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2025年陕西省高考数学押题卷（2）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知点在椭圆上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据均为正实数中，首位非零的数字是这九个事件不是等可能的具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则，，，，则根据本福特定律，首位非零数字是与首位非零数字是的概率之比约为 保留至整数，参考数据：，．
A. B. C. D.
5.某班从名同学中选名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为和，高为，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于的矩形，且使其体积最大现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是加工过程中不计损耗
A. B. C. D.
8.已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，互为共轭复数，则( )
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称
C. 若是偶函数，则
D. 若在区间上恰有个零点，则
11.数列满足，，，，，依此类推，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组统计数据为，，，，，，，，则这组数据的分位数为 ．
13.，，则的取值为 ．
14.已知集合，定义集合，若，记为集合中元素的个数，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
证明：；
若，边上的高为，求．
16.本小题分
有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．
猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率
若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同．
17.本小题分
如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合．

证明：平面平面；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数
若，求的单调区间；
若有两个极值点，求实数的取值范围；
若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
过三角形的重心作一直线，若这条直线将该三角形分成面积比为的两部分，则称这条直线为型直线，其中，，且等边的边长为，重心为点，以动点为圆心，为半径作圆，该圆与线段相切，记点的轨迹为．
探究在中是否存在与相切的型直线，并证明；
若点在的型直线上，在点处的切线与交于，两点，求；
若的外接圆与直线相切，且与的一条型直线相切，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】已知，，可得，
可得， 且，
可得， 解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】将点的坐标代入椭圆方程，得，
因为，所以，
所以椭圆方程，其中，，故离心率．
故选C．
4.【答案】
【解析】由题意可得：．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为甲同学不能参加物理和化学知识竞答，所以分两种情况讨论，
情况一：甲不参加，有种安排方法；
情况二：甲参加，甲只能参加数学竞赛，有种安排方法，
所以总的安排方法有种．
故选：．
6.【答案】
【解析】如图，
因为直线的斜率为，所以，
所以，．
设，则，
又，，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得．
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
所以，即，
所以，，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】设为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为，
棱台最大时，上下边之比为，
不妨设，则，
所以球在与圆台围成部分更大，
记的中点为，中点为，交上底面圆周于，交下底面圆周于，
记球半径最大为，球心为，如图所示：
设，，
则，
由，解得，
由，解得，
所以，解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】，，
令，则，，则A错误；
，
当，
，，，，，
累乘得：，
，
，，
而对于中令，得，矛盾，则B错误；
，则C正确；
，
令，
则，
所以
，
所以，
所以，
则D错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】，。
选项A，共轭复数的实部相同，虚部相反，因此模长均为，故，正确．
选项B，，而，正确．
选项C，，，正确．
选项D，取，，则，，，错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，令，，
解得，，
所以的单调递增区间是，选项A正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，
则得到，
令，，
所以曲线不关于原点对称，选项 B错误；
若是偶函数，
所以，，即，，选项C正确；
已知，，
则，因为在区间上恰有个零点，
那么，解得，所以，选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】根据规律可得，，，
当的值每增加时，的变化在内，所以的值单调递增，
当时，取最小值，最小值为，A正确；
易得，所以，即，所以，B错误；
若，则，，，，
记数列为，，，，，则，，
记，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．，C正确；
，要使得取最小值，则为奇数，此时，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】将该组数据从小到大排列为：，，，，，，，，
因为，
所以这组数据的分位数为
13.【答案】
【解析】由题意得，，
当时，，则，
令，则，
令，则，则在上单调递增，在上单调递减，
又，则不恒成立，则不恒成立，
故，则有且，或且，
函数在上单调递增，且，
结合在上单调递增，且，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】设满足题意，其中，
，
故．
，
故
因为，所以．
又中最小的元素为，最大的元素为，
则．
故，解得．
设，，
则，
，
因为，可得，即，
故的最小值为．
于是当时，中元素最多，
即时满足题意．
综上所述，的最大值是．
15.【解析】因为，所以，
在中，，所以．
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，即，
所以．
因为，所以，由知．
法：因为，
所以为锐角三角形．
过作，过作，、分别为垂足，
由，设，
因为，所以，，
所以在中，，，，所以，解得，
所以在中，，即．

法：因为，又因为，解得，．
因为，所以，所以，．
由，得，解得．
由正弦定理，得，解得．
16.【解析】设张某仅猜对其中一道谜语为事件，猜对谜语为事件，猜对谜语为事件，
则．
设张某先猜谜语获得的奖金为元，先猜谜语获得的奖金为元，
则的取值分别是，，，
的取值分别是，，，
，，，
所以，
，，，
所以．
由，得，解得．
17.证明：因为是底面圆上的一条直径，
所以，
因为底面圆，，
所以底面圆，
因为底面圆，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
因为底面圆，圆，
所以，，
所以为二面角的平面角，
故，又，所以为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，设，故，，
，
，，
设平面的法向量为，
则
解得，令，得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，

故直线与平面所成角的正弦值为．
18.【解析】当时，，，
，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
依题意，，，
若有两个极值点，则方程有两个不相等的正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
依题意，得，，
令，，
当时，，则，在区间上单调递增，
又，所以不符合题意；
当时，，则，在区间上单调递减，
又，所以不符合题意；
当时，存在唯一零点，
则当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增，
又，要使在上有且仅有一个零点，
则，所以，
综上所述，实数的取值范围为
19.【解析】存在与相切的型线，证明如下：
以为轴，边中线的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
由题意可知圆与线段相切，所以到距离与到点的距离相等，所以轨迹为抛物线，
因为为等边三角形，所以边的中线长为，即，的轨迹方程为，且，
根据三角形的性质，易得点的坐标为，所以设过点的直线为，
联立，消得，
所以，解得，
当时，直线为，点在直线上，
此时直线分三角形面积之比为，则，是型直线；
同理，时，直线过点，也分三角形面积之比为，也为型直线，
所以存在两条型直线，得证；
设点的坐标为，则的重心为，
因为点在的型直线上，且因为，且，即分面积为，
所以过的顶点，
又因为，排除在、上，
所以在上，于是，解得，此时点为坐标原点，
过点的切线为，与交于，即为的中位线，
所以；
因为线段的中垂线为，所以设圆心为，
又因为的外接圆与直线：相切，
所以圆心到的距离等于圆心到点的距离，所以，解得，
即圆心为，半径为，则外接圆的方程为，
设该型直线为，
要与外接圆相切，则，解得，则为，
所以与边平行，由相似可得，所以设，
故的最小值为．
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