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2025年浙江省中考数学模拟试卷（6）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 河南一模）下列各数中，无理数是（　　）
A．π B． C．0 D．
2．（2025 庆元县一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2 m3＝m5
3．（2025 泗水县一模）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（　　）
A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9
4．（2025 钱塘区二模）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（　　）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
6．（2025 金水区模拟）若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（2025 宁波一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE＝CO．若∠AOD＝60°，则∠AED的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2025 温州一模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若x1x2＞0，则y1＜y3 B．若x1x2＜0，则y1＜y3
C．若x2x3＞0，则y1＞y3 D．若x2x3＜0，则y1＞y3
9．（2025 龙岗区模拟）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　）
A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO～△A'B'O
C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线不一定经过点O
10．（2025 石景山区一模）如图，矩形ABCD中，BC＜AB＜BC，点E在BC边上，以AE为边作正方形AEFG，点F恰好落在边CD上，FG与AD交于点H．设BE＝a，CE＝b，AE＝c，给出下面三个结论：①CD＝b；②a+b＜c；③HF＝（b﹣a）．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 北京一模）分解因式2m2n﹣2n＝　 　 ．
12．（2025 雷州市二模）某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为 　 　 ．
13．（2025 新宾县模拟）已知，则＝　 　 ．
14．（2025 锦州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 　 　 ．
15．（2025 郑州模拟）如图，Rt△ABC是⊙O的内接三角形，斜边，直角边，点P是⊙O外一点，∠BAP＝90°，连接PC，若PC与⊙O相切，则PC的长为 　 　 ．
16．（2025 历下区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AD上一点，且BE＝BC，作∠EBC的角平分线BF交边CD于点F，作CG⊥BE于点P，分别与AB和BF交于点G和点Q，若，则PQ的长度为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 琼山区一模）计算：
（1）；
（2）x（x+1）﹣（x+2）（x﹣2）．
18．（2025 海安市一模）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：．
19．（2025 庆元县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，cosA＝，D为AC边上的中点．
（1）求AB的长；
（2）求△BCD的周长．
20．（2025 罗湖区二模）根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查八年级学生的人数为　 　 人，图中的a值为　 　 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数；
（4）根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？
21．（2025 孝义市一模）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作∠CAB的平分线，交CE于点O，交CD于点F，连接EF（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形ACFE的形状，并加以证明．
22．（2025 西湖区一模）在直角坐标系中，设函数y1＝与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果）
（3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
23．（2025 泰兴市一模）已知二次函数，（b，c为常数）的图象分别记为C1、C2，C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，且C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3．
（1）求b的值；
（2）当y1＜y2，且y1随x的增大而减小时，直接写出此时自变量x的取值范围；
（3）若点A（m，p）在C1上，点B（n，q）在C2上．
①当n＝2m+3时，求p﹣q的最大值；
②当n＝m+t时，无论m取何实数，始终都有p﹣q＝3t成立，求t的值．
24．（2025 庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 河南一模）下列各数中，无理数是（　　）
A．π B． C．0 D．
【点拨】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解析】解：π是无理数，
＝3，0是整数，属于有理数；是分数，属于有理数．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2025 庆元县一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2 m3＝m5
【点拨】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵m2与m3不是同类项，不能合并，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵m6÷m2＝m4，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（2m3）2＝4m6，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵m2 m3＝m5，
∴D选项的运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则的应用，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
3．（2025 泗水县一模）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（　　）
A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：0.0000000142＝1.42×10﹣8．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2025 钱塘区二模）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【点拨】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图进行选择．
【解析】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．
5．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（　　）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
【点拨】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解析】解：将这组数据重新排列为：160，160，160，165，175，175，180，180，185，190，所以这组数据的众数为160，中位数为＝175，
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数．
6．（2025 金水区模拟）若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解析】解：当m＝2时，Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4，Δ＜0，没有实数根，故A符合题意；
当m＝1时，Δ＝（﹣2）2﹣4×1＝0，Δ＝0，有实数根，故B不符合题意；
当m＝0时，原方程为：﹣2x+1＝0，它是一元一次方程，有一个实数根，故C不符合题意；
当m＝﹣1时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8，Δ＞0，有实数根，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0 （a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，解题的关键是计算出判别式的结果来判断．
7．（2025 宁波一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE＝CO．若∠AOD＝60°，则∠AED的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解析】解：∵CE＝CO，
∴∠AED＝∠COE，
∵CO＝DO，
∴∠OCD＝∠D，
∵∠OCD＝∠AED+∠COE，
∴∠D＝∠OCD＝2∠AED，
∵∠AOD＝∠AED+∠D＝60°，
∴∠AED＝20°，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键．
8．（2025 温州一模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若x1x2＞0，则y1＜y3 B．若x1x2＜0，则y1＜y3
C．若x2x3＞0，则y1＞y3 D．若x2x3＜0，则y1＞y3
【点拨】由k2+1＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，根据选项一一分析即可．
【解析】解：点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3，
∵k2+1＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x增大而减小，
A、若x1x2＞0，则点（x1，y1），（x2，y2）在同一象限，
如果点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在第一象限，则y1＞y3，故不合题意；
B、若x1x2＜0，则点（x1，y1）在第三象限，（x2，y2），（x3，y3）在第一象限，则y1＜y3，故符合题意；
C、若x2x3＞0，则（x2，y2），（x3，y3）在同一象限，
如果点（x1，y1）在第三象限，点（x2，y2），（x3，y3）都在第一象限，则y1＜y3，故不合题意；
D、若x2x3＜0，则点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，y1＜y3，故不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．（2025 龙岗区模拟）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　）
A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO～△A'B'O
C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线不一定经过点O
【点拨】根据相似三角形的判定和性质定理，以及位似图形的定义判断即可．
【解析】解：由题意得：OB⊥AB，OB′⊥A′B′，
∴∠ABO＝∠A′B′O＝90°，
∵∠AOB＝∠A′OB′，
∴△ABO～△A'B'O，故B选项正确；
∴＝，蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，故B选项正确；
∴，
解得：AB＝9，
∴蜡烛火焰AB长是9cm，故C选项正确；
线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线一定经过点O，故D不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．（2025 石景山区一模）如图，矩形ABCD中，BC＜AB＜BC，点E在BC边上，以AE为边作正方形AEFG，点F恰好落在边CD上，FG与AD交于点H．设BE＝a，CE＝b，AE＝c，给出下面三个结论：①CD＝b；②a+b＜c；③HF＝（b﹣a）．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】证明△EFC≌△AEB（AAS）可判断①；
连接AF，可得，根据垂线段最短即可判断②；
证明△DHF∽△CFE可判断③．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝∠B＝∠D＝90°，AB＝DC，AD＝BC，
∵四边形AEFG为正方形，
∴FE＝EA，∠FEA＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝∠BEA，
∴△CFE≌△BEA（AAS），
∴CD＝AB＝CE＝b，故①正确；
如图，连接AF，
∴△AEF为等腰三角形，
∴，
根据垂线段最短，可得AF≥AD，即，
当点F与点D重合时，取等号，
∵，
∴点F不可能与点D重合，（否则可知 a＝b，2AB＝BC）
∴，故②正确；
∵CF＝EB＝a，
∴DF＝DC﹣CF＝b﹣a，
由题意可知：∠D＝∠EFG＝90°，
∴∠DHF+∠DFH＝∠EFC+∠DFH＝90°，
∵∠DHF＝∠EFC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DHF∽△CFE，
∴，即，
∴，故③正确，
综上所述，正确的为①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 北京一模）分解因式2m2n﹣2n＝　2n（m+1）（m﹣1）　 ．
【点拨】先提公因式2n，再利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：2m2n﹣2n＝2n（m2﹣1）＝2n（m+1）（m﹣1），
故答案为：2n（m+1）（m﹣1）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
12．（2025 雷州市二模）某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为 　　 ．
【点拨】直接利用概率公式计算即可．
【解析】解：出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，某事件的概率＝这个事件发生的结果数除以总的结果数．
13．（2025 新宾县模拟）已知，则＝　．　 ．
【点拨】利用设k法，进行计算即可解答．
【解析】解：设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
14．（2025 锦州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 　2　 ．
【点拨】根据BE＝BC，CD⊥DE得BD是RtCDE斜边CE上的中线，进而得BD＝BC＝BE＝CE＝2，则AD＝BD＝2，AB＝4，然后再由勾股定理即可求出AC的长．
【解析】解：∵BE＝BC，CD⊥DE，CE＝4，
∴BD是Rt△CDE斜边CE上的中线，
∴BD＝BC＝BE＝CE＝2，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
15．（2025 郑州模拟）如图，Rt△ABC是⊙O的内接三角形，斜边，直角边，点P是⊙O外一点，∠BAP＝90°，连接PC，若PC与⊙O相切，则PC的长为 　3　 ．
【点拨】先利用勾股定理计算出AC＝3，利用三角函数的定义求出∠BAC＝30°，则∠PAC＝60°，然后根据切线长定理得到PA＝PC，于是可判断△PAC为等边三角形，所以PC＝AC＝3．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝3，
∵sin∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠BAC＝30°，
∵∠BAP＝90°，
∴AB⊥PA，∠PAC＝60°，
∴PA为⊙O的切线，
∵PC与⊙O相切，
∴PA＝PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴PC＝AC＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．也考查了圆周角定理解直角三角形．
16．（2025 历下区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AD上一点，且BE＝BC，作∠EBC的角平分线BF交边CD于点F，作CG⊥BE于点P，分别与AB和BF交于点G和点Q，若，则PQ的长度为 　　 ．
【点拨】连接EF，过Q作OQ⊥BC交AB于O，先证明△ABE≌△PCB，得到PC＝AB＝4，设PQ＝x，则CQ＝4﹣x，证明△BPQ≌△BOQ，△BEF≌△BCF，得到 PQ＝OQ＝x，∠BEF＝∠BCF＝90°∠EFB＝∠CFB，EF＝CF，根据平行线的判定和性质得到∠FQC＝∠CFB，根据等角对等边得到 EF＝CF＝CQ＝4﹣x，进而得到GB＝GQ＝3，GP＝3﹣x，再由平行线分线段成比例得到 ，计算即可．
【解析】解：连接EF，过Q作OQ⊥BC交AB于O，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠PCB+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠PCB，
在△ABE和△PCB中，
，
∴△ABE≌△PCB（AAS），
∴PC＝AB＝4，
设PQ＝x，则CQ＝4﹣x，
∵BF是∠EBC的角平分线，
∴∠PBQ＝∠OBQ，
在△BPQ和△BOQ中，
，
∴△BPQ≌△BOQ（AAS），
∴PQ＝OQ＝x，又BE＝BQ，
∴△BEF≌△BCF（SAS），
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，∠EFB＝∠CFB，EF＝CF，
∴∠PEF+∠EPC＝180°，即EF∥PC，
∴∠EFB＝∠FQC，
∴∠FQC＝∠CFB，
∴CF＝CQ＝4﹣x，
∴EF＝CF＝4﹣x，
∵AB∥DC，
∴∠GBF＝∠CFB，
∵∠FQC＝∠CFB，∠FQC＝∠GQB，
∴∠GBQ＝∠GQB，
∵GB＝GQ，
∴，
∴AG＝1，GB＝3，
∴GB＝GQ＝3，
∴GP＝3﹣x，
∵OQ⊥BC，BG⊥BC，
∵OQ∥BG，
∴△COQ∽△CBG，
∴，
∴，
整理得x2﹣10x+12＝0，
解得：，，
由图可知PQ＝OQ＝x＜AB＝4，不符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等角对等边，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 琼山区一模）计算：
（1）；
（2）x（x+1）﹣（x+2）（x﹣2）．
【点拨】（1）利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算后再算乘法，最后算减法即可；
（2）利用单项式乘多项式，平方差公式计算后再合并同类项即可．
【解析】解：（1）原式＝4÷2﹣3×
＝2﹣1
＝1；
（2）原式＝x2+x﹣（x2﹣4）
＝x2+x﹣x2+4
＝x+4．
【点睛】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2025 海安市一模）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：．
【点拨】（1）先去括号得到2x+4≤4x﹣4+6，然后移项、合并，把x的系数化为1得到不等式的解集，然后利用数轴表示解集；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：（1）去括号得，2x+4≤4x﹣2，
移项得，2x﹣4x≤﹣2﹣4，
合并得，﹣2x≤﹣6，
系数化为1得，x≥3，
不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）去分母得：2x﹣x（x+1）＝（1﹣x）（x+1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x+1）≠0，
所以x＝1是分式方程的解．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集和解分式方程，掌握各自的解法是解题的关键．
19．（2025 庆元县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，cosA＝，D为AC边上的中点．
（1）求AB的长；
（2）求△BCD的周长．
【点拨】（1）在Rt△ABC中，结合∠A的余弦及AC的长即可解决问题．
（2）先求出CD的长，再利用勾股定理求出BD的长即可解决问题．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，
cosA＝，
所以AB＝．
（2）因为D为AC边上的中点，
所以CD＝．
在Rt△ABC中，
BC＝．
在Rt△BCD中，
BD＝，
所以△BCD的周长为：4+6+．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及三角形的角平分线、中线和高，熟知余弦的定义及勾股定理是解题的关键．
20．（2025 罗湖区二模）根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查八年级学生的人数为　100　 人，图中的a值为　18　 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数；
（4）根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？
【点拨】（1）根据时间为1小时的人数和所占的百分比可以求得该校抽查八年级学生的人数，然后即可计算出a的值；
（2）用总人数100﹣12﹣30﹣18可得时间为1.5小时的人数，完成统计图；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出平均数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级平均校外活动时间达到1小时及以上的学生人数．
【解析】解：（1）该校抽查八年级学生的人数为：30÷30%＝100，
a%＝18÷100×100%＝18%，
∴a＝18，
故答案为：100，18；
（2）100﹣12﹣30﹣18＝40（人），
补图如下：
（3）平均数是：（12×0.5+30×1+40×1.5+18×2）÷100＝1.32（小时），
答：被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数是1.32小时；
（3）400×＝352（人），
答：该校八年级每周平均课外阅读时间为2h的学生有352人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（2025 孝义市一模）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作∠CAB的平分线，交CE于点O，交CD于点F，连接EF（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形ACFE的形状，并加以证明．
【点拨】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）由角平分线的定义可得∠ACE＝∠FCE，∠CAF＝∠EAF，由平行线的性质可得∠AEC＝∠FCE，∠AFC＝∠EAF，则可得∠ACE＝∠AEC，∠CAF＝∠AFC，进而可得AC＝AE，AC＝CF，则AE＝CF，可得四边形ACFE是平行四边形，再结合AC＝AE，可得四边形ACFE是菱形．
【解析】解：（1）如图，射线AF即为所求．
（2）四边形ACFE是菱形．
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠FCE．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠FCE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE．
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∴AE＝CF，
∴四边形ACFE是平行四边形．
∵AC＝AE，
∴四边形ACFE是菱形．
【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2025 西湖区一模）在直角坐标系中，设函数y1＝与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果）
（3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
【点拨】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）画出图象，利用数形结合解答即可；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为（m，2m+2），写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
【解析】解：（1）∵两个函数图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
∴k1＝1×4＝﹣2t，
∴k1＝4，t＝﹣2，
∴y1＝，
∵点A（1，4），B（﹣2，﹣2）在直线y2＝k2x+b图象上，
，解得，
∴y2＝2x+2．
（2）两个函数图象如图所示，
由图可知，当x＞2时，y1＜y2．
（3）设点C坐标为（m，2m+2），
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∴D（m﹣1，2m﹣4），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴（m﹣1）（2m﹣4）＝4，
整理得m（m﹣3）＝0，
∴m＝3或m＝0，
∴C（3，8）或（0，2）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
23．（2025 泰兴市一模）已知二次函数，（b，c为常数）的图象分别记为C1、C2，C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，且C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3．
（1）求b的值；
（2）当y1＜y2，且y1随x的增大而减小时，直接写出此时自变量x的取值范围；
（3）若点A（m，p）在C1上，点B（n，q）在C2上．
①当n＝2m+3时，求p﹣q的最大值；
②当n＝m+t时，无论m取何实数，始终都有p﹣q＝3t成立，求t的值．
【点拨】（1）由C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3，则有，然后根据C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，则可求出b的值；
（2）通过比较y1和y2的大小关系，再结合y1随x的增大而减小即可求解；
（3）①根据二次函数的性质得出p﹣q＝（m2﹣4m+c）﹣（n2﹣2n+c）＝m2﹣4m﹣n2+2n，再把n＝2m+3代入即可求解；
②把n＝m+t代入得p﹣q＝m2﹣4m﹣（m+t）2+2（m+t）＝﹣2m﹣2mt﹣t2+2t，然后由无论m取何实数，始终都有p﹣q＝3t成立，得﹣2m（1+t）﹣t2﹣t＝0，从而求解．
【解析】解：（1）二次函数y1其对称轴为直线，图象顶点的纵坐标为，
对于二次函数y2其对称轴为直线x＝1其图象顶点的纵坐标为y2顶＝c﹣1，
∵C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3，
∴，解得b1＝4，b2＝﹣4，
又∵C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，
∴，
∴b＞2，
∴b＝4；
（2）由（1）得b＝4，
∴，
∵y1＜y2，
∴x2﹣4x+c＜x2﹣2x+c，
∴x＞0，
∵y1随x的增大而减小，
∴x＜2，
∴自变量x的取值范围为0＜x＜2；
（3）①∵点A（m，p）在C1上，
∴p＝m2﹣4m+c，
∵点B（n，q）在C2上，
∴q＝n2﹣2n+c，
∴p﹣q＝（m2﹣4m+c）﹣（n2﹣2n+c）＝m2﹣4m﹣n2+2n，
把n＝2m+3代入得p﹣q＝m2﹣4m﹣（2m+3）2+2（2m+3）＝﹣3m2﹣12m﹣3＝﹣3（m+2）2+9，
∵﹣3＜0，
∴当m＝﹣2时，p﹣q有最大值为9；
②∵p＝m2﹣4m+c，q＝n2﹣2n+c，p﹣q＝m2﹣4m﹣n2+2n，
把n＝m+t代入上式得，p﹣q＝m2﹣4m﹣（m+t）2+2（m+t）＝﹣2m﹣2mt﹣t2+2t，
由条件可知﹣2m﹣2mt﹣t2+2t＝3t，得﹣2m（1+t）﹣t2﹣t＝0，
∴1+t＝0，且﹣t2﹣t＝0，
∴t＝﹣1．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式、一元二方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（2025 庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
【点拨】（1）由题意易得∠ABC＝∠ACB，然后根据圆周角的性质可进行求解；
（2）延长AO交BC于点F，由题意易得AF⊥BC，则有∠AFB＝90°，然后问题可求证；
（3）由（2）易得，由可设BF＝x，则 AF＝2x，然后根据勾股定理可得 x＝4，进而可得△AOE∽△CDE，最后根据相似三角形的性质可进行求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：平行，如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴＝，即点A为的中点，
∵AO是半径，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴AO∥CD；
（3）解：由（2）易得，
∵，
∴设BF＝x，则AF＝2x，
∴OA＝OB＝2x﹣3，
∵BF2+OF2＝OB2，
∴x2+32＝（2x﹣3）2，
解得：x＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝＝＝AC＝，
∵AO∥CD，
∴△AOE∽△CDE，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
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