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2025年陕西省高考数学押题卷（1）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中所有元素和为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的一个焦点为，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历( )
A. B. C. D.
5.已知，，点满足，当取到最大值时的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若点坐标为，则( )
A. B. C. D.
8.设，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,),Y~N(34,),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是( )
A. P(X>38)< P(Y>38)
B. P(24X36)=P(32Y36)
C. 若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为,则<30
D. 若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交
10.在平面直角坐标系中，，，是曲线上一点，则( )
A. B.
C. D.
11.已知正方体的表面积与体积的数值之比为，，分别是棱，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 多面体的体积为
C. 存在一点，使得
D. 若平面，则平面截正方体的截面面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角，满足，，则 ．
13.已知正实数，满足，则的最小值为 ．
14.已知为等比数列，且，从，，，这个数中任取两个数，则这两个数之和能被整除的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区名男业主和名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
满意 不满意
男业主
女业主
依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？
从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值．
附：．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线过点，求实数的值
当时，证明：．
17.本小题分
如图，在正四棱台中，，，，棱上的点满足取得最小值．
证明：平面
在空间取一点为，使得，设平面与平面的夹角为，求的值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点在直线上，且三边的平方和为．
求的方程；
过点且斜率不为的直线与交于、两点．
求面积的最大值；
设点是线段上异于，的一点，满足，证明：．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，，当数列的项数大于时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中每个格中一个数字，使每一行均为这个数的一个排列将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作若对，，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．
求数列的通项公式
当数列的项数为时，求的值
若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为集合 ，
集合 ，
所以，
所以中所有元素和为．
故选：．
2.【答案】
【解析】由题意知，双曲线的一个焦点为，
则，
又由，
则，．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意可得展开式的通项公式为
，
令，解得，故常数项为第项．
故选：．
4.【答案】
【解析】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得，
即，
所以，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历．
故选：
5.【答案】
【解析】设，由，
得，
即，
则的轨迹是以圆心为，半径为的圆，
则当直线与圆相切时，最大，此时，
又，，
所以，
又，
所以，
故选：．
6.【答案】
【解析】由题可知：，，
因为与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
点为的图象与直线的交点，
点为的图象与直线的交点，
这两点也关于直线对称，所以，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】与的所有交点从左往右依次记为、、、和，
且和，和，都关于点对称，如图所示：
则，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】设，
则，
则，
所以；
，，
，
所以；
故选A
9.【答案】BD
【解析】对于A，由于X的均值为30，Y的均值为34，
且在t=38时密度曲线相交，
X的曲线在t=38的右侧比Y的曲线更平缓，
因此，X大于38的概率大于Y大于38的概率，
所以P(X>38)>P(Y>38)，故A错误；
对于B，对于X，区间[24,36]从均值30向两侧各延伸1个标准差(因为24=30-6和36=30+6)，
对于Y，区间[32,36]从均值34向两侧各延伸1个标准差(因为32=34-2和36=34+2)，
由于正态分布关于其均值对称，且两个区间都从均值向两侧各延伸1个标准差，概率相等，
所以P(24X36)=P(32Y36)，故B正确；
对于C，由于X的均值为30,Y的均值为34，且在t=38时密度曲线相交，
另一个交点必须在30和34之间，所以30<<34，故C错误；
对于D，对于X,在34分钟内上班不迟到的概率为P(X34)，
对于Y，在34分钟内上班不迟到的概率为P(Y34)=0.5(因为Y的均值为34)，
由于X的均值为30,P(X34)>0.5，
所以小明在34分钟内上班不迟到的概率更高，最好他选择坐公交，故D正确.
故选：BD.
10.【答案】
【解析】对已知曲线方程分情况讨论：
当时，，
所以题给曲线方程可化为，此时可正可负，进一步得到由得，所以．
当时，，
所以题给曲线方程可化为，所以，．
当时，，
所以题给曲线方程可化为，此时可正可负，进一步得到，．
所以曲线是一个以，，，，，为顶点的六边形．
选项A由曲线图形可知，原点到边，的距离是原点与曲线上的点的距离的最小值，所以，选项正确
选项B取点，此时，，
则，选项错误
选项C设以，为焦点，过点的椭圆标准方程为，
则，，所以椭圆标准方程为，易知点在此椭圆内部，所以此椭圆及其内部包含题给曲线所有点，故当点位于时，可取得最大值，所以，选项正确
选项D，，则
．
易知，所以，选项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于：因为正方体的表面积与体积之比为，所以，
解得，故A错误；
对于：因为四面体的体积为，
所以多面体的体积为，故B正确；
对于：设的中点为，连接，则，因为在平面内，而是线段上一个动点，即点在平面内，点在平面外，所以与为异面直线或相交，故C错误；
对于：因为平面，平面，所以平面平面，
又，分别是棱，的中点，
所以平面截正方体的截面分别交棱，，，的中点，，，，
所以截面为正六边形，又，所以截面面积为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】注意到，
，
展开整理得：，
，解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】正实数，，
令，当时，，
函数在上单调递增，又，于是，
，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最小值．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】易得，记取到的两个数为，，则，
其中为整数，所以当为奇数时，，为的倍数
当为偶数时，，不为的倍数即为奇数时满足条件，此时与的奇偶性不同，
从到包含个偶数和个奇数，所以与的组合有种，故所求概率．
15.【解析】由题可得：，
依据的独立性检验，认为男、女业主对该物业公司服务的评价有差异，
此推断犯错误的概率不大于．
利用调查数据，，．
16.【解析】函数的定义域为，，所以，又，
所以线在处的切线方程为，
将点代入得，解得．
证明：，设，则，
因为，所以当时，，即单调递减
当时，，即单调递增：
当时，，，，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减当时，，单调递增
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，所以，
因为，所以，所以，所以，得证．
17.证明：在等腰梯形中，因为，，
所以，
所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图，
可得当且仅当时，取得最小值，此时，
设与交于，再连结，
因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
设上底面的中心为，则，，两两垂直，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，在直角梯形中得，
，
显然平面的法向量为，
，，，，
所以，
不妨设，
设平面的一个法向量为，
所以不妨设，
所以．
18.【解析】在中令，得，则，所以，
又三边的平方和为，所以，
解得，
所以的方程为．
设，，直线的方程为，
联立，得，
则，所以，
且，，
，
令，则，
，
当且仅当时取等号，此时满足式，
面积的最大值为．
设，如图，由，则的平分线与轴垂直，
所以，
所以点在线段的垂直平分线上，即，
则，
设，则，
则，
又点在直线上，所以，
则，
所以，则，
整理得，
由得，
所以，则，所以，
故．
19.【解析】由题，，解得，
由得，
两式作差得，即，
所以，，，，，
累乘得：，即，
因为，符合上式，
所以．
由知，，所以，
当数列的项数为时，可知，，，，
若数列为数列的“异位数列”，则：
当时，有，，或，，或，，共种情况．
同理当或时，对应的排列各有种情况，
所以．
因为数列为数列的“异位数列”，所以，
即，所以，所以，
当，时，若对任意的，都有，取等号，
此时，，，，，
所以当，时，的最小值为，
当，时，的不可能取到等号，
因为存在，使得，
将，，，，分为组，不妨为，，，，时，
可以取到等号，
此时，，，，，，，，
此时，
所以当，时，的最小值为，
综上，当为偶数时，的最小值为当为奇数时，的最小值为．
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