资源简介

蒙阴一中2024-2025学年高二下学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y=t2+2t，当t=1时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 在(x﹣2)5的展开式中，x2的系数为（　　）
A. ﹣40 B. 40 C. ﹣80 D. 80
3. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到2=8.988．依据α=0.001的独立性检验，正确的结论为( ) (附：x0.01=6.635，x0.005=7.879，x0.001=10.828)
A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001
4. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875
5. 相关变量x，y的散点图如下.若剔除点A后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（ ）
A. y的平均值 B. 相关系数 C. 决定系数R2 D. 残差的平方和
6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ）
A. 72 B. 78 C. 96 D. 120
7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y~B(n, p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( )(附：若X~N(μ,2)，则P(μ-≤X≤μ+)≈0.6827，P(μ-2≤X≤μ+2)≈0.9545，P(μ-3≤X≤μ+3)≈0.9973)
A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014
8. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x)，对于任意的实数x都有，且x>0时，f (x)>f(x)．若a=，b=，c=3f(ln)，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. c>b>a
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件A：“2个产品中至少有一个正品”，事件B：“2个产品中至少有一个次品”，事件C：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B为互斥事件 B. 事件B与事件C是相互独立事件
C. P(AB)=P(C) D. P(C|A)=
10. 若随机变量X~N(0, 2)，f(x)=P(X≤x)，则（ ）
A. f(-x)=1-f(x) B. f(2x)=2f(x)
C. P(|X|0) D. 若f()>f(2)，则11. 已知函数f(x)=x3-x2-2x+1，则函数f(x) ( )
A. 单调减区间为(-2,1) B. 在区间[-3, 3]上的最小值为
C. 图象关于点(,)中心对称 D. 极大值与极小值的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量的方差D(X)=1，则随机变量Y=3X+2的方差D(Y)=
13．某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料的质量y(吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x, y)，如下表所示．（残差=观测值-预测值）
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为=0.7x+．据此计算出在样本(4, 3)处的残差为，则表中m的值为______．
14. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入_________号格子的概率最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知二项式(2x-1)n展开式中，前二项的二项式系数和是11.
(1)求n的值；
(2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
(3)求上述展开式中所有偶数项的系数和.
16. (15分)已知函数f(x)=-4alnx+x2-1
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的方程；
(2)探究f(x)的最小值；
(3)当a>0时，求f(x)的最小值的极值．
17. (15分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计
男性 50 10 x
女性 25 15 40
总计 y 25 100
(1)求x，y；
(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望.
附：，.
α 0.10 0.05 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
18. (17分)某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费x(单位：万元)和增加收益y(单位：万元)的数据如下表：
x 4 6 8 10 12
y 27 42 55 56 60
为了进一步了解技术革新投入经费x对增加收益y的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．
(1)根据以上数据，计算模型①中y与x的相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)若0.95≤|r|≤1，则选择模型①；否则选择模型②．根据(1)的结果，试建立增加收益y关于技术革新投入经费x的回归模型，并预测x=16时y的值(结果精确到0.01)．
附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，
ii）参考数据：设，，，，，．
19. (17分)定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[0, +∞)上的“好函数”，求a的取值范围．
(2)(ⅰ)证明：g(x)=lnx是(0, +∞)上的“好函数”．
(ⅱ)设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1++++…+．
蒙阴一中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题答案
一、选择题
1. 选A. 解析：因y=t2+2t，所以y =2t+2，所以y |t=1=2×2+2=6，所以当t=1时，该质点的瞬时速度为4m/s. 故选A.
2. 选C. 解析：在(x﹣2)5的展开式中，含x2的项为，故x2的系数为﹣80．故选C.
3. 选C 解析：因为，所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立.
故选C.
4. 选A. 解析：依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，则一列车能正点到达该车站的概率为. 故选A.
5. 选C. 解析：由散点图可知，去掉点后，，的线性相关加强，且是负相关，故样本的相关系数变小，决定系数变大，残差平方和变小，样本数据y的平均值也变小.故选C
6. 选B. 解析：当甲是第5名时，共有种；当甲不是第5名时，共有种；综上，共有78种. 故选B.
7. 选B. 解析：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，所以，，由题意，，且，，因为，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，故选B.
8. 选C. 解析：令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，
当时，为增函数；又，，即.故选C.
二、选择题
9. 选CD. 解析：因为事件与事件可以同时发生，故A错误；事件包含事件，所以事件与事件不是相互独立事件，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D正确；故选CD
10. 选ACD. 解析：对于A，随机变量满足正态分布，且，故，故A正确；对于B，当x=0时，此时，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故f(x)单调递增，故，即，解得，故D正确.故选ACD
11. 选BCD. 解析：对于A，，故，所以在和上，，函数f(x)单调递增；在(-1,2)上，，函数f(x)单调递减， 故A错误；对于D，由A知，函数f(x)的极大值为，极小值，则，故D正确；对于B，，结合函数在[-3, 3]的单调性可知，故B正确；对于C，，所以，
故函数f(x)图象关于点中心对称，故C正确. 故选BCD.
三、填空题
12. 9 解析：因为随机变量X的方差D(X)=1，随机变量Y=3X+2. 所以D(Y)=D(3X+2)=32D(X)=9.
13. 4.5 解析：因为样本(4.3)处的残差为-0.15，即，所以，所以回归方程为：，因为，，因为样本中心点在回归直线上，所以，解得m=4.5.
14. 8 解析：小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为；小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为；小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为；小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为；依此类推，小球掉入k(k=0,1,2,…,10)号格子，需要向10-k左次，向右k次，概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，显然，则，即，即，解得，又k为整数，∴k=8，则小球落入8号格子的概率最大.
四、解答题
15. (13分)已知二项式(2x-1)n展开式中，前二项的二项式系数和是11.
(1)求n的值；
(2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
(3)求上述展开式中所有偶数项的系数和.
解：(1)因为二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11，
所以， ······································································································2分
得到1+n=11，解得n=10. ···························································································3分
(2)由二项式性质得二项式系数之和为210=1024， ·······························································5分
令，可得各项系数之和为， ···································································7分
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为1024-1=1023. ···············································8分
(3)令f(x)=(2x-1)10，
则， ·············································10分
， ································12分
所以. ································································13分
16. (15分)已知函数f(x)=-4alnx+x2-1.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的方程；
(2)探究f(x)的最小值；
(3)当a>0时，求f(x)的最小值的极值．
解：(1)当时，，， ·······································1分
则f(1)=0，， ·······································3分
所以切线的方程为. ·······································4分
(2)定义域为．， ·······································5分
当时，，则f(x)在上单调递增，故f(x)没有最小值； ·····························7分
当时，f(x)在单调递减，在单调递增， ·······································8分
所以. ·······································9分
综上所述：当时，f(x)没有最小值；当时，f(x)最小值为；··················10分
(3)由(2)可得，
设， ····································11分
则， ····································12分
令，得，所以当时，，单调递增，· ································13分
当时，，单调递减， ·······································14分
所以的极大值为，无极小值． ······································15分
解：(1)函数f(x)=ax3+bx2-6x+9(a，b∈R)，则， ·················1分
由题意得，解得， ········································3分
当时，，令，解得. ············4分
则当单调递增；单调递减；，单调递增， ············································6分
所以x=1是极小值点，符合题意，故. ······································7分
(2)由(1)知， ·······································8分
则当单调递增；当，f(x)单调递减；当单调递增， ········10分
当时，函数f(x)取得极小值f(1)=4， ··································································12分
当时，函数f(x)取得极大值，而f(-1)=8，f(2)=17， ···························14分
故f(x)在[-1, 2]上值域为[4, 17]. ··········································15分
17. (15分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计
男性 50 10 x
女性 25 15 40
总计 y 25 100
(1)求x，y；
(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
解：(1)由题意得，. ·········································2分
(2)零假设为H0：选购新能源汽车的款式与性别无关联. ··························3分
根据列联表中的数据，可得， ··············6分
根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立， ·····························7分
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； ············8分
(3)随机抽取1人购买B款车的概率为，·····························································10分
被抽取的3人中购买了B款车的人数X的可能取值为0,12,3， ·············································11分
由题意得，··································································································13分
由二项分布的期望公式得. ··································································15分
18. (17分)某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费x(单位：万元)和增加收益y(单位：万元)的数据如下表：
x 4 6 8 10 12
y 27 42 55 56 60
为了进一步了解技术革新投入经费x对增加收益y的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．
(1)根据以上数据，计算模型①中y与x的相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)若0.95≤|r|≤1，则选择模型①；否则选择模型②．根据(1)的结果，试建立增加收益y关于技术革新投入经费x的回归模型，并预测x=16时y的值(结果精确到0.01)．
附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，
ii）参考数据：设，，，，，．
解：(1)因为， ··· ······················1分
， ····························2分
所以， ······················3分
， ······················4分
，
······················6分
模型①中，相关系数， ······················8分
(2)因为，所以选择模型②， ························10分
令，先建立关于的线性回归方程， ······················11分
由于， ······················13分
， ······················14分
所以关于的线性回归方程为，即， ······················15分
当x=16时，(万元)， ······················16分
所以若投入经费16万元，收益约为75.44万元. ······················17分
19. (17分)定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意，且，都有，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[0, +∞)上的“好函数”，求的取值范围．
(2)(ⅰ)证明：g(x)=lnx是(0, +∞)上的“好函数”．
(ⅱ)设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1++++…+．
解：(1)由题可知任意，且，
即，解得． ·········································2分
因为，所以，即的取值范围为． ·········································4分
(2)(ⅰ)证明：设，
则． ·········································6分
令，且， ·········································8分
则，则在上单调递增， ········································9分
所以，即， ·········································10分
所以g(x)=lnx是上的“好函数”． ·········································11分
(ⅱ)证明：由(ⅰ)可知，当时，， ·········································12分
令，则，即． ············14分
故， ·········································16分
化简可得． ·········································17分
-4-

展开更多......

收起↑