资源简介

2024-2025学年度高一数学下学期期中模拟试卷（一）
考试范围：必修第二册六-八章；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
试卷分值：150分 考试时长：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若，则等于（ ）．
A．2 B． C． D．5
2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
3．在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
5．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
7．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．9：7 B． C． D．
8．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9．设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若是纯虚数，则的共轭复数
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则
10．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
11．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面，则点的轨迹长度为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为
D．若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。
12．已知复数，则的共轭复数 .
13．如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高 .

14．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15（13分）．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)求与夹角的余弦值．
16（15分）．已知的内角、、的对边分别是、、，且.
(1)求；
(2)若，的平分线与相交于点，且，求的面积.
17（15分）．在三棱锥中，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角．
18（17分）．在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值.
19（17分）．已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，．
(1)求证：面；
(2)求三棱锥外接球的半径；
(3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围．考查范围：复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、平面向量
题号 难度 知识点
一、单选题
1 较易 求复数的模,复数代数形式的乘法运算,共轭复数的概念及计算,复数的除法运算
2 较易 由直观图还原几何图形,斜二测画法中有关量的计算
3 较易 正弦定理解三角形
4 较易 线面关系有关命题的判断,面面关系有关命题的判断
5 适中 数量积的运算律,求投影向量
6 适中 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用,诱导公式二、三、四
7 适中 柱体体积的有关计算,锥体体积的有关计算,判断线面平行
8 适中 已知数量积求模
二、多选题
9 适中 与复数模相关的轨迹（图形）问题,复数的除法运算
10 较易 正弦定理解三角形,余弦定理解三角形
11 较难 棱柱的展开图及最短距离问题,多面体与球体内切外接问题,球的截面的性质及计算,证明线面平行
三、填空题
12 容易 共轭复数的概念及计算,复数的除法运算
13 较易 正弦定理解三角形,高度测量问题
14 适中 正弦定理及辨析,球的截面的性质及计算,球的表面积的有关计算,求点面距离
四、解答题
15 较易 已知数量积求模,向量夹角的计算,用基底表示向量
16 适中 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,用和、差角的正弦公式化简、求值,余弦定理解三角形
17 适中 求线面角,线面垂直证明线线垂直,证明线面垂直,由二面角大小求线段长度或距离
18 适中 正弦定理边角互化的应用,求三角形面积的最值或范围,正弦定理解三角形,余弦定理解三角形
19 适中 多面体与球体内切外接问题,求线面角,证明线面垂直2024-2025学年度高一数学下学期期中模拟试卷（一）
考试范围：必修第二册六-八章；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
试卷分值：150分 考试时长：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若，则等于（ ）．
A．2 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算得到，再根据共轭复数和模长计算公式得到答案.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解.
【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，
故的面积为，
故选：B．
3．在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解．
【详解】由正弦定理得，，解得，
因为，所以或，
又因为，所以，
故选：A．
4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】B
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】A.若，，则或，故A错误；
B. 若，，，则，故B正确；
C. 若，，则或与相交，故C错误；
D. 若，，，则或异面，故D错误.
故选：B
5．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由已知结合投影向量的意义可得，再利用数量积的运算律求出的值.
【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则，
由，
所以.
故选：A
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可.
【详解】因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故选：C
7．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．9：7 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线线平行得截面为梯形，即可根据锥体以及柱体的体积公式求解.
【详解】过作交于，连接,
由于,故，因此截面为梯形，
又,平面，平面，故平面
设三棱柱的高为，
由于,
所以,
,
故，
因此
故选：A
8．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作 由任意实数都有，得取，设，可得在直线上，即可求解答案.
【详解】如图，由，，可得在上的投影为2，即
因为对任意实数都有，由射影定理可得,
所以.
设，取，可得在直线上，
所以线段的最小值为到直线的距离，
当时，
故答案为：.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9．设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若是纯虚数，则的共轭复数
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则
【答案】CD
【分析】由复数模长的几何意义可判断A和C，结合复数的除法化简以后由纯虚数可得的取值可判断B，将代入方程，化简可得的值.
【详解】对于A，因为，则点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应的复数有无数个，所以A错误；
对于B，是一个纯虚数，则，，，所以，B错误；
对于C，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为，C正确；
对于D，因为是实系数方程的一个根，所以，，所以，解得，则，D正确.
故选：CD
10．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
【答案】BCD
【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可.
【详解】对于A，由及正弦定理可得，，
则，
所以，又，所以，所以，
解得，又因为，所以，故A错误；
对于B，由选项A可知，，在边上，且平分，
所以，又，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确；
对于C，由选项B可知，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，故C正确；
对于D，由，得，解得，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面，则点的轨迹长度为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为
D．若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为
【答案】ABD
【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D.
【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
则，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B正确：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C错误：
如图，
连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确.
故选：ABD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。
12．已知复数，则的共轭复数 .
【答案】
【分析】对z进行复数的除法运算整理为的形式，则共轭复数为.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13．如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高 .

【答案】
【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解.
【详解】如图，在中，，所以.
在中，因为，所以.
由正弦定理得,故，故，
在中，易得.
故答案为：60.

14．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 .
【答案】 4
【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解.
【详解】在中，，.
根据正弦定理（为外接圆半径），
这里，，所以，解得.
因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.
因为、、三点所在平面经过球心，
当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，
所以点到平面的距离的最大值为.
则球的表面积为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15（13分）．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立.
（2）由于，可得，又有，
所以；
，故.
（3）由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故.
16（15分）．已知的内角、、的对边分别是、、，且.
(1)求；
(2)若，的平分线与相交于点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由整理得出，结合余弦定理可得出关于的二次方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
即，
即，
因为、，则，所以，所以.
（2）因为为的平分线，所以，
又，即，整理得.
又由余弦定理，得，
所以，即，解得或（舍去），
所以的面积为.
17（15分）．在三棱锥中，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作于，连接，根据，求出，利用勾股定理证明，再利用余弦定理求出，再利用勾股定理证明，即可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）易得即为二面角的平面角，再证明平面，则即为直线与平面所成角的平面角，即可得解.
【详解】（1）作于，连接，
在中，，则，
所以，所以，
所以，
在中，，所以，则，
在中，，
又，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）知，，，
则即为二面角的平面角，故，
又，则，
在中，，所以，
因为为的中点，所以，
则，所以，
又平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，又，
所以线与平面所成的角为．
18（17分）．在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据两角和差的余弦公式化简，结合三角形内角和定理即可得解.
（2）解法一：由知四点共圆，结合圆的性质及正弦定理用角表示出，结合三角形面积公式用角表示出三角形的面积，并求得其最值及对应条件.
解法二：借助余弦定理及基本不等式求得的最值，然后结合三角形面积公式确定面积的最值.
解法三：利用三角形的外接圆确定取最值时的条件，然后在中，利用中位线定理求得中边上高的最大值，从而求得面积的最大值.
【详解】（1）由题可得，，
根据正弦定理可知，，
在中，，所以，则，
所以，
所以，则，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）解法一：由，可知四点共圆，如图所示，
在中，由（1）可知，，又，所以，
设，则，
所以，，，
在中，，根据正弦定理可知，
，
所以，，
故
，
根据二倍角公式，得，
因为，所以，
当，即时，面积的最大值为.
解法二：在中，已知，，
所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即面积的最大值为.
解法三：由，可知四点共圆，设这个圆的圆心为，如图，
因为，，所以，
则的外接圆直径为，且，
是圆上动点，所以面积取最大值时边上的高最大，
即点到的距离最大，
此时最大距离为圆心到的距离加半径2.
在中，圆心到的距离为，
所以中边上高的最大值，
所以面积的最大值为.
19（17分）．已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，．
(1)求证：面；
(2)求三棱锥外接球的半径；
(3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）只需证明，，然后结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合等边三角形的外心和三棱锥外接球球心的关系，设球的半径为R，，即可列出方程组，由此即可得解.
（3）引入参数，结合线面角的定义将直线CF与平面所成角的正弦值表示成的函数，由此即可通过研究该函数的性质即可得解.
【详解】（1），，是等边三角形．
又，，即，．
，，由勾股定理得，．
又BC，面，，面．
（2）过等边三角形的外心作直线面，
设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于．
设球的半径为R，，则，，解得，．
（3）由（1）得，面，，
而在中，，得，，
由题意，所以，
所以，
设到面的距离为，则，
，，得．
在中，由余弦定理，得．
设CF与平面所成角为，
则，
，，．2024-2025学年度高一数学下学期期中模拟试卷（一）答题卡
(
条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
) (
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
12题、
13题、
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、

展开更多......

收起↑