即抛物线与轴交点的坐标为，当减小到上述的时，，之后开始变大，开始变小，即抛物线顶点的纵坐标为，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②求出由，可得直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
22．（2024九下·福田模拟）【初步探究】
（1）如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
（2）【深入探究】
如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求的最小值；
②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．
【答案】（1）D
（2）解：①的最小值为．理由如下：
如图所示，连接、，则，
由（1）知，，
当最小时，的最小，
而（等号成立时，点P位于上），
的最小为；
②如图所示，在、上分别截取，
，，，
，
，
同理可得
（等号成立时，点P在直线与的交点处，如下图）
的最大值为
连接、，交于点F，则，
，
，
，，
，，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，
，，，，
，，，，
，
故答案为：D；
【分析】（1）过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，则，，，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①连接、，根据勾股定理可得BD，由（1）知，，当最小时，的最小，根据边之间的关系即可求出答案.
②在、上分别截取，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，同理可得，再根据边之间的关系可得的最大值为，连接、，交于点F，则，根据直线平行性质可得，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 12024年广东省深圳福田区中考三模数学试题
1．（2024九下·福田模拟）计算的结果为（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·福田模拟）截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约2920000000千瓦，这个容量用科学记数法可表示为（　　）
A．千瓦 B．千瓦
C．千瓦 D．千瓦
3．（2024九下·福田模拟）计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·福田模拟）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
5．（2024九下·福田模拟）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·福田模拟）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·福田模拟）如图，点在半径为3的上，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
8．（2024九下·福田模拟）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（　　）
A．高 B．低 C．高 D．低
9．（2024九下·福田模拟）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·福田模拟）如图，中，，，，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知，，则AP的长需满足（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九下·福田模拟）因式分解：　 　．
12．（2024九下·福田模拟）甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则　 　选手成绩更稳定。（填“甲”或“乙”）
13．（2024九下·福田模拟）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则　 　．
14．（2024九下·福田模拟）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则　 　．
15．（2024九下·福田模拟）如图，正方形的边长为4，F为对角线上一动点，延长，交于点E，若，则　 　．
16．（2024九下·福田模拟）计算：．
17．（2024九下·福田模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2024九下·福田模拟）“龙腾冰雪，逐梦亚冬”，壮观的冰雪大世界吸引了众多的“南方小土豆”，寒假初期，班长委托甲、乙、丙、丁、戊5位同学组团先到哈尔滨了解景点情况．第一天，5位同学中的甲、乙、丙3位被指派分别前往冰雪大世界、东北虎林园、中央步行街三个景点（分别用A，B，C表示）考查，其余2位须在上述3个景点中任选一个考查，且每人每天刚好只够考查一个景点．
（1）关于“第一天”的以下事件：
①甲考查A景点；
②乙考查A景点；
③丁考查A景点；
④丁、戊两人都考查A景点．
其中，是随机事件的是 （填序号），
（2）结合本题条件，仿第（1）问写两条事件，要求它们是随机的等可能事件．
事件①： ；事件②： ．
（3）小明对如下问题：“求5位同学在这一天中，恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是多少？”他是这样解的：
解：5名同学与景点的匹配关系，可能形成如下几种人员分布状态：
冰雪大世界（A） 东北虎林园（B） 中央步行街（C）
第一种 1人 3人 1人
第二种 1人 1人 3人
第三种 1人 2人 2人
第四种 2人 1人 2人
第五种 2人 2人 1人
第六种 3人 1人 1人
总共有6种等可能的分布状态，其中A景区恰好有两人的占两种，
所以，P（恰好有两位同学在冰雪大世界考查）．
请对以上解法给出评价，并给出你的解法．（要求列表或用树状图，景区用字母表示）
19．（2024九下·福田模拟）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
（1）求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
（2）“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
20．（2024九下·福田模拟）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．
（1）证明：．
（2）如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．
21．（2024九下·福田模拟）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
22．（2024九下·福田模拟）【初步探究】
（1）如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
（2）【深入探究】
如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求的最小值；
②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】根据有理数的乘法运算法则即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方计算法则计算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这一组的众数为：8，
∴定额数量为8，
故答案为：B.
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数，据此即可求解.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，
∴的长为，
故答案为：A
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线性质可得AF=CF，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，
由图2可得：，，
∴，
而，
∴随t的增大而减小，
∴点处的温度低于点处的温度，
∵，且已知，两个时刻的温差是，
∴时候比时候的温度低；
故答案为：D
【分析】令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，由图2可得：，，则，再根据一次函数性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
由光的反射得到，
，
，
，
①点与点重合，
，
，
，
，
，
，
②点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理可得，再根据锐角三角函数定义可得，，，根据角之间的关系可得，由光的反射得到，则，再根据角之间的关系可得，分情况讨论：①点与点重合，根据余弦定义可得BE，根据边之间的关系可得CE，再根据正切定义可得CD，可得AD，再根据正弦定义即可求出答案；②点与点重合，根据边之间的关系可得BM，根据余弦定义可得BE，根据边之间的关系可得CE，再根据正切定义可得CD，可得AD，再根据正弦定义即可求出答案；
11．【答案】m(m＋3)(m﹣3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
12．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙选手的成绩比甲的成绩更稳定，
故答案为：乙.
【分析】根据方差反应一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此即可求解.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：
【分析】根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
【分析】延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，F为对角线上一动点，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，即：，
，即：，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍），
∴，
检验：当时，，
成立，
∴是的根，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AC，根据正方形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，设，则，则，代值计算可得CF，BF，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据非0数的零次方为1，二次根式的性质、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值代入计算即可.
17．【答案】解：原式．
当x＝4时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则和完全平方差公式对原式化简得到结果为，最后把代入计算即可.
18．【答案】（1）③，④
（2）第一天，丁考查B景点；第一天，戊考查A景点
（3）解：小明的解法错误，表格中列举的6种人员分布状态，不是6种等可能的结果，其中甲，乙，丙三个人去得景点是固定的，丁和戊同学与景点的匹配关系如图：
共有9种等可能的结果，
∵甲同学已经在景点，故丁和戊只能有1个在景点，共有4种等可能的结果，
∴．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）①甲考查A景点，是必然事件，不符合题意；
②乙考查A景点，是不可能事件，不符合题意；
③丁考查A景点，是随机事件，符合题意；
④丁、戊两人都考查A景点，是随机事件，符合题意，
故答案为：③④；
（2）∵丁、戊须在上述3个景点中任选一个考查，
∴事件①：第一天，丁考查B景点；事件②第一天，戊考查A景点；都是随机的等可能事件；
【分析】（1）根据一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生可能不发生的是随机事件，进行判定即可；
（2）根据等可能事件的定义，作答即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出丁和戊只能有1个在景点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，
依题意得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
所以，．
答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个；
（2）解：依题意得，
，
当时，每天总利润最大，
此时，（个），（个），
答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，结合二次函数性质即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：设交于G，
∵为的直径，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）设交于G，根据圆周角定理可得 ，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据边之间的关系可得，再根据切线性质可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）如图所示：
（2）等比性质；
（3）①
②解：由，可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；盲区
【解析】【解答】解：（2）材料三中的依据是指等比性质；
设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：
，
∴
（3）①解：如图，刚好进入感应区时，此时
此时，
因，，
可得，所在直线解析式为：
令， 得， 即 .
当经过点，的正上方时， 视差，此时，
即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时，，之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.
设抛物线解析式为
将等代入得，
，
解得，，
因为，，对称轴在轴右侧，
所以，.
故，
此时，
所以，抛物线解析式为，
【分析】（1）根据盲区的定义作图即可求出答案.
（2）设，根据待定系数法代值计算即可求出答案.
（3）①刚好进入感应区时，此时，此时，，求出直线所在直线解析式为：，将y=16代入解析式可得 ，当经过点，的正上方时， 视差，此时，，即抛物线与轴交点的坐标为，当减小到上述的时，，之后开始变大，开始变小，即抛物线顶点的纵坐标为，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②求出由，可得直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
22．【答案】（1）D
（2）解：①的最小值为．理由如下：
如图所示，连接、，则，
由（1）知，，
当最小时，的最小，
而（等号成立时，点P位于上），
的最小为；
②如图所示，在、上分别截取，
，，，
，
，
同理可得
（等号成立时，点P在直线与的交点处，如下图）
的最大值为
连接、，交于点F，则，
，
，
，，
，，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，
，，，，
，，，，
，
故答案为：D；
【分析】（1）过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，则，，，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①连接、，根据勾股定理可得BD，由（1）知，，当最小时，的最小，根据边之间的关系即可求出答案.
②在、上分别截取，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，同理可得，再根据边之间的关系可得的最大值为，连接、，交于点F，则，根据直线平行性质可得，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
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