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第9-10章复习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）．
A．1 B．0 C． D．
6．如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．南京到上海铁路长，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．化简： ．
10．已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为 ．
11．已知分式，若，则M的值为 ．
12．如图，在正方形中，，是边上一点，，且，则的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ．
14．一台甲型号拖拉机4天耕完一块耕地的一半，增加一台乙型号拖拉机，两台拖拉机合耕1天耕完这块耕地的另一半．
①设乙型号拖拉机单独耕完这块地需要x天，那么它一天的耕地量是这块地的 ；
②甲型号拖拉机一天的耕地量是这块地的 ；
③分析问题中的相等关系，根据题意，可列方程 ．
三、解答题
15．解方程：
(1)
(2)
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形．
18．如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分．
画法1：在边上找到格点，使．
画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点．
(1)请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结．
(2)从两种画法中选择一种证明平分．
19．某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶．
(1)求这种新鲜酸奶的进价．
(2)因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）．
①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________．
②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶．
(3)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下：
每天售出瓶数 17 18 19 20
频数 1 2 2 5
通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．
20．如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
《第9-10章复习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D D C C C C
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了分式的乘方计算，分式的减法计算，积的乘方和单项式除以单项式等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：绕点A顺时针旋转得到
根据旋转的性质可知：，旋转角，
故A，B不符合题意；
如图，记，的交点为，
由旋转可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转可得：，则，
而，
∴，
∴
故C不符合题意；
∵，，
当时，
∴，与题干信息不符，
故D符合题意．
故选：D
4．D
【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得．
【详解】解：
方程两边同时乘得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
．
故选： D．
5．C
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与分式方程的解法，注意原分式方程的最简公分母不能为零，求出参数m的取值范围是解答本题的关键．
解出一元一次不等式的解集和分式方程的解，根据题目要求求出m的取值范围，再求出满足条件的整数m的值之和即可．
【详解】解：解一元一次不等式，得，
∵关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，
∴，
∴，
关于y的分式方程，得，且，即，
∵分式方程的解是非负数，
∴，
∴，
即且，
∴满足条件的整数m的值有：，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定定理，解题关键是熟练掌握判定定理是解题的关键；
依据已知条件先确定四边形为矩形，再分析各选项添加条件能否满足正方形的判定。
【详解】∵四边形的两条对角线且互相平分．
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴四边形是矩形，
A．若 ，即矩形的对角线互相垂直．根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意；
B．若 ，即矩形的邻边相等．根据正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意；
C．因为四边形是矩形，所以，又，所以是矩形本身就具有的性质，仅这一条件不能判定该矩形是正方形，符合题意；
D．因为四边形是矩形，所以，则 ，若 ，那么 ，所以 ，即矩形邻边相等，根据邻边相等的矩形是正方形，该选项能判定四边形是正方形，不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意和从南京到上海的时间缩短了一半，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点H作于T，根据矩形的性质和点D的坐标可得 ，利用勾股定理可得，由作图方法可得平分，则，再根据列式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点H作于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵O为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
由作图方法可知平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了分式的化简，熟练化简分式是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
10．1
【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数求得与轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
【详解】解：在一次函数中，
令，则，
即一次函数与轴交点为（0，5）．
∵旋转后所得的图象经过点 ，
∴旋转后的函数与y轴交点为，
∵一次函数的图象，绕轴上一点旋转180°，
∴（0，5）和关于点对称，
∴．
故答案为1．
【点睛】此题考查的是一次函数与旋转问题，掌握旋转的性质和一次函数的性质是解题关键．
11．
【分析】根据，化简后代入计算即可．
本题考查了分式的通分，求分式的值，熟练掌握通分是解题的关键．
【详解】解：，
当时，
，
故答案为：．
12．10
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用．延长至F，使，连接，由条件可以得出，就可以得出，就有，通过证明就可以得出，在中，由勾股定理就可以得出的长．
【详解】解：延长至F，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴．
设，则．
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
故答案为：10．
13．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论．
【详解】解：解：当时，，
∴点B的坐标为
∴；
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
在中，，，，
∴，
又∵四边形为菱形，
∴，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据工作效率工作总量工作时间列式即可求解①②，再根据两台拖拉机合耕1天耕完这块耕地的另一半即可列方程．
【详解】解：根据题意，
①设乙型号拖拉机单独耕完这块地需要x天，那么它一天的耕地量是这块地的；
②甲型号拖拉机一天的耕地量是这块地的；
③分析问题中的相等关系，根据题意，可列方程，
故答案为：；；．
15．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程无解．
16．；2026
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式=．
17．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图－应用与设计作图，平行四边形的性质角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形．
（1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求．
如图2中，作等腰，，取的中点，作射线，点即为所求．
（2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求．
【详解】（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为的中点，
由三线合一定理可得平分，
则点P即为所求．
19．(1)4元
(2)①；②14
(3)小明的说法有道理，见解析
【分析】本题主要考查分式方程的应用，列函数关系式以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键．
（1）设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元，根据“用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶”列出分式方程求解即可；
（2）①根据此“酸奶”以每瓶4元购进，6元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，
②根据得出x的取值范围即可解决问题；
（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案
【详解】（1）解：设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元，
由题意可得，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：这种新鲜“酸奶”的进价为每瓶4元．
（2）解：①每瓶酸奶的售价为元，
所以，这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为：
（的整数）
故答案为：；
②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售量为：
，
解得，，
所以，当天至少销售量为14瓶，
（3）解：小明的说法有道理．
由（1）可知，每瓶酸奶的进价为4元，售价为6元，
若每天购进19瓶酸奶，进价为（元）．则每天售出17瓶可获利：（元），
每天售出18瓶可获利：（元），
每天售出19瓶可获利：（元），
所以，这10天每天购进19瓶酸奶所获总利润为：．
即小明的说法有道理
20．(1)见详解
(2)或或
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得，，然后证明，即可作答．
（2）根据菱形的性质得，，，然后结合等腰三角形的性质，进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵是等腰三角形，
∴当时，如图所示：
∴，
∴；
∴当时，如图所示：
∴；
∴当时，如图所示：
∴；
综上：当是等腰三角形时，的度数为或或．
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