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2024-2025 学年福建省漳州三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量 = ( 1,0,2)， = (2, , )，且 // ，则| | =( )
A. 2 5 B. 4 5 C. 3 D. 6
2.已知随机变量 服从正态分布 (2.3, 2)，且 (2.3 < ≤ 4.2) = 0.2，则 ( > 0.4) =( )
A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
3 1 1.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是3，5，则( )
A. 1 4密码被成功破译的概率为15 B.恰有一人成功破译的概率为15
C. 7 2密码被成功破译的概率为15 D.密码破译失败的概率为5
4.如图在平行六面体 1 1 1 1中， 、 相交于 ， 为 1的中点，设 = ， = ， 1 = ，
则 =( )
A. 1 1 14 + 4 2
B. 1 1 14 4 2
C. 14
1 1
4 + 2
D. 34 +
1
4
12
5.已知函数 ( ) = 13
3 32
2 + 有 3 个不同的零点，则 的取值范围是( )
A. ( 9 42 , 0) B. ( 3 , 0) ∪ (0, + ∞)
C. (0, 92 ) D. ( ∞,
9
2 ) ∪ (0, + ∞)
6.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 2 1 1若对空间中任意一点 ，有 = + + 3 6 2 ，则 ， ， ， 四点共面
B.若空间向量 ， 满足 > 0，则 与 夹角为锐角
C.若直线 的方向向量为 = (2,4, 2)，平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,1)，则 //
D. = (1,0,1) = (0,1, 1) (0 , 1 1若空间向量 ， ，则 在 的投影向量为 2 , 2 )
7 = 0.2 1 = 1.设 ， 6， = 1.2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
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8.设函数 ( ) = , ( ) = ′( ) ，则下列说法正确的有( )
A.不等式 ( ) > 0 的解集为(1, + ∞)
B. 1若函数 ( ) = ( ) 2有两个极值点，则实数 的取值范围为(0 , 2 )
C.当 ∈ ( 1 , 1)时，总有 ( ) > ( )恒成立
D.函数 ( )在(0, )单调递增，在( , + ∞)单调递减
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )

A. (1+2 ) (1)已知函数 ( )在 上可导，若 ′(1) = 2，则 → 0 = 4
B. 1已知函数 ( ) = ln(2 + 1)，若 ′( 0) = 1，则 0 = 2
C. ( )′ =
+
2
D.设函数 ( ) 9的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 + 3 ′(2) + ，则 ′(2) = 4
10.如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，∠ = 2， = =
1
2 = 2， = 2 2，
为 的中点，则( )
A. 直线 与 所成的角为4
B. | | = 2 5
C.直线 与平面 6所成角的余弦值为 3
D.点 2 6到平面 的距离为 3
11.如图，某电子实验猫线路图上有 、 两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯
1
后，继续前行， 、 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为2， (0 < < 1).同学甲从第一次
实验到第五次实验中，实验猫在 处遇到红灯的次数为 ，在 、 两处遇到红灯的次数之和为 ，则( )
A. ( = 3) = 132
B. ( ) = 54
C. 1 1一次实验中， 、 两处至少遇到一次红灯的概率为2+ 2
D. = 1 25当 3时， ( ) = 6
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一个盒子里有 1 红 1 绿 4 黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为
.若取球过程是有放回的，则事件{ = 1}发生的概率为______．
13.已知直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2， = 4， = 3，∠ = 90°，则点 到直线 1 1的距离为
______．
14.若函数 ( )和 ( )的图象分别分布在某直线的两侧(函数图象与直线没有公共点)，则称该直线为函数
( )和 ( ) 2的“隔离直线”.已知 ( ) = 2 2， ( ) = ( > 0)，若 ( )和 ( )在公共定义域上存在“隔离
直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某年级有 6 名数学老师，其中男老师 4 人，女老师 2 人，任选 3 人参加校级技能大赛．
(1)设所选 3 人中女老师人数为 ，求 的期望和方差；
(2)如果依次抽取 2 人参加县级技能大赛，求在第 1 次抽到男老师的条件下，第 2 次抽到是女老师的概率．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ．
(1)若 ( )在 = 1 处取得极值，求函数 ( )的单调区间和极值；
(2)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1 = 2，点 为棱 1 1的中点，点 为线段 1
上一动点．
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(1)求证：当点 为线段 1 的中点时， ⊥平面 1 ；
(2)设 = 1，试问：是否存在实数 ，使得平面 1 与平面
30
1 所成锐二面角的余弦值为 ？若存10
在，求出这个实数 ；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 0.8；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为 0.6.某天进行测
试，已知当天处于安静环境的概率为 0.3，处于嘈杂环境的概率为 0.7．
( )求测试结果为语音识别成功的概率；
( )已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为 0.7，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试 4 次；方
案二：先测试 3 次，如果这 3 次中成功次数小于等于 2 次，则再测试 2 次，否则不再测试.为降低测试成本，
以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2 + (2 1) ( ∈ ) ， ( ) = 2 + 1 2．
(1)求函数 ( )在 = 0 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )单调性；
(3)当 > 0 时，若对于任意 1 > 0，总存在 2 ∈ [ 2, 1]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.29
13.25 61
14.( 8,0)
15.解：(1)由题意可得 的所有可能取值为 0，1，2，
3 2 1 1 2
则 ( = 0) = 4 = 13 5， ( = 1) =
4 2 = 33 5， ( = 2) =
4 2 1
3
= ，
6 6 6 5
∴ 的分布列为：
0 1 2
1 3 1
5 5 5
所以 ( ) = 0 × 1 3 15+ 1 × 5 + 2 × 5 = 1，
1 3 1 2
所以 ( ) = 2 2 25 × (0 1) + 5 × (1 1) + 5 × (2 1) = 5；
(2)设第 1 次抽到男老师为事件 ，第 2 次抽到女老师为事件
则第 1 次抽到男老师且第 2 次抽到女老师为事件 ，
则 ( ) = 1 14 5 = 20， ( ) = 14 12 = 8．
( | ) = ( ) 8 2所以 ( ) = 20 = 5．
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16.解：(1) 函数 ( ) = .则 ′( ) =
1
+

2，
由题意 ′(1) = 1 + = 0，可得 = 1，
( ) = + 1此时 ，定义域为(0, + ∞)，
则 ′( ) = 1 1 = 1 2 2 ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1, + ∞)，
所以 ( )有极小值为 (1) = 1，无极大值．
(2)因为 ( ) ≥ 0 恒成立，得 > 0， ≤ ，
令 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = 1 + ，
当 0 < < 1 1 ， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
1
即函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
因此 ( ) 1 1 = ( ) = ，则 ≤
1
，
所以 的取值范围为( ∞, 1 ].
17.解(1)证明：连 1， 1，
∵点 为线段 1 的中点，点 为 1 1的中点，∴ // 1．
在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，
∴ ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1, ∴ ⊥ 1，
又 = 1，∴四边形 1 1为正方形，
∴ 1 ⊥ 1 ， 1 ∩ = ， 1C、 平面 1 ，
∵ 1 ， 平面 1 ，∴ 1 ⊥平面 1 ，
而 // 1，∴ ⊥平面 1 ．
(2)以 为原点，分别以 ， ， 1的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
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则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， 1(0,0,2)， 1(2,0,2)， 1(0,2,2)， (0,1,2)．
连接 1 ， 1 ，设 ( , , )，
∵ = 1， ∈ 0,1 ，
∴ ( , 2, ) = (2, 2,2)，
= 2 ,
∴ = 2 2 , ∴ (2 , 2 2 , 2 )．
= 2 ,
∵点 在线段 1 上运动，
∴平面 1 的法向量即为平面 1 的法向量，
设平面 1 的法向量为 1 = ( , , )，
= 0, 1,2 ， 1 = 2, 1,0 ，
1· = 0, + 2 = 0,由
·
得
= 0, 2 = 0,1 1
令 = 2，得 1 = (1,2,1)，
设平面 1 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
1 = 0,1,0 ， 1 = 2 , 2 , 2 2 ，
2· 1 = 0, = 0,由 得
2
· = 0 2 + ( 1) 2 1 2 = 0,
令 2 = ，得 2 = (1 , 0, )，
|(1,2,1)·(1 ,0, )|
由题意得|cos〈 1，
2〉| =
6 (1 )2+ 2
= 1 = 30，
6 2 2 2 +1 10
∴ 9 2 9 + 2 = 0 = 1 = 2，解得 3或 3．
∴ 1当 = 3或 =
2
3时，平面 1 与平面 1 所成锐二面角的余弦值为
30．
10
18.解：(1)记事件 =“某天进行测试时处于安静环境”，事件 =“测试结果语音识别成功”．

根据题意得 ( ) = 0.3, ( ) = 0.7, ( | ) = 0.8, ( | ) = 0.6；
( )由全概率公式得：
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( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.3 × 0.8 + 0.7 × 0.6 = 0.66；
( )“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件 发生的条件下 发生的概率，
即 ( | ) = ( ) = ( ) ( | ) 0.3×0.8 4 ( ) ( ) = 0.66 = 11；
(2)方案一的测试次数的期望为 4．
方案二测试的次数为 ， 的可能取值为 3，5．
则 ( = 3) = 0.73 = 0.343，
( = 5) = 1 ( = 3) = 0.657，
所以方案二测试次数的数学期望为 ( ) = 3 × 0.343 + 5 × 0.657 = 4.314．
又因为 ( ) > 4，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一．
19. (1) ( ) = 2 + 1
0
解： 由 2，得 ′( ) = 2 2， ′(0) =

2 =
1
2，
0
又 (0) = 0 + 1 12 = 2，
所以 ( )在 = 0 1 1处的切线方程为 2 = 2 ，即 + 2 1 = 0；
(2)由题意， ( ) = 2 + (2 1) ，( ∈ )，定义域为(0, + ∞)，
2
( ) = 2 + (2 1) 1 = 2 +(2 1) 1 = (2 1)( +1)则 ′ ，
因为 ∈ (0, + ∞)，所以 + 1 > 0，
当 > 0 时，令 ′( ) > 0 得 > 12 ，令 ′( ) < 0
1
得 0 < < 2 ，
( ) (0, 1 1故 在 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
当 ≤ 0 时，2 1 < 0, ′( ) = (2 1)( +1) < 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
1
综上，当 > 0 时， ( )在(0, 2 )
1
上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
(3)当 > 0 时，若对于任意 1 > 0，总存在 2 ∈ [ 2, 1]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，
等价于 ( 1) ≥ ( 2) ，其中 1 > 0， 2 ∈ [ 2, 1]，
由(2)知， > 0 时， ( )在(0, 1 12 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
1 1
故 ( ) = ( 2 ) = ( 2 )
2 + (2 1)( 12 ) ln
1
2 =
1
4 + 1 + ln(2 )，
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′( ) = 2 2， ∈ [ 2, 1]，

因为 2 > 0,2 < 0，所以 ′( ) = 2

2 < 0 在 ∈ [ 2, 1]上恒成立，故 ( )在 ∈ [ 2, 1]上单调递
减，
1
则 ( ) = ( 1) = 1 + 1 2 = 2
1
2 ，
1
所以 4 + 1 + ln(2 ) ≥ 2
1 1 1
2 ，即4 ln(2 ) 2 + 1 ≤ 0，
令 ( ) = 1 14 ln(2 ) 2 + 1， > 0，
则 ′( ) = 1 1 2 = 1 14 2 2 4 2 < 0，
故 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
又 ( ) = 1 12 2 2 + 1 = 0，
1
所以当 ≥ 2时， ( ) = 4 ln(2 )
1
2 + 1 ≤ 0，当 0 < <

2时， ( ) > 0，

故 的取值范围为[ 2 , + ∞)．
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