资源简介

《 5.2.1等腰三角形》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》表明，针对等腰三角形的性质，学生需要探索并证明等腰三角形的性质定理，即等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。要求学生能够运用等腰三角形的性质进行简单的推理、计算以及解决实际问题。在此过程中，着重培养学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力，引导学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，体会数学知识的形成过程，提高学生对数学知识的应用能力，感受数学与生活的密切关联。
本节课的学业要求为学生能准确阐述等腰三角形的性质定理，熟练掌握定理的证明过程，明晰证明的思路与依据。能灵活运用等腰三角形的性质，在不同的几何图形情境中，进行角度的计算、线段长度的求解、三角形形状的判定等。通过实际问题的解决，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用所学数学知识解决问题的能力，提升学生综合运用知识的水平和创新思维能力。
在教学实施时，可引入生活中的实例，比如建筑中的屋顶结构常设计成等腰三角形形状，为什么要这样设计？以此引出对等腰三角形性质的探究。以问题驱动教学，如 “怎样通过折纸实验发现等腰三角形的性质？”“怎样运用全等三角形的知识严谨证明这些性质？”“在复杂图形中如何准确识别并运用等腰三角形的性质？” 等，激发学生的探究欲望，促使学生在自主探究与合作交流中深入理解等腰三角形的性质。
（二）教材解读
《等腰三角形的性质》是北师大版七年级下册第五章 “生活中的轴对称” 的重要内容。从知识体系来看，它建立在学生已学习三角形的基本概念、三角形内角和定理以及全等三角形等知识的基础之上。等腰三角形作为特殊的三角形，其性质的学习，不仅深化了学生对三角形的认识，而且为后续学习等边三角形、直角三角形以及四边形等知识奠定了基础，进一步完善了学生的几何知识结构。
等腰三角形性质定理的探究、证明是本节课的重点。学生要通过观察、测量、折纸等实践活动，猜想出等腰三角形的性质，再利用全等三角形的知识进行严格证明。而如何引导学生从直观操作过渡到理性证明，如何让学生在复杂的几何图形中准确识别等腰三角形并运用其性质，是本节课的难点所在。
教材在内容编排上，从生活实例出发，如埃及金字塔的侧面形状，引发学生对等腰三角形的关注。通过让学生动手操作，如对折等腰三角形纸片，观察重合的线段和角，探究其规律，进而得出性质猜想并进行证明。教材还配备了丰富多样的例题和练习题，
从基础的性质应用到复杂的综合问题，逐步提升学生对等腰三角形性质的理解与运用能力，培养学生知识迁移和应用创新的能力。
三、学情分析
1.基础知识
学生此前已经系统学习了三角形的基本概念、三角形内角和定理以及全等三角形的判定方法，掌握了一定的几何推理和证明技巧。他们能够利用全等三角形证明线段相等、角相等，理解三角形内角和为 180° 等知识。这些知识储备为学生学习等腰三角形的性质提供了有力支持。学生可以借助已有的知识经验，通过观察、分析等腰三角形的图形，尝试探究等腰三角形的相关性质。
2.行为习惯
在日常数学学习中，部分学生养成了积极思考、主动参与课堂讨论的好习惯，能按时完成作业并尝试总结解题方法。但仍有部分学生学习主动性不足，过于依赖教师的讲解，自主探究和独立思考能力有待提高。在解决问题时，部分学生思维不够灵活，难以将所学知识融会贯通，知识迁移能力较弱。在小组合作学习中，部分学生合作意识不强，沟通与协作能力有待加强，影响学习效果。此外，学生在书写几何推理过程时，规范性和准确性有待提升。这些行为习惯方面的问题需要在本节课的教学中加以引导和纠正。
3.关键能力
七年级学生好奇心旺盛，动手操作能力较强，对直观、有趣的数学活动充满热情。在课堂上，他们能够积极参与制作等腰三角形、对折等腰三角形纸片等实践活动，通过直观观察发现一些等腰三角形的特征。但他们的逻辑思维能力正处于发展阶段，在将直观发现转化为严谨的数学证明时，可能会遇到困难。在分析较为复杂的几何问题时，学生容易出现思路不清晰、考虑不全面的情况，需要教师引导他们逐步梳理思路，提高逻辑推理和分析问题的能力。通过本节课的学习，期望进一步培养学生的自主探究能力、逻辑推理能力和团队合作能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进学生数学核心素养的全面发展。
四、学习目标
基础性目标 我能识别等腰三角形及其要素并能掌握等腰三角形的边、角性质及对称性； 2.我能掌握等腰三角形“三线合一”性质，能初步运用其解决有关问题；
拓展性目标 3.我会自主探索等边三角形的性质并应用解决生活实际问题.
挑战性目标 4.我能模仿老师给的练习，改编或创编类似的题目，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
主动探究 基础过关 5分钟 提出基础性知识及练习，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性知识及练习并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性知识及练习，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 11分钟 指导学生完成挑战性目标，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 2分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
答疑解惑 拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
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第五章 图形的轴对称
5.2 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
我能识别等腰三角形及其要素并能掌握等腰三角形的边、角性质及对称性；
我能掌握等腰三角形“三线合一”性质，能初步运用其解决有关问题；
拓展性目标 我会自主探索等边三角形的性质并应用解决生活实际问题；
挑战性目标 我能模仿老师给的练习，改编或创编类似的题目，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
二 复习回顾
预备性知识
什么叫轴对称图形？什么叫成轴对称？轴对称有哪些性质？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作这两个图形的对称轴.
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
②把一张正方形纸片沿对角线剪开可得到两个等腰三角形.
方法不唯一。
例如：①两个完全相同的直角三角形，以它们对应的一条直角边为公共边可以拼成一个等腰三角形；
等腰三角形是比较常见的图形，你有什么办法可以得到一个等腰三角形？与同伴进行交流.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
解:（1）等腰三角形是轴对称图形.
如图，将等腰三角形沿过顶点的直线折叠,使得两底角重合,折痕所在的直线即为等腰三角形的对称轴.
A
B
C
D
如图，相等的线段有：AB=AC，BD=CD；
相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
(3)你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流.
(3)答案不唯一,如等腰三角形的两个底角相等.
(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的？
(2)答案不唯一,如等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
(1)等腰三角形是　　　　图形.
(2)等腰三角形顶角的　　　　、底边上的　　　、底边上的　　　重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的　　　　.
(3)等腰三角形的两个底角　　　　.
轴对称
平分线
中线
高
对称轴
相等
A
B
C
等腰三角形的性质
三 新知讲解
基础性练习
例1.已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.
解:设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为 2x°.
根据“三角形三个内角的和等于 180°”，得x+2x+2x=180.
解得x= 36. 2×36=72.
∴这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标)
C
B
A
如图 ，△ABC是一个等腰三角形，直线l 是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
如图所示，设直线l与BC交于点D，点B与C，线段BD与CD，
∠BAD与∠CAD为所作。
相等的线段有：AB=AC，BD=CD；
相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC。
形状、大小完全相同的图形为△BAD和△CAD。
l
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标)
解:(1)等边三角形有3条对称轴.
(1)等边三角形有几条对称轴
(2)你能发现它的哪些特征
(2)等边三角形是轴对称图形,三个内角都为60°,
三条边都相等.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标)
(1)等边三角形是轴对称图形,有　　　　条对称轴.
(2)等边三角形每条边都　　　,每个角都　　　,都等于　　　.
(3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合
(“三线合一”).
三
相等
相等
60°
等边三角形的性质
三 新知讲解
例2.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,点E在AC上,且AE=AD,求∠EDC的度数.
解: 因为△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
所以AD⊥BC,∠DAC=30°,
所以∠ADC=90°.
因为AE=AD,
所以∠ADE==75°,
所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标)
请你运用本节课知识，改编或创编一道等腰或等边三角形题目并解答.
三 新知讲解
挑战性练习
例3.如图,在中，，是边上的中线，
于点 .试说明： .
解:,是边 上的中线,
, .
,
.
, .
.
.
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
我能识别等腰三角形及其要素并能掌握等腰三角形的边、角性质及对称性；
我能掌握等腰三角形“三线合一”性质，能初步运用其解决有关问题；
拓展性目标 我会自主探索等边三角形的性质并应用解决生活实际问题；
挑战性目标 我能模仿老师给的练习，改编或创编类似的题目，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
五 当堂检测
（必做题）
B
1.下列说法中错误的是(　　)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.等边三角形有一条对称轴
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角
D.等边三角形每个内角都等于60°
2.如图所示,小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A'点,则∠OAA'的度数为　　　.
50°
五 当堂检测
（必做题）
3.如图，直线，等边三角形的顶点 在直线
上， ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.如图，在中， ， ，
以点 为圆心，的长为半径画弧，交于点，
连接，则 的度数为
______.
五 当堂检测
（必做题）
5.如图，，且， ，求 的度数.
解： ，
,
即 .
，
.
，
.
.
，
.
.
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
1.等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为___.
6
2.如图，是等边三角形，，是 的平分线，延
长至点，使，则 ___.
9
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
3.如图，在三角测平架中，.在的中点 处挂一重锤，让它
自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认 处
于水平位置.这是∵__________________________________________
_______ __ .（填写依据）
等腰三角形底边上的中线就是底边上的高
（合理即可）
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
4.若等腰三角形的一个内角是 ，则它的顶角的度数是_________.
或
5.在中，， ，在直线 上取一点，使
，连接，则 的度数为___________.
或
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
6.如图，点在线段 上，，，
.
（1）试说明： .
解：在和 中，
.
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
（2）若 ，求 的度数.
解：由（1）得， ，
， .
.
，
.
六 作业布置
综合拓展题：
7.在中, .
（1）如图1，若 ,是上的高, ,
则____ .
15
（2）如图2,若 ,是上的高,
,则 ___ .
20°
（3）思考:通过以上两题,你发现与 之间有什么关系
请用式子表示:_ ____________________________________.
（或）
六 作业布置
综合拓展题：
解:上述关系仍成立,理由如下:
, .
.
,
.
（4）如图3，若不是上的高, ,上述关系是否仍成立 请
说明理由.
Thanks!
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