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银川英才学校 2024—2025 学年度第二学期初三年级
第二次模拟数学试卷
（时间为 120 分钟，满分为 120 分，答卷不使用任何计算器）
一、选择题（每题 3 分，共 24 分）
1.下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．1
2．下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．5x2y﹣3xy2＝2xy C．a3÷a＝a2 D．（a2b）2＝a4b
3.如图，在平面直角坐标系，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
4.用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
如图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交
A，B两点，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3．则x＝1时，y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断
6.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
7.如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
8.如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（　　）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
二、填空题（每题 3 分，共 24 分）
9.若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
10.整数a满足，则整数a的值为 　 　 ．
11.反比例函数y的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　 　 象限.
将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点D在线段AB上，BC＝BD，则∠CFE的度数为 　 　 ．
13.如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是　　 ．
14.传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则长度为 　 　 ．
15.随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为 设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 　 　 m2（结果保留π，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）．
16.图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，长阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为 　 　 米．
三．解答题（共 66 分）
17.计算：．
18.下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：
解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……………………第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步 ………
（1）第二步的解题依据是 　 　 ；
A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则．
（2）以上解方程步骤中，第 　 　 步开始错误的，错误原因是 　 　 ；
（3）请写出该分式方程的正确解答过程．
19.仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB．
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形.（保留作图痕迹）．
20.随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如DeepSeek、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．语言交互能力得分（满分10分）
A：5 6 6 8 8 8 8 9 9 10 B：6 6 6 6 7 8 9 9 10 10
b．数据分析能力得分（如图）（满分10分）
c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表
统计量 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A m 8 8 7.0 P
B 7.7 7.5 n 6.9 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，p＝ 　 　 ， 　 　 （填“＞”或“＜”）．
（2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由．
（3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）．
21.如图，在 ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
22.一年一度的校园文化节开始了，某班准备采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系，如图所示；
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量
不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（元）最少？
如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C
作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
24.中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．（结果精确到0.1m，
参考数据1.73)
25.【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．
【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请写出BD的长
26.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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