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江西省2025届高三二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面与平面平行的充分条件可以是( )
A. 内有无穷多条直线都与平行
B. 直线，且
C. 直线，直线，且
D. 内的任何一条直线都与平行
2.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.集合，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.年英国天文学家格雷戈里与牛顿讨论体积不同的星星在天空如何分布，引出了一个问题：一个半径为的球能否与个互不相交半径为的球同时相切，现在已经证明不可能，但一个半径为的球可以与个互不相交半径为的球同时相切，最简单的例子是半径为的球一层一层地堆起来，最上面个球，第层个球，第层个球，第层个球，那么第层核心的那个球既与第层的个球相切，又与第层的个球相切，还与第层的个球相切．在上面的例子中第层的个球的球心所在平面与第层的个球的球心所在平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知，终边不重合，，则( )
A. B. C. D.
7.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得．现将双曲线：绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日，中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见发布，某公司为适应市场变化，加强公司竞争力，对去年的各个产品的收入进行了统计，得到如下频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A.
B. 各个产品的收入的中位数为万元
C. 各个产品的收入的平均数为万元
D. 各个产品的收入的第百分位数为万元
10.已知，不等式的解集为且，则下列说法中正确的是( )
A. 函数的极大值点为
B. 函数的对称中心为
C. 过点可作一条直线与曲线相切
D. 当时，
11.在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是： ．
A. 曲线关于直线对称
B. 若，则时到轴距离的最大值为
C. 若，如图，则
D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
13.已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
14.盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各个．小明想将这个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有 种摆放方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，矩形中，，，，现以为折痕把四边形折起得到平面，并连接、．
若，证明：平面；
若为的中点，，直线与平面所成角正弦值为．
试讨论在线段上是否存在点，使得平面若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
求平面与平面所成锐二面角的取值范围．
16.本小题分
已知动点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
过原点的一条直线与圆相切，交曲线于另一点，且，求圆的方程
已知直线与曲线交于，两点，若，求面积的最小值．
17.本小题分
某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．
从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取户．
若将频率视为概率，求至少有两户购买量在单位：的概率；
若抽取的户中购买量在单位：的户数为户，从户中选出户进行生活情况调查，记户中需求量在单位：的户数为，求的分布列和期望；
将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取户，且抽到户为“迫切需求户”的可能性最大，试求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间
若有个不同的零点．
求实数的取值范围
求证：．
19.本小题分
存在，对任意的，当时，正项数列都满足，则称满足性质例如：当时，，则等比数列满足性质当时，，则数列不满足性质已知数列同时满足，性质．
证明：数列为等比数列
已知，，若数列满足：，其中设为数列的前项和，记．
求的表达式用含的式子表示
试判断与的大小关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对于，若内有无穷多条直线都与平行，
则平行或相交，故充分性不成立，故 A错误；
对于，如图，在正方体中，
平面，平面，
而平面平面，故充分性不成立，故 B错误；
对于，如图，在正方体中，
平面，平面，
而平面平面，故充分性不成立，故 C错误；
对于，由面面平行的定义知能推出平面与平面平行，故充分性成立，故 D正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】，
所以
故选B．
3.【答案】
【解析】由，得，则，
因，则．
故选：．
4.【答案】
【解析】由正弦定理得，
，
即，
，
，，
，
， ，
，
，，
所以．故选：．
5.【答案】
【解析】设第层核心的那个球为球，第层个球分别为，，，，
则四棱锥是侧棱长和底面边长均为的正四棱锥，其高为，
所以第层的个球的球心所在平面与第层的个球的球心所在平面距离为．故选B．
6.【答案】
【解析】原式可化为，
可得，其中 ，，
故有或，
由，可得，不合题意，
故，
故．故选：．
7.【答案】
【解析】易知函数的渐近线为和轴，
设的倾斜角为，
则和轴的夹角为，
则旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为，
因为，
所以，即，
解得或舍去，
所以
，
所以，
所以．故选：．
8.【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
令，，
则，解得，
令，则，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
当时，，
所以的最小值为．故选：．
9.【答案】
【解析】依题意，，解得，故选项A正确
设年收入的中位数为万元，因为，所以中位数在处，即，故选项B错误
年收入的平均数为，故选项C正确
内的频率为，
该地农户家庭年收人的分位数的估计值为万元，故选项D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】由题意，，其解集为且，
说明方程的根为二重根和，
分解得：，
对比系数得，，故
对于，求导得，解得：或，极大值点对应较小的根，非，故A错误
对于，对称中心为，关于对称的点为，
，
故点在函数曲线上，
故函数的对称中心为，故B正确；
对于，，切线方程为，故C正确
对于，，，
求导得，
函数在为增函数，为减函数，，，
可得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】设点，则，
对于选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，错；
对于选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，对；
对于选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，对；
对于选项，若曲线与轴正半轴交于，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，对．
故选：．
12.【答案】
【解析】 当时，，要使得函数的值域为，
则时，，可得，
所以实数的取值范围是
故答案为
13.【答案】
【解析】，可得，
，
故，
故，
故答案为．
14.【答案】
【解析】记个相同的“竹林春熙”为，，“冰雪派对”为，“青云出岫”为，“如意东方”为，先摆放，，，一共有 种摆放方式，再将个插空放入，有 种摆放方式，所以，一共有 种摆放方式．
故答案为：．
15.【解析】因为在矩形中，，，，．
所以，，所以，所以，
又，，，平面，所以平面．
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
故直线在平面内的射影为直线，
因为直线与平面所成角正弦值为 ，
所以直线与平面所成角为，
易知点为的中点，取的中点，连接，，，
则，，，，则平面平面，
又平面，
所以平面，故点存在，．
因为，，所以，则，且，，平面．
所以平面．
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
，，
设平面的法向量为，则有即
取，故平面一个法向量为．
同理取平面一个法向量，则，，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为

16.【解析】由动点到直线的距离比到点的距离大，
得点到直线的距离等于点到的距离，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设其方程为，所以，所以，
故曲线的方程为．
设，则解得
由对称性，不妨取，则，
直线的方程为，即，
由圆与直线相切，得，解得，
故圆的方程为．
因为直线的斜率不可能为零，
所以设直线的方程为，，，
由消去并化简，得，
所以，且，，
因为，所以，
即，
化简得，
将，代入，得，
所以，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又因为或，
所以当时，的面积．
17.【解析】由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取户，购买量在”发生的概率为．
记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取户，则至少有两户购买量在”为，
则．
随机变量所有可能的取值为，，．
则，，，
所以．
每天对甲类生活物资的需求平均值为
，
所以则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，
从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取户，且抽到户为“迫切需求户”，，
若户的可能性最大，
则，，
得
解得，由于，故．
18.【解析】令，
由得或
由得，
的单调递增区间是：和，的单调递减区间是．
与有个不同的交点，
所以在上递增，上递减，上递增，上递减，上递增，
注意到：当，，，，，，
当，，
；
证明：由可知：，
要证：，只要证：，
又，，而在单调递增，故只需证明：，
而，故只需证明，
而
因为，，
所以
，
故式成立，所以成立，证毕．

19.证明：因为数列同时满足，性质，
所以当时，，
当时，，
当时，由得：，
，
将，式代入式得：，
所以，
又因为，
所以
取，得
所以当时，数列为等比数列，
设，
将代入式得，
所以
将代入式得，
所以
所以对任意的，数列为等比数列；
因为，，所以，
所以，
，
当时，，所以为等差数列，
得到：，
所以，
所以，
所以，
两式相减得：，
所以；
，
理由如下：令，，
所以数列单调递减，
所以，
所以．
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