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(共33张PPT)
第五章 图形的轴对称
5.2 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标 我能掌握角平分线的概念及角的对称性;
拓展性目标 我能理解并掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 我会利用直尺和圆规作角平分线.
二 复习回顾
预备性知识
什么叫垂直平分线？有什么性质？
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”）
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
如果是，你能找出它的对称轴吗？
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么
角是　　 　图形，
　　 是它的对称轴.
轴对称
角平分线所在的直线
角的对称性
三 新知讲解
基础性练习
例1.如图 5-19，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′连接CD和CD′.
（1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
解：（1）CD=CD′
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP.
∵点D和D′关于OP所在直线对称，
∴OD=OD′.
∵OC=OC,
∴△CDO≌△CD′O（SAS）.
∴CD=CD′.
三 新知讲解
基础性练习
（2）特别地，当CD⊥OA时(如图5-20)，CD′与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗 由此你能得到什么结论？
(2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB.
理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上，
所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称，
所以∠ODC=∠OD'C,
当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD' ⊥OB，
此时CD=CD'，还有(1)中的关系.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标)
角平分线的性质
符号语言：
B
A
D
O
P
E
C
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵OP是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD=PE
三 新知讲解
拓展性练习
例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　　　　.
2.4
解析：因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
所以CD=DE.
因为DE=1.6,所以CD=1.6,
所以BD=BC-CD=4-1.6=2.4.
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标)
如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线？
A
O
B
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
解：这条射线平分∠AOB，这条射线上的
任一点与∠AOB两条边上关于这条射线对称
的一组对应点所连的两条线段相等。
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标)
A
O
B
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
解：(2)方法不唯一。举例：
(方法一)用量角器量出∠AOB的度数，在角的内部用量角器画出
∠AOC=∠AOB,找射线OC上除点O外的任意一点即可。
(方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE
的中点F,点F就是所求。
三 新知讲解
挑战性练习
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
D
E
C
例3.如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线.
你能说明这样作的道理吗？
2.分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点C.
3.作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线.
三 新知讲解
挑战性练习
理由详解：
如图所示，连接CE，CD，
C
D
E
由作图知OD=OE，CE=CD，
又∵OC=OC，
∴△OCE≌△OCD（SSS），
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB.
三 新知讲解
总结反思
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流.
这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线.
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？
根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法.
经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一）
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
我能掌握角平分线的概念及角的对称性;
拓展性目标 我能理解并掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 我会利用直尺和圆规作角平分线.
五 当堂检测
（必做题）
1.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等
B.ASA
C.SSS D.AAS
C
五 当堂检测
（必做题）
2.如图所示，平分,于点 ,
于点,则与 的大小关系是( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
五 当堂检测
（必做题）
3.如图，在中， ，平分交于点 ，
，垂足为.若，，则 的周长为____.
12
五 当堂检测
（必做题）
4.如图，平分 ，于点，是
射线上一个动点.若 ，则 的最小值
为( )A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
C
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
五 当堂检测
（选做题）
解:如图,点M即为所求.
5.如图所示,在△ABC中,P是AC上的一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
五 当堂检测
（选做题）
6.如图，在纸上画有 ，将两把相同的直尺按
如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点在
的平分线上，则( )
A
A. 与一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与一定相等 D. 与 一定不相等
五 当堂检测
（综合拓展题）
7. 综合与实践感知：
如图1，平分， ，易知： .
探究：（1）如图2，在四边形中，平分， ， ，
试探究与 的数量关系.
应用：（2）如图3，在四边形中， 平分， ，
，与 的上述关系还成立吗？请说明理由.
五 当堂检测
（综合拓展题）
解：（1）过点作于点，交 的延
长线于点 .
平分，， ， .
， .
在和中，
. .
五 当堂检测
（综合拓展题）
解：成立.理由如下：
过点
.
， ， .
在和中，
. .
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
1.如图，平分，是射线 上一点，
于点，是射线 上的一个动点.若
，则 的长度不可能是( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
2.下列说法中不正确的是( )
B
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将对折,边与边重合,折痕所在的直线是 的
对称轴
D. 角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
3.如图，在 中， ，平分
，交于点， ，，则
的面积为( )
C
A. 60 B. 30 C. 15 D. 10
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
4.如图，在 中， .以点 为圆心，
任意长为半径画弧，分别交，于点，，
再分别以点， 为圆心，大于的长为
半径画弧，两弧在 的内部相交于点，作
射线交边于点 .若，的面积
为，则线段 的长为___.
5
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
解：如图所示，点 即为所求.
5.如图,在直线上求作一点,使点到射线, 的距离相等.
（不写作法，保留作图痕迹）
六 作业布置
综合拓展题：
6.如图，在中,点为, 的平分线的
交点,,,,垂足分别为,, .
（1）与 是否相等 请说明理由.
（2）若的周长是30,且,求 的面积.
六 作业布置
综合拓展题：
解:（1）相等.理由如下:
平分,,, .
平分,, ,
.
（2）连接.由（1），得 .
.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《 5.2.3角平分线的性质及画法》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》规定，对于角平分线的性质及画法，学生要探索并证明角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等；理解其逆定理，即到角两边距离相等的点在角的平分线上。要求学生掌握角平分线的尺规作图方法，并能运用这些知识进行简单推理、计算和解决实际问题。在学习过程中，着重培养学生的几何直观、逻辑推理和动手实践能力，引导学生历经观察、猜想、验证、归纳等数学活动，体会数学知识的形成与应用，增强学生对数学知识的理解与运用能力，感受数学与生活的紧密联系。
本节课的学业要求学生能清晰阐述角平分线的性质定理及其逆定理，熟练掌握定理证明过程，明确证明思路与依据。能准确运用性质定理和逆定理，在不同几何图形情境中，判断点与角平分线的位置关系，进行距离求解、图形判定等。学生需熟练且规范地运用尺规完成角平分线的绘制，并能准确说明每一步作图的原理与依据。通过实际问题解决，培养学生将实际问题抽象为数学问题，运用数学知识解决问题的能力，提升学生综合运用知识的水平和创新思维能力。
在教学实施时，可引入生活场景，如在一块三角形的土地上，要修建一个到两条公路距离相等的加油站，如何确定加油站位置，以此引出角平分线性质的探究。以问题驱动教学，如 “怎样通过实验操作发现角平分线的性质？”“怎样运用所学知识严谨证明这些性质？”“尺规作图绘制角平分线的关键步骤和原理是什么？” 等，激发学生的探究兴趣，促使学生在自主探究与合作交流中深入理解角平分线的性质及画法。
（二）教材解读
《角平分线的性质及画法》是北师大版七年级下册第五章 “生活中的轴对称” 的重要构成部分。从知识架构来讲，它建立在学生已学习三角形全等、角的度量以及轴对称图形等知识的基础之上。角平分线作为轴对称图形的重要要素，其性质及画法的学习，不仅加深了学生对轴对称图形特征的认识，而且为后续学习三角形的内心、平面图形的对称性等知识做了铺垫，进一步完善了学生的几何知识体系。
角平分线性质定理及其逆定理的探究、证明以及尺规作图的方法是本节课的重点。学生要通过观察、测量、折纸等实践活动，猜想出角平分线的性质，再利用三角形全等、轴对称的知识进行严格证明。而如何引导学生从直观感知上升到理性证明，如何让学生在复杂的几何图形中准确识别并运用角平分线的相关知识，以及掌握尺规作图的规范与技巧，是本节课的难点所在。
教材在内容编排上，从生活实例出发，如设计一个平分角的仪器用于测量角度，引发学生对角平分线的思考。通过让学生动手操作，如测量角平分线上的点到角两边的距离，探究其规律，进而得出性质猜想并进行证明。教材还详细介绍了角平分线的尺规作图步骤，并配备了丰富多样的例题和练习题，从基础的性质应用到复杂的综合问题，逐步提升学生对角平分线性质及画法的理解与运用能力，培养学生知识迁移和应用创新的能力。
三、学情分析
1. 基础知识
学生此前已经系统学习了三角形全等的判定方法、角的度量以及轴对称图形的概念和性质，掌握了一定的几何推理和证明技巧。他们能够利用三角形全等证明线段相等、角相等，理解轴对称图形中对应点的连线被对称轴垂直平分等知识。这些知识储备为学生学分线的性质及画法提供了有力支撑。学生可以借助已有的知识经验，通过观察、分析图形，尝试探究角平分线的相关性质，并理解尺规作图的原理。
2. 行为习惯
在日常数学学习中，部分学生已养成积极思考、主动参与课堂讨论的良好习惯，能按时完成作业并尝试总结解题方法。然而，仍有一些学生学习主动性不足，过于依赖教师的讲解，自主探究和独立思考能力有待提高。在解决问题时，部分学生存在思维局限，难以灵活运用所学知识，知识迁移能力较弱。在团队合作学习中，部分学生合作意识淡薄，沟通与协作能力欠佳，影响学习效果。此外，学生在书写几何推理过程和描述尺规作图步骤时，规范性和准确性有待加强。这些行为习惯方面的问题需要在本节课的教学中加以引导和纠正。
3. 关键能力
七年级学生好奇心强，动手操作能力较为突出，对直观、有趣的数学活动充满热情。在课堂上，他们能够积极参与制作角平分线、测量距离等实践活动，通过直观观察发现一些角平分线的特征。但他们的逻辑思维能力尚处于发展阶段，在将直观发现转化为严谨的数学证明时，可能会面临困难。在分析较为复杂的几何问题时，学生容易出现思路混乱、考虑不周全的情况，需要教师引导他们逐步梳理思路，提高逻辑推理和分析问题的能力。通过本节课的学习，期望进一步培养学生的自主探究能力、逻辑推理能力和团队合作能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进学生数学核心素养的全面发展。
四、学习目标
基础性目标 1.我能掌握角平分线的概念及角的对称性;
拓展性目标 2.我能理解并掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 3.我会利用直尺和圆规作角平分线.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
主动探究 基础过关 5分钟 提出基础性知识及练习，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性知识及练习并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性知识及练习，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 11分钟 指导学生完成挑战性目标，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 2分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
答疑解惑 拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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