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江西省2025届高三模拟数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知项数为的等差数列满足，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数满足：，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，图象对应的函数解析式为( )
A. B. C. D.
6.已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为若点是线段的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体如图，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是如图，已知点是以为直径的圆上的点，，扇形的面积为，将扇形绕直线旋转一周得到一个几何体，则下列结论正确的是( )
A. 该几何体是一个球缺 B. 该几何体中球冠的高为
C. 该几何体的体积为 D. 该几何体的表面积为
10.如图，平面四边形满足，与交于点，若将沿翻折，得到三棱锥，已知二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，，则下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中，与始终垂直
B. 在翻折过程中，始终成立
C. 在翻折过程中，的最大值为
D. 当平面平面，则三棱锥为正三棱锥
11.小明热爱数学，九章算术几何原本数学家的眼光奥赛经典高等数学都是他的案头读物．一日，正翻阅高等数学，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是 注：为自然对数的底数，，．
A. 有最小值，且最小值为整数
B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C. 恰有两个极值点
D. 恰有三个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的系数为______．
13.已知集合，将与其中，的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______．
14.设为奇函数，其中为常数，则的极大值点为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，皆为曲线上点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为．
求曲线的方程；
若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，，求证：直线与直线斜率之和为定值．
16.本小题分
垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取名学生，该生是等级男生的概率为．
根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？
男生 女生
等级
等级
附：
，其中．
为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问．
求比赛只进行局就结束的概率；
设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知双曲线：，且四点，，，中恰有三点在上．
求双曲线的标准方程；
如图，，，分别为双曲线上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点分别作直线，的垂线，垂足分别为，，且．
证明：，，三点共线；
求面积的最小值．
18.本小题分
已知数列满足
若，，求，的值；
若，满足，恒有，求集合；
若，证明：．
19.本小题分
已知函数，，．
函数在点处的切线方程为，求，的值；
求函数的极值；
函数，若，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】集合，
则或，
，
故．
故选：．
2.【答案】
【解析】，
则，
所以，其虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以．
故选：
4.【答案】
【解析】因为，
则，
令，则，
因为，所以，
又，
则，即，
令，则，即，
令，则，所以，
故得，
又；
又，
所以，
即．
故选：．
5.【答案】
【解析】由图象知，该函数为偶函数，需满足且定义域为，
对于、，，，故定义域不为，不符合题意；
对于，定义域为，，符合题意；
对于，定义域为，但，不符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】由题意知两条动直线和交于点，
联立直线方程消去可得，
由于，即，
该直线过定点，但不会过点，
故点轨迹方程为去掉点，
圆心为，半径为；
上两点，间的距离为，
为线段的中点，则圆的圆心到的距离为，
则点轨迹方程为，圆心为，半径为；
由于与圆的圆心距满足，
故这两圆外离，
则的最小值为，
故选：
7.【答案】
【解析】定义在上的奇函数满足，
．
，．
即，记，在上单调递增．
，是偶函数．
在上单调递减，且．
如图所示，画出，大致图象．
由图可得，有个零点．
故选：．
8.【答案】
【解析】令，可得，
则．
故选：．
9.【答案】
【解析】因为，
设圆的半径为，
又，
解得，
过点作，交于点，
则，，
将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上面的球缺和一个圆锥的组合体，故A错误；
其中球缺的高，故B正确；
一个球缺的体积，
圆锥的体积，
所以几何体的体积：，故C正确；
圆锥的高，底面半径，
则其中一个球冠的表面积，
圆锥的侧面积，
所以几何体的表面积，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，在平面四边形中，由于，
所以，，
如图，在翻折过程中，始终满足，，，，面，
所以面，所以，故A正确；
对于，如图，作，连接，由题意得在翻折过程中，始终满足，又，
所以二面角的平面角为，即，
则，又平面，所以，
所以直线与平面所成的角为，
所以，
又，所以，
则，故B错误；
对于，由知，，，当，即时，的最大值为，此时，故C正确；
对于，如图，由知，，由于平面平面，平面平面，
所以平面，则，由于，
所以，
则三棱锥为正三棱锥，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】，，
，
设，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
当时，等号成立，故 A正确；
，，，若恒有，
等价于切线一直在割线下方，即单调递增，
即函数在区间上“严格下凸”；
，，，若恒有，
等价于切线一直在割线上方，即单调递减，
即函数在区间上“严格上凸”，
设，
，
易得在上单调递增，
，
，
所以存在常数，，使得在上，，
此时单调递减，即单调递减，在“严格上凸”；
在上，，单调递增，
即单调递增，在“严格下凸”，故 B错误；
由知，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
所以恰有两个极值点，故 C正确；
由知，恰有两个极值点，设为，，且，
所以在和单调递减，单调递增，
，，
，
所以函数在各有一个零点，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】二项式的展开式中的项为，
即展开式中的系数为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由表格数据可得所有数之和为：
，
，
集合，
，
设，则，，
，
当或时，取最大值，最大值为，
此时，，
可取最大值．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】当时，．
根据奇函数性质，，故，解得当时，．
根据奇函数性质，．
．
因此，．
解方程，化简为，解得：或．
由于，故有效临界点为求二阶导数，
代入，，即是极大值点．
故答案为：．
15.【解析】设为曲线上异于，的任意一点，
因为，
所以．
所以，
即．
所以，
又，皆为曲线上的点，
所以曲线的方程为．
证明：设直线的方程为，
，，
联立，
得，
，，
所以，
即，
因为焦点，所以，
，
把式代入式得，
直线与直线斜率之和为定值．
16..【解析】由题意得，等级的男生人数为，等级男生的人数为，
等级的女生人数相同，均为人，
故列联表如下：
男生 女生 总计
等级
等级
总计
故，
故根据小概率值独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关；
比赛只进行局就结束，甲赢得比赛的概率为，
比赛只进行局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行局就结束的概率为；
的可能取值为，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以分布列为
故数学期望为．
17.【解析】由题，点，，，中恰有三点在上，
根据双曲线的对称性，点，都在双曲线上，
又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点不在双曲线上，
所以点，，为双曲线上的点，
代入得解得，，
所以的标准方程为：．
证明：由题可知直线的斜率存在，设：，
则，故，
把代入：得：，
由题知，设，，则，，
则
，
所以，所以，
同理可得，所以，，三点共线．
因为，，所以∽，所以，
所以，
由知，，
又，
当且仅当时等号成立，所以，
所以面积的最小值为．
18.【解析】已知，且．
当时，；
当时，，绝对值为意味着或者，
若，结合等条件可算出；
若，则．
因为，且，所以，
那么或者，
若，则，根据递推关系会得出所有，这与矛盾．
若，当，时，通过依次往前推，
，，，，
能得到时，，此时符合条件；
当时，同样根据递推关系能算出，，
已知且，因为时数列呈周期变化，周期，即，
要找使的的集合．在周期数列中，从开始，周期为，
设，当取合适值时能涵盖所有使的正整数，所以，
当，时，因为时，那么，不符合题意，舍去这种情况．
综上所得，所求的集合．
证明：由，可得．
，根据进行放缩：
，
把右边式子拆分，
进一步变形为，
移项可得，即．
19.【解析】由切线方程可知，切线斜率为，即．
根据导数公式，将，代入可得，此时，
此时，
将点代入切线方程，可得．
求导可得，令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因此，在处取得最大值，为．
证明：将和代入，可得，
即证，
即，即证，
设，即，
所以易知在单调递减，在单调递增，
所以，
即，
，
，
由第二问知极大值为，
所以．
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