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二次函数的最值
一、单选题
1．已知关于x的二次函数y=x2+（1﹣a）x+1，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a=5 B．a≥5 C．a=3 D．a≥3
2．关于二次函数y=-x2+2x的最值，下列叙述正确的是(　　)
A．当x=2时，y有最小值0 B．当x=2时，y有最大值0
C．当x=1时，y有最小值1 D．当x=1时，y有最大值1
3．如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 的路线运动，当点 到达点 时停止运动.若 ，交 于点 设点 运动的路程为 ， ，已知 关于 的图象如图2所示，则 的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
4．点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝ ＋mx＋5的图象上，则2a－b的最大值等于（　　）
A．4 B．－4 C．－4.5 D．4.5
5．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知抛物线，当时，y的最小值为，则当时，y的最大值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
7．下列函数中函数值有最大值的是（　　）
A． B． C． D．
8．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　）
A．50m B．100m C．160m D．200m
9．关于二次函数y=﹣2x2+1，下列说法错误的是（　　）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴为x=
C．函数最大值为1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
10．二次函教y＝x2＋2x－5有(　　)
A．最大值－5 B．最小值－5 C．最大值－6 D．最小值－6
11．已知抛物线 .当 时，y随x的增大而增大；当 时，y的最大值为10.那么与抛物线 关于y轴对称的抛物线在 内的函数最大值为（　　）
A．10 B．17 C．5 D．2
12．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（　　）
A．顶点的坐标是（5，-7） B．顶点的坐标是（-7，-5）
C．当x=-5时，函数有最大值y=-7 D．当x=-5时，函数有最小值y=-7
二、填空题
13．二次函数y=2x2﹣2x+6的最小值是　 　．
14．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　．
15．如图所示，二次函数 （ ， ， ， 为实数）的图象过点 ，对称轴为直线 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 、 为函数图象上的两点，则 .其中正确的有　 　.（填写序号即可）
16．已知实数x，y满足x2-3x+4y=7，则3x+4y的最大值为　 　。
17．二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最大值和最小值分别是　 　．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为　 　.
三、综合题
19．【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+ ）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ （x＞0）的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；
x … 1 2 3 4 …
y … …
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+ （x＞0）的最小值．
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
20．某商店将成本为30元的文化衫标价50元出售．
（1）为了搞促销活动经过两次降价调至每件40.5元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率
（2）经调查，该文化衫每降5元，每月可多售出100件，若该品牌文化衫按原标价出售，每月可销售200件，那么销售价定为多少元，可以使该商品获得最大的利润？最大的利润是多少？
21．已知 是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
22．已知函数 （b为常数）.
（1）若图象经过点 ，判断图象经过点 吗？请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为 ，当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当 时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.
23．某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 ，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
24．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；
（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】6
15．【答案】①②③
16．【答案】16
17．【答案】5，1
18．【答案】0≤y≤9
19．【答案】（1）解：①故答案为： ， ， ，2， ， ， ．
函数y=x+ 的图象如图：
②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数y=x+ （x＞0）的最小值是2．
③y=x+ = = +2= +2，
∵x＞0，所以 ≥0，
所以当x=1时， 的最小值为0，
∴函数y=x+ （x＞0）的最小值是2
（2）解：答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是4 ．
20．【答案】（1）解：设每次降价率为n，则
50（1﹣n）2=40.5，
解得：n1=0.1=10%，n2=1.9（不合，舍去）．
故每次降价的百分率为10%；
（2）设销售定价为每件x元，每月利润为y元，则
y=（x﹣30）（200+×100）=﹣20（x﹣45）2+4450
∵a=﹣20＜0，
∴当x=45时，y取最大值为4450元．
21．【答案】（1）因为函数为二次函数
∴m+2≠0，m2+m-4=2
∴m≠-2，m2+m-6=0
∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0
∴m=-3，m=2
（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y随x的增大而增大
（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而减小
22．【答案】（1）解：经过，
把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
（2）解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴﹣ ＝m， ＝n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入 ＝n得n＝ ＝﹣m2﹣6m.
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m.
（3）解：把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x+ ）2﹣ +3b，
∴抛物线顶点（﹣ ，﹣ +3b），
∵﹣ ≤0，
∴当﹣ +3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6≤﹣ ≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣ +3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（﹣ +3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4.
当1+4b﹣（﹣ +3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）.
综上所述，b＝4或6.
23．【答案】（1）解：由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10，
代入 中得：
，解得： ，
∴k=-1，b=80；
（2）解：由（1）可知，y=-x+80，
∴ ，
∵y=-x+80≥0，
∴
∵-1＜0，
∴当x=60时，w有最大值，此时w=400，
即最大利润为400元．
24．【答案】（1）解：设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．
根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．
所以 ，解得
所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．
设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，
当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．
所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250
（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．当0＜x≤80时，
w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］
＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．∵－0.2＜0，0＜x≤80∴当x＝50时， w有最大值，最大值为500．
当80＜x≤84时，
w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，
∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，∴当x＝84时， 有最大值，最大值为470.4．
综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元

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