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2025届中考数学预热模拟卷 【河北专用】
【满分120分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列各数中，是负整数的是( )
A. B. C. D.
2.如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图,其左视图是( )
A. B.
C. D.
3.2025年1月,国家统计局公布了2024年出生人口数据,全年出生人口由降转增,2024年全年出生人口数约为9540000,相比2023年增加了520000人.其中数字9540000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图,若射线的方向是北偏东,,则射线的方向是( ).
A.南偏东 B.南偏东 C.东偏南 D.南偏西
6.有理数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中有这样一道题：“今有醇酒一斗,值钱五十；行酒一斗,值钱一十；今将钱三十,得酒二斗,问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒(优质酒)1斗,价值50钱；行酒(劣质酒)1斗,价值10钱；现有30钱,买得2斗酒,问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗,行酒y斗,可列出关于x,y的二元一次方程组( )
A. B. C. D.
8.若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为( )
A. B. C. D.6
9.如图,在中,,将绕点A逆时针旋转得到,则的面积为( )
A.8 B.16 C.24 D.
10.如图，在扇形中，，点C是的中点.过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D.在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
11.抛物线交x轴于点,,交y轴的负半轴于点C.顶点为D.下列结论,①；②；③当m为任意实数时,；④方程的两个根为,；⑤抛物线上有两点和,若,且,则.其中正确的有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
12.如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接.有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④.其中正确的是( )
A.①② B.②③④ C.①③ D.①③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填在题中横线上）
13.___________.
14.不等式组的所有整数解的和是______.
15.如图,在边长为2的正六边形中,点P在上,一束光线从点P出发,照射到镜面上的点Q处,经反射后射到上的点G处,且,,则______.
16.如图,点在反比例函数的图像上,点B在反比例函数(,)的图像上,点C在x轴上,且四边形为菱形.将菱形沿y轴向上平移,使点C落在反比例函数的图像上,则平移前后两个菱形重叠部分的面积为______.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（7分）(1)计算：.
(2)先化简，再求值：，其中.
18.（8分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用“场内+农户”养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
19.（8分）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解,重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”,并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩(百分制),通过收集、整理、描述和分析(得分用x表示,共分为四组：.,.,.,.),得到如下不完全的信息：
八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 m
九年级 n
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89,88,86,86,86,86
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,
请根据以上信息完成下列问题：
(1)填空：______,______,并补全八年级的成绩条形统计图；
(2)根据以上数据,你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)规定在分及其以上的为优秀等级,该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名,请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
20.（8分）如图,P为等边三角形内一点,分别连接,,,,,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证：；
(2)求的度数.
21.（9分）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座
(1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）；
(2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）
22.（9分）如图,是的直径,点A在上,点C在的延长线上,,平分交于点D,连结.
(1)求证：是的切线；
(2)当,时,求的长.
23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点，点P是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
24.（12分）新考法知识探索+迁移+拓展
【操作判断】
①在学习特殊平行四边形的性质时,赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和,其中正方形的对角线相交于点O,赵老师让学生固定正方形纸片,将正方形纸片的顶点D'与点O重合,并将纸片绕着点O旋转,如图(1),学生们惊奇地发现两个正方形重叠部分的面积.(填“变了”或“不变”)
②赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和,其中菱形的对角线相交于点O,.赵老师让学生固定菱形纸片,将菱形纸片的顶点与点O重合,并将纸片绕着点O旋转,交边于点E,交边于点F,如图(2),学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分(四边形)的面积______.(填“变了”或“不变”)
【探索发现】
根据(1)中的发现,学生们认为图(1)和图(2)存在共同的特征：①射线是的；
②______.
【迁移探究】
如图(3),平分,点P在上,点E,D分别是,上的动点,且,当点D,E分别在,上运动时,试判断四边形的面积是否发生变化,并利用图(3)说明理由.
【拓展应用】
如图(4),平行四边形中,,,,点E为边上一点,且平分,连接.将绕点E旋转,当点C的对应点F落在上时,点F恰好为的三等分点,请直接写出m的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.是负分数，不符合题意；
B.，是正整数，不符合题意；
C.，是负整数，符合题意；
D.，是正整数，不符合题意；
故选：C.
2.答案：B
解析：从左面看,只能看到一个竖着放置的长方形,且下面还有一部分长方形,
即的左视图是；
故选：B.
3.答案：C
解析：.
故选：C.
4.答案：D
解析：A.，故该选项不符合题意；
B.， 故该选项不符合题意；
C.， 故该选项不符合题意；
D. 故该选项符合题意；
故选：D.
5.答案：A
解析：∵射线的方向是北偏东,
∴,
∵,
∴
∴射线的方向是南偏东,
故选：A.
6.答案：D
解析：由图可知,,,
A.,故该选项不正确,不符合题意；
B.,故该选项不正确,不符合题意；
C.,故该选项不正确,不符合题意；
D.,故该选项正确,符合题意；
故选：D.
7.答案：A
解析：∵要买2斗酒,
∴,
∵醇酒(优质酒)5斗,价格50钱；行酒(劣质酒)1斗,价值10钱,
∴,
∴根据题意可列方程组,
故选：A.
8.答案：A
解析：关于x的一元二次方程两根为、,
,,
,
,
即,
解得:.
故选:A.
9.答案：D
解析：由旋转的性质可得,,
∴是等边三角形,
作垂足为点F,
∴,
∴,
∴的面积为,
故选：D.
10.答案：B
解析：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点P落在阴影部分的概率是
故选：B.
11.答案：B
解析：因为抛物线经过点,,
所以抛物线的对称轴为直线,
则,即.故①正确.
将代入函数解析式得,,
又因为,
所以,
即.故②错误.
因为抛物线的对称轴为直线,且开口向上,
所以当时,函数取得最小值,
所以当时总有,,
即.故③错误.
由题知,方程的两个解为,.
方程可转化为,
所以或3,
则,.故④正确.
因为,
所以点P在直线左侧,点Q在直线右侧,
又因为,
则.
因为抛物线的对称轴为直线,且开口向上,
所以.故⑤正确；
综上分析可知,正确的有3个.
故选：B.
12.答案：D
解析：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故①正确；
连接交于点O,Q，
∵正方形，且,
∴，
∵垂直平分，
∴点M，点G关于直线对称，
故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,
故的最小值是，
故②错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③ 正确；
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故④正确.
故选D.
13.答案：1
解析：
.
故答案为：1.
14.答案：10
解析：,
解①得,
解②得,
∴,
∴整数解有：0,1,2,3,4,
∴所有整数解的和是.
故答案为：10.
15.答案：6
解析：延长、于点M,延长交于点N,
正六边形,
,
,
则和是等边三角形,
,,且,
,,
,
,
故、也是等边三角形,
,,
,
,
.
故答案为：6.
16.答案：
解析：延长交y轴于H,将菱形沿y轴向上平移得到菱形,则点D落在反比例函数的图像上,延长交于N,则
∵菱形沿y轴向上平移得到菱形,
∴轴,,,,
∴四边形是矩形,
∴,,
∴,
∵点在反比例函数的图像上,
∴,
解得,
∴反比例函数,
∵,
∴,,
∴,
∴,,
当时,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,解得,
∴,
∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为,
故答案为：.
17.答案：(1)；(2)，
解析：(1)
；
(2)
，
当时，原式.
18.答案：(1)该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%
(2)至少再增加2个销售点
解析：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x,
根据题意得,,
解得：,(不合题意舍去),
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
(2)万(kg),
(个),即六月份应至少14个,
(个),即五月份销售点应为12个
则需增加(个),
故至少再增加2个销售点.
19.答案：(1),,补图见解析
(2)九年级学生的竞赛成绩更优秀,理由见解析
(3)人
解析：(1)由题意可得,,
∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多,
∴,
故答案为：,,
由八年级的成绩条形统计图可得,成绩在D组的学生人数为人,
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
(2)九年级学生的竞赛成绩更优秀,理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同,但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的,所以九年级学生的竞赛成绩更优秀；
(3),
答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人.
20.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：∵、都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴；
(2)∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
而,
∵,
,
∴,
∴为直角三角形,且,
∴.
21.答案：(1)
(2)
解析：如图，过点C作，垂足为M，则，
，，
，
，，
，
即点A到地面的距离为；
(2)解析：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，
则四边形是矩形，
∴；
，，
，，，
，，，
点A.到地面的距离为
22.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,
是的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
是的半径,
是的切线；
(2),,
,
,
,
,
,
连接,
平分,
,
,
,
是的直径,
,
.
23.答案：(1)
(2)，面积的最大值
解析：∵抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)解析：过点P作轴交于点F
设直线表达式为：，
∴，
解得：，
∴直线表达式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大，且为，
∴，
当，点P到直线的距离在减小，故不存在最大值，
综上：，面积的最大值.
24.答案：[操作判断]①不变；②不变
[探索发现]①平分线；②
[迁移探究]不变,理由见解析
[拓展应用]m的值为7或8
解析：[操作判断]
①不变；理由如下：
作于X,作于Y,设与交于点,与交于点,
由题意可得,正方形中,平分,
,
,
四边形是正方形,
,
,
,
,
,
,
故答案为：不变；
②不变；
,
又菱形中,,,,
是等边三角形,
,
如图,取的中点G,连接,
是的中位线,
,
,
,
则是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为：不变；
[探索发现]
①四边形是正方形,
平分；
四边形是菱形,
平分；
故答案为：平分线；
②在图(1)中,,,
,
在图(2)中,,,
,
故答案为：；
[迁移探究]
不变,理由如下：
如图,过点P作,,垂足分别为G,H,
则,
,
,
,
,
平分,,,
,
,
,,
,
,
为定值,
故四边形的面积不发生变化；
[拓展应用]
解：m的值为7或8；
平分,
,
,
,
,
,,
；
,
过点E作,垂足为M,过点E作,垂足为N,
可得,
同上可证明,,
,
,
,
,
分以下两种情况讨论：
如图,当点F是靠近点A的三等分点时,,,则；
当点F是靠近点B的三等分点时,,,则,
综上所述,m的值为7或8.

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