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2025年陕西省高考数学押题卷（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.若空间中四个不同的平面，，，，满足，，，则下面结论一定正确的是( )
A. B.
C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定
4.已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.我市某校共有名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调，为实数，则( )
A. B. C. D.
7.“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要个刻度尺子头尾不用刻现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有 个刻度
A. B. C. D.
8.如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组样本数据，，，，由这组数据得到乙组样本数据，，，，其中，则( )
A. 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的倍
B. 乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的倍
C. 乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的倍
D. 乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的倍
10.已知函数对任意的，都有，，且当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C.
D. 不等式的解集是
11.如图，半径为的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线已知运动开始时点与点重合以下说法正确的有( )
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如和都是“峰型三位数”，在由，，，，，中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 ．
14.如图，道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从开始依次报一个数，报到奇数时把门打开，数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，
已知．
求证：
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．
17.本小题分
已知椭圆，直线经过的两个顶点．
求的方程
若为上一动点，过点作圆的两条切线分别交于，两点，证明：直线过原点．
18.本小题分
某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对至岁的人群，按比例随机抽取了份，进行了数据统计，具体情况如下表：
年龄组别 组统计结果 组统计结果
经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
人 人 人 人
人 人 人 人
人 人 人 人
先用分层抽样的方法从上述人中按“年龄是否达到岁”抽出一个容量为人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．
求这人中“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人数；
为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有份礼品赠送给其中人，每人份其余人员仅赠送骑行优惠券已知参加座谈会的人员中有且只有人来自组，求组这人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；
从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄记作岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取还是？请通过比较的观测值的大小加以说明．
19.本小题分
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角．如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点．
Ⅰ若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值
Ⅱ在球的内接三棱锥中，平面，，直线与平面所成的角为．
(ⅰ)若，分别为直线，上的动点，求线段长度的最小值；
(ⅱ)如图，若，分别为线段，的中点，为线段上一点与点不重合，当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】，，
，，
直线的方程为，
设，，
由，得，
，，
，
，
，
，焦点坐标为．
故选：．
3.【答案】
【解析】，，
与可能平行也可能相交．
又，
与的位置关系不确定．
故选：．
4.【答案】
【解析】向量，，且在上的投影向量为，
根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以．
先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得，
再计算，根据向量模长公式：可得，那么．
所以．
所以．
得，所以与的夹角为．
故选：．
5.【答案】
【解析】设第一天在楼上食堂用午餐，第一天在楼下食堂用午餐，第二天在楼上食堂用午餐，
设第一天在楼上食堂用午餐的概率为，
即，则，
据题意，与互斥，
所以
，
一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数接近一个稳定值，
也就是其概率稳定在，
所以，
解得，
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为．
故选C．
6.【答案】
【解析】，
因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解，
故，即，，
令，则，令，解得，
时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以，即，，
令，在上单调递增，无最值，则大小不确定．
故选：．
7.【答案】
【解析】若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体，
则当尺子有个刻度时满足条件
设且，，其中，，，，
当，，，时，，，，，，，
，
下证，当尺子有个刻度时不能量出的物体长度
设且，，其中，，，
所以当，，中有个，的取值至多有个
当，，中有个时，或，的取值至多有个
当，，中没有时，的取值有个
所以取值至多有个，即当尺子有个刻度时不能量出的物体长度．
故选B
8.【答案】
【解析】因为抛物线过焦点为，
所以，
设直线的方程为，
，，
由，
可得，
则，
则，
故，
解得，
故，
即，
解得，
故，
如图，建立空间直角坐标系，过作平面于，过作轴于，连接，
由于轴，且轴，，
故轴平面，
因为平面，
故AH轴，则，
由于在直角坐标系中，
故，
因此在直角三角形中，
，
因此在空间直角坐标系中，
，
故，
故选：．
9.【答案】
【解析】由极差的定义知：若甲组的极差为 ，
则乙组的极差为 ，
即乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的倍，故A正确；
利用中位数的定义，可知乙组样本数据的中位数是甲组样本数据的中位数的倍减去，故B错误；
由于 ，故乙组样本数据的样本平均数是甲组样本数据的样本平均数的倍减去，故C错误
，故D，乙组样本数据的样本方差是甲组的倍，
故乙组样本数据的样本标准差是甲组的倍，故D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】对于，因为，，
令，则，所以，
令，则，则，
令，，则，
所以，故A错误
对于，令，则，即，
所以是奇函数，故B正确
对于，令，则，
又，所以，
所以，故 C正确
对于，令，，则，
设，则，又当时，，
则，所以，
则函数在上是增函数，
又由，，，
则不等式，即为，
则，解得或，
即不等式的解集是，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】首先建立动圆滚动过程中的参数方程，已知定圆，半径，
设动圆滚动的圆心角为弧度制，动圆的圆心为，动圆半径，
因为，所以动圆的圆心的坐标为，
设点，根据圆的滚动性质，因为开始时，动圆滚动角度后，
点相对动圆圆心的角度变化，点相对于动圆圆心的坐标为，
根据三角函数诱导公式，则点坐标满足
分析选项A计算点到原点的距离，将代入可得：
，
所以，选项错误；
分析选项B若点在曲线上，则
所以点在曲线上，选项正确；
分析选项C由知点在曲线上，且，
故位于直线上方，且直线交坐标轴于两点，
由图象可知曲线与直线有两个交点，选项正确；
分析选项D已知，令，
则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且
所以，选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】令，则，所以，
所以．
故答案为：
13.【答案】
【解析】当峰型三位数”由两个不同的数字组成时，有个；
当峰型三位数”由三个不同的数字组成时，有个．
故“峰型三位数”的个数为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即的倍数；
第二轮报数，标签号，，，，的报数结果分别为，，，，，
剔除标签号，，，，，剩余的标签号为的倍数；
第三轮报数，标签号，，，，的报数结果分别为，，，，，
剔除标签号，，，，，剩余的标签号为的倍数；
重复以上步骤可得，当门数时，最后留下的一道门的标签号为，
故标签号为．
故答案为：．
15.【解析】由题意得：根据正弦定理得：，
所以，
所以，
所以，
所以或舍，
所以
在中，由正弦定理得：，即，
所以，即．
又因为，即，
所以，
所以．
16.【解析】由于函数的定义域为，
当时，，
令得或舍去，
当时，，
因此函数在上是单调递减的，
当时，，
因此函数在上是单调递增的，
则是极小值点，
所以在处取得极小值为，无极大值．
证明：设 ，
则
，
当时，，
故F在区间上是单调递减的，
又，
在区间上，恒成立．即 恒成立，
即恒成立，
因此，当时，在区间上，函数的图像在函数图像的下方．
17.【解析】因为直线过的上顶点和左顶点，所以上顶点为，左顶点为，
所以，，则的方程为；
当直线或斜率不存在时，不妨令，则，
所以直线方程为，所以，直线过定点，且该定点为原点．
下证：当直线和斜率存在时，直线过，
设，过点的切线方程为，则，
所以，所以，
因为在上，所以，则，
当直线过时，由椭圆对称性得设，则，
所以．，
因为，，所以，，则，
满足所以当直线和斜率存在时，直线过．
综上：直线过定点．
18.【解析】从人中抽取人，其中“年龄达到岁”的有人，
再将这人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，
其中“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人数为；
组这人中得到礼品的人数的可能取值为，，，，
相应概率为：，
，
，
，
故其分布列为：
．
时，按“年龄是否达到岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到岁
达到岁
合计
可求得，
时，按“年龄是否达到岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到岁
达到岁
合计
可求得，
欲使犯错误的概率尽可能小，需取．
19.【解析】Ⅰ因为球面三角形的三条边长均为，，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，
所以四面体为正四面体，
取的中点，连接，，则，，且，为二面角的平面角，
由余弦定理可得，
所以此球面三角形一个内角的余弦值为；
Ⅱ因为平面，所以，，
设，则，，，所以，
由勾股定理的逆定理可得，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以，
易知在和中，斜边的中点到点，，，的距离相等，即为球的直径，
所以，，
以点为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(ⅰ)由题可知，，，，
则，，，，，，
设与，都垂直的向量为，
则，令，则，
所以线段长度的最小值为
(ⅱ)设，，由题可知，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设平面与平面的夹角为，
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故BG．
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