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多次相遇问题
1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离．
2．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？
3．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。
（1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？
（2）这座桥长多少米？
（3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　 　
4．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？
5．A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？
6．在300米环形跑道甲乙并头起跑，甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.4米，按平均速度计算，两人第二次相遇在起跑线前面多少米？
7．三个人自A地到B地，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。
他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，然后两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。结果三个人同时到达B地。那么，C距A处多少千米？D距A处多少千米？
8．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问：
（1）第三次相遇距离B点多远？
（2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？
9．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？
10．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？
11．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？
12．甲乙两车分别从AB两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处再次相遇．问AB两地相距多少千米？
13．甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的，现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进，甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又相遇一次，如果两次相遇点相距36千米，A、B两地间的距离是多少千米？
14．甲和乙分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，甲的速度比原来增加了，乙比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处55千米，A，B两地相距多少千米？
15．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？
16．甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为400米，求丙的速度。
17．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？
18．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？
19．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？
20．有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7：9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离．
21．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）
22．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？
23．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？
24．育才中学有80名学生租了一辆40座的车去海边观日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲、乙的速度比是5：3。两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距多少千米？
26．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？
27．A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？
28．环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次追上乙，若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲乙的速度。
29．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？
30．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？
31．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？
32．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点2000米，求A、B两地的距离.
33．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？
34．甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？
35．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？
36．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？
37．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。
38．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？
39．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒．
（1）经过多少时间，两人第一次相遇？
（2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？
（3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外）
40．一根棍子的左端有8只间隔相等的蚂蚁，以速度v向右爬行；棍子右端则有6只蚂蚁，也以速度v向左爬行，两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬；如果爬出棍子两头，就会掉下去，当所有蚂蚁掉下棍子后，它们之间一共相遇了几次？
41．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？
42．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，第一次相遇距A地40千米，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次相遇距A地20千米，求A、B两地路程．
43．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？
44．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？
45．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米）
46．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇．各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇．A、B两地相距多少千米？
47．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？
48．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？
49．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？
50．ABC为90米环形的三等分点，蓝精灵、红精灵分别从AB两点出发向C走，蓝精灵的速度是5米每秒，红精灵的速度是2.5米每秒，当走到C处都转身向回走，并且两人相遇后也转身向回走．
（1）当两人走了10秒后，两人相距多少米（不含C的弧）？
（2）两人第一次相遇经过多少时间？
（3）两人第二次相遇经过多少时间？
51．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
52．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。
53．张宁和晓星分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小张的速度是82米/分，小李的速度是78米/分，经过4分钟两人第一次相遇，这座桥长多少米？两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米？
54．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？
55．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？
56．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？
57．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离．
58．两辆汽车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇在距A地180千米的地方，相遇后继续前进，各自到达B，A两地后按原路返回，第二次相遇在距A地260千米的地方，A，B两地相距多少千米？
59．甲、乙两人在一条长90m的直路上来回跑步，甲每秒跑3m，乙每秒跑2m。如果他们同时分别从直路的两端出发，跑了12分钟后，他们共相遇多少次？（两人同时到达某一点，就看作是相遇）
多次相遇问题
参考答案与试题解析
1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了32千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个全程甲车就行了32千米，所以第二次相遇时甲车共行了32×3＝96（千米），又因为此时距A地64千米，那么两个全程的距离就是32×3+64＝160千米，由此再除以2可以求得A、B两地间的距离．
【解答】解：（32×3+64）÷2
＝160÷2
＝80（千米）
答：A、B两地间的距离是80千米．
【点评】完成本题的关键是明白两车第二次相遇时共行了3个全程．
2．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？
【答案】800米。
【分析】狗一直没有停，所以狗跑的时间就是两人的相遇时间；先把甲乙两人速度相加，求出两人的速度和，再用两人走的路程除以速度和，求出相遇时间，然后再用狗的速度乘相遇时间，就是直到两人相遇，这条狗一共跑了多少米。
【解答】解：1000÷（100+150）×200
＝1000÷250×200
＝4×200
＝800（米）
答：这条狗一共跑了800米。
【点评】解决本题关键是明确狗跑的时间就是两人的相遇时间，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出相遇时间，然后利用路程＝速度×时间求出狗跑的路程。
3．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。
（1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？
（2）这座桥长多少米？
（3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　第二次相遇时，共行三个全程。　
【答案】（1）第二次相遇时，两人一共行了6480米。
（2）这座桥长2160米。
（3）第二次相遇时，共行三个全程。
【分析】（1）第二次相遇所走的路程，就是两人的路程和，用两人速度的和乘时间即可。
（2）第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，用第（1）题中的得数，再除以3即可求出这座桥有多少米长。
（3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程，据此解答即可。
【解答】解：（1）（120+60）×36
＝180×36
＝6480（米）
答：第二次相遇时，两人一共行了6480米。
（2）6480÷3＝2160（米）
答：这座桥长2160米。
（3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程。
故答案为：第二次相遇时，共行三个全程。
【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。
4．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？
【答案】400米。
【分析】乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是，计算出甲乙的速度比是3：2；相遇问题，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的1处。现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，也就是在距离甲出发点1处；现在乙提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们相遇在距离甲出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇是190米，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可解答本题。
【解答】解：乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是。
甲的速度：乙的速度＝1：3：2
根据相同时间内的路程比等于速度比可知，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，即距离甲出发点占全程的1处。
当甲跑完第1圈后，提速，那么甲的速度变成了1
此时甲的速度：乙的速度：2：1
所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，即在距离甲出发点1处；
现在乙提速，变成了（1）
此时甲的速度：乙的速度：5：3，现在他们相遇在距离甲出发点处。
即距离第一次相遇处
190400（米）
答：这条椭圆形跑道长400米。
【点评】此题关键是根据条件理顺题里数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决。
5．A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，第一次相遇于C点，距A点75米，此时甲行75米，甲乙共行圆的半个周长．即每行半周甲就行75米，第二次相遇于D点，此时两人共行1周半即3个半周，则甲一共走了75×3＝225米，D点距B点55米，即此时甲行的路程比半周多55米，那么圆形场地的半周长为225﹣55＝170米，周长为170×2＝340米．
【解答】解：（75×3﹣55）×2
＝170×2
＝340（米）
答：这个圆的周长为340米．
【点评】完成本题的关键是根据两次相遇点C、D距A、B两点的距离求出两次相遇时甲行的路程是多少．
6．在300米环形跑道甲乙并头起跑，甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.4米，按平均速度计算，两人第二次相遇在起跑线前面多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4＝0.6米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第二次相遇时，甲正好比乙多跑2周即300×2＝600米，所以两人相遇所用时间是600÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了600÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第二次相遇点在起跑线前多少米．
【解答】解：300×2÷（5﹣4.4）×4.4
＝600÷0.6×4.4
＝4400（米）
4400÷300＝14（圈）…200（米）
答：两人第二次相遇在起跑线前面200米．
【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第二次相遇所需时间是完成本题的关键．
7．三个人自A地到B地，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。
他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，然后两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。结果三个人同时到达B地。那么，C距A处多少千米？D距A处多少千米？
【答案】C距A处24千米，D距A处12千米。
【分析】当第三个人到达D点时，第一个骑自行车的所行路程是此时第三个人路程的（1+2＝3）倍，则AC＝2×AD。又知第二个人在C处下车后继续步行前往B地，结果三个人同时到达B地。则DC＝CB。据此解答。
【解答】解：AC＝2×AD
CD＝CB
（3+1）÷2＝2
AD：36÷（2+1）＝12（千米）
AC：12×2＝24（千米）
答：C距A处24米，D距A处12千米。
【点评】明确相同时间内路程比等于速度比是解决本题的关键。
8．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问：
（1）第三次相遇距离B点多远？
（2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？
【答案】（1）6米远；（2）29次。
【分析】（1）第一次相遇时它们共同走了104米，第三次相遇时它们走了208米，也可以看作从第二次开始走208米相遇2次。（2）已知乐乐打扫到离B点60米处，它用了300秒，它们共相遇的次数可求。
【解答】解：（1）104÷（10.2+0.2）＝104÷10.4＝10（秒）
104×2÷（10.2+0.2）＝208÷10.4＝20（秒）
0.2×（10+20）＝0.2×30＝6（米）
答：第三次相遇距离B点6米远。
（2）60÷0.2＝300（秒）
300﹣10＝290（秒）
290÷20＝14......10（秒）
0.2×290＝58（米）
58×2＝116（米）
10.2×10＝102（米）
102＜116
14×2+1＝28+1＝29（次）
答：若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了29次。
【点评】理解相遇问题中的数量关系是解决本题的关键。
9．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？
【答案】见试题解答内容
【分析】把同向行驶的相邻两辆车之间的距离看作单位“1”，两辆电车每分钟一共行，则每辆电车每分钟行2；如果电车行驶全程需要56分钟，则甲乙两地之间的距离为56＝7；小张和电车每分钟一共行全程的，小王和电车每分钟一共行全程的，那么两人的速度和是（），再用总路程7除以速度和，即可求出两人相遇时已经行了：7÷（）＝60（分钟）；据此解答即可．
【解答】解：2
56＝7
7÷（）
＝7
＝60（分钟）
答：他们已经出发了60分钟．
【点评】本题考查了比较复杂的行程问题，关键是求出车和车、人和车、人和人的速度和．
10．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米，那么每行一个全程（即第一次相遇）需要50÷（26+24）＝1（小时），然后每相遇一次共行2个全程，所以第3次迎面相遇的时间是1+1×（2×2）＝5（小时），甲车行驶的总路程是26×5＝130（千米）；同理第4次迎面相遇的时间是1+1×（2×3）＝7（小时），甲车行驶的总路程是26×7＝182（千米）；两者的总路程是130+182＝312（千米），然后除以50千米，那么余数就是第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米．
【解答】解：50÷（26+24）＝1（小时）
1+1×（2×2）＝5（小时）
26×5＝130（千米）
1+1×（2×3）＝7（小时）
26×7＝182（千米）
130+182＝312（千米）
312÷50＝6（个）…12（千米）
答：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距12千米．
【点评】在多次相遇问题中，相遇次数与共行全程的个数的关系为：第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程，如相遇次数为N，共行全程的个数＝1+（N﹣1）×2．
11．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？
【答案】140；40。
【分析】画出线段图，设东西两港相距x千米，第一次相遇，两船共走了一个x千米，第二次相遇共走了3x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两次相遇两船走的路程比相同列出方程求解即可，再根据容斥原理，求出两次相遇地点的距离。
【解答】解：设东西两港相距x千米，线段图如下：
根据两次相遇路程比相同，得到方程：
80（x﹣20）＝（x+20）（x﹣80）
80x﹣1600＝x2﹣60x﹣1600
x2﹣140x＝0
x（x﹣140）＝0
x＝140或0（舍去）
两次相遇点间的距离为：
80+100﹣140
＝180﹣140
＝40（千米）
答：东西两港相距140千米；两次的相遇地点相距40千米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据相遇问题中，速度一定时，路程比不变列出方程是本题解题的关键。
12．甲乙两车分别从AB两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处再次相遇．问AB两地相距多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】从出发到两车第二次相遇，甲、乙两车一共行了三个全程，第一次相遇时乙车行了64千米，那么两车行三个全程时，乙车就行了3个64千米；
可以求出乙车行的路程＝一个全程+48千米，所以一个全程＝乙车行驶的路程﹣48千米，据此求出AB两地之间的距离．
【解答】解：64×3﹣48
＝192﹣48
＝144 （千米）
答：两地相距144千米．
【点评】本题考查在一条线上多次相遇的行程问题．
13．甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的，现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进，甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又相遇一次，如果两次相遇点相距36千米，A、B两地间的距离是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，甲乙速度比为8：5，第一次相遇，甲乙共行1个全程，甲行全程的，第二次相遇，甲乙共行3个全程，甲行全程的3，第一次相遇点与A的距离为全程的，第二次相遇点与A的距离为全程的2，两次相遇点之间的距离为全程的，所以全程为：3678千米．
【解答】解：第一次相遇，甲行全程的，即相遇点与A的距离为全程的，
二次相遇，甲行全程的3，
则全程为：
36÷[（2）]
＝36÷[]，
＝36，
＝78（千米）．
答：AB两地间的距离为78千米．
【点评】根据两人的速度比求出每次相遇时甲行的占全程的分率，进而求出两次相遇地点的距离占全程的分率是完成本题的关键．
14．甲和乙分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，甲的速度比原来增加了，乙比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处55千米，A，B两地相距多少千米？
【答案】120.3125千米。
【分析】以甲乙的路程为全程，开始的时候，甲和乙的速度比为：1＝2：3，第一次相遇，两人共行了1个全程，甲行了全程的：，即第一次相遇点与A的距离为全程的，乙到达A地时，甲行了全程的，此时，甲是乙的速度的：（1），甲达到B地，还要行全程的1，与此同时，乙又行了全程的：，此时甲的速度是乙的：（1）÷（1），两人相遇，还要共行全程的：1，到相遇时乙还要行全程的：，所以第二次相遇点与A的距离，为全程的：，则两次相遇点之间的距离，为全程的：，AB相距：55120.3125（千米）。
【解答】解：原来甲和乙的速度比为：1＝2：3；
第一次相遇，甲行了全程的：；
乙到达A地时，甲行了全程的，此时，甲是乙的速度的：（1）；
甲达到B地，还要行全程的1，与此同时，乙又行了全程的：；
此时甲的速度是乙的：（1）÷（1），两人相遇，还要共行全程的：1；
到相遇时乙还要行全程的：，所以第二次相遇点与A的距离，为全程的：，则两次相遇点之间的距离，为全程的：；
AB相距：55120.3125（千米）
答：AB两地相距120.3125千米。
【点评】在此类题目中行驶相同的时间，速度比等于所行路程比。
15．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】两人第一次相遇，共行一个全程，用时为40分钟，第二次相遇，共行三个全程，所用时间为：40×3＝120分钟＝2小时相遇时，小张行了两个全程减去2千米，其速度为：[6×（40×3÷60）﹣2]÷2＝5（千米/小时），小王行了一个全程多2千米速度为：（6+2）÷2＝4（千米/小时）．
【解答】解：小张的速度为：
[6×（40×3÷60）﹣2]÷2
＝[6×2﹣2]÷2，
＝5（千米/小时）；
小王的速度为：
（6+2）÷2
＝8÷2，
＝4（千米/小时）．
故答案为：5，4．
【点评】在相遇问题中，一般第二次相遇时两人共行的路程为全程的三倍．
16．甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为400米，求丙的速度。
【答案】20米/分。
【分析】根据题意，甲乙第一次相遇后到甲乙第二次相遇，共用时124（分），因为每相遇一次，两人就共同走了湖的一周，根据“速度和＝路程÷时间”即可求出甲、乙的速度和；再根据乙的速度是甲的，即可求出甲的速度；又甲和乙从出发到第一次相遇也共同走了湖的一周，所以也应用时4分，所以甲丙相遇共用时4+15（分），再次根据“速度和＝路程÷时间”即可求出甲、丙的速度和；用甲、丙的速度和减去甲的速度即为丙的速度。
【解答】解：甲、乙速度和：400÷（12）＝100（米/分）
甲的速度：100÷（9+11）×11＝55（米/分）
甲、丙速度和：400÷（121）＝75（米/分）
丙的速度：75﹣55＝20（米/分）
答：丙的速度是20米/分。
【点评】本题考查了行程问题的应用，熟练掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解题的关键。
17．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干，小刚和她的小狗分别以均匀的速度同时从外婆家的起点出发，当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．那么说明小狗的速度是小刚速度的3倍，而时间一定时，路程与速度成正比，所以小狗行驶的总路程是小刚行驶的总路程的13倍，所以小刚到达终点行驶300米，小狗则是行驶了300×3＝900米，据此即可解答问题．
【解答】解：300×（1）
＝300×3
＝900（米）
答：小狗一共跑了900米．
【点评】解答此题关键是明确小狗跑的路程是小刚行驶的路程的3倍．
18．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】两人第一次在河中相遇时距西岸80米，即每行一个河宽，那么小刚就行80米，第二次相遇时共行了3个河宽，这时小刚就行80×3＝240米，又因为第二次相遇时距东岸60米，那么河宽是240﹣60＝180米，当他俩在河中第三次相遇时，共行了5个河宽，那么小刚就行80×5＝400米，400÷180＝2（个）…40（米），即小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米，距东岸180﹣40＝140米；据此解答即可．
【解答】解：80×3＝240（米）
240﹣60＝180（米）
80×5＝400（米）
400÷180＝2（个）…40（米）
小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米，
180﹣40＝140（米）
答：当他俩在河中第三次相遇时，距东岸140米，距西岸40米．
【点评】本题考查了比较复杂的相遇问题，关键是明确两人第一次在河中相遇时共行一个河宽，以后每相遇一次就行2个河宽．
19．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？
【答案】600米。
【分析】淘气从东地出发与笑笑从西地出发后第一次相遇距西地360米，说明笑笑走了360米，两人所走的总路程即是东西两地的总路程；淘气第一次相遇后到两人第二次相遇时又走了（360+120）米，两人在第一次相遇后到第二次相遇时共走了东、西两地距离的2倍，因为两人速度不变，所以淘气在第一次相遇后到第二次相遇时走的路程是他第一次相遇前走的路程的2倍，据此算出第一次相遇前淘气走的路程，再用第一次相遇前淘气走的路程加上第一次相遇前笑笑走的路程，即为东、西两地的总路程。
【解答】解：（360+120）÷2+360
＝480÷2+360
＝240+360
＝600（米）
答：东、西两地相距600米。
【点评】解答此题的关键在于理解淘气在第一次相遇后到第二次相遇时所行路程是第一次相遇前所行路程的2倍。
20．有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7：9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】甲乙的速度比是7：9，那么相遇时甲乙行驶的路程比也是7：9；所以当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离；此时甲车行了A、B两地距离的3；那么80千米就相当于A、B两地距离的（31），然后根据分数除法的意义即可求出A、B两地的距离．
【解答】解：80÷（31）
＝80
＝256（千米）
答：A、B两地的距离是256千米．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离．
21．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）
【答案】20。
【分析】甲跑一个全程需30÷1＝30（秒）
乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒）
如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了20（次）。
【解答】解：甲跑一个全程需30÷1＝30（秒）
乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒）
如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒。
在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟。
正好是四个周期，也就相遇了20（次）。
答：他们跑了10分钟后，共相遇20次．
【点评】在两人同时从两地相向而行并不断往返的多次相遇问题中，计算出一个周期的用时，以及每个周期内相遇的次数，是本题解题的关键。
22．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米，第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米，又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，所以东西两站相距：（30+40）÷（2），再计算即可．
【解答】解：第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米，
第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米，
又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，
所以东西两站相距：
（30+40）÷（2）
＝70
＝140（千米）
答：东西两站相距140千米．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是得出又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，或者说是行了东西两站距离的多30千米．
23．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？
【答案】2千米。
【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间＝相遇路程。
【解答】解：1千米＝1000米
2个AC的距离+1000＝2个BC的距离
BC的距离﹣AC的距离＝500，即第一次相遇乙比甲多走了500米。
第一次相遇用时：
500÷（100﹣60）
＝500÷40
＝12.5（分钟）
（100+60）×12.5
＝160×12.5
＝2000（米）
2000米＝2千米
答：AB两地相距2千米。
【点评】解此题的关键是“根据两次相遇时，甲或乙的行程关系，得到第一次相遇时乙比甲多走了多少米”，之后即可轻松作答。
24．育才中学有80名学生租了一辆40座的车去海边观日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？
【答案】8千米。
【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比；设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边，则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米；然后求出汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程，再根据汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程是x千米的9倍，列出方程，求解即可．
【解答】解：设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边，
则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米，
从汽车返回到和步行的人相遇，汽车行驶的路程是：
（48x）38.4﹣0.8x（千米），
所以2（38.4﹣0.8x）+x＝9x
76.8﹣1.6x+x＝9x
76.8﹣0.6x＝9x
76.8﹣0.6x+0.6x＝9x+0.6x
9.6x＝76.8
9.6x÷9.6＝76.8÷9.6
x＝8
答：汽车应在距离海边8千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边。
【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；注意时间一定时，路程和速度成正比；
（2）此题还考查了列方程解应用题的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲、乙的速度比是5：3。两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距多少千米？
【答案】100千米。
【分析】依据题意可知，甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，计算两人分别走了几份，，由此计算第一次相遇点与第二次相遇点差多少份，由此计算一份是多少千米，然后计算全长多少千米。
【解答】解：如图：
甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，甲：3×8÷（5+3）×5
＝24÷8×5
＝15（份）
乙：3×8÷（5+3）×3
＝24÷8×3
＝9（份）
5﹣1＝4（份），两次相遇点相差4份，距离是50千米。
50×2＝100（千米）
答：A、B两地相距100千米。
【点评】本题考查的是多次相遇问题的应用。
26．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？
【答案】480米。
【分析】从出发到第一次相遇甲乙两人共跑了半圈，其中乙跑了100米；从出发到第二次相遇甲乙两人共跑了三个半圈，其中甲跑的路程比一圈少60米，乙跑的路程比半圈多60米。因为他们以匀速跑步，所以乙总共跑了三个100米，从而半圈的长度为：300﹣60＝240米，跑道长就为：240×2＝480米；据此解答。
【解答】解：（100×3﹣60）×2
＝240×2
＝480（米）
答：这个圆形场地的周长是480米。
【点评】解答此题的关键是求出乙共跑了多少米，考查了学生对问题的分析判定能力。
27．A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？
【答案】33。
【分析】这是一个多次相遇问题，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，第二次相遇时一起走了3个全程，也就是40乘3得120千米；下午1时整到下午3时整他们第二次相遇，所以相遇时间是2小时；已知相遇路程，相遇时间后就可以求出速度和，然后再根据甲比乙多行了12千米，求出甲乙的速度差，从而求出甲每小时行多少千米。
【解答】解：甲乙速度和：40×3÷（3﹣1）
＝120÷2
＝60（千米/小时）
甲乙速度差：12÷（3﹣1）
＝12÷2
＝6（千米/小时）
甲：（60+6）÷2
＝66÷2
＝33（千米/小时）
答：甲每小时行33千米。
【点评】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握两车同时出发相向而行，第二次相遇时两车共同行使了3个路程。
28．环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次追上乙，若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲乙的速度。
【答案】120米/分，80米/分。
【分析】由题意可知，甲过10分钟第一次追上乙时两人的路程差是400米，所用的时间为10分钟，所以甲、乙两人的速度差＝路程差÷时间；若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇，所以甲、乙两人的速度和＝路程÷相遇时间，甲的速度＝（速度差+速度和）÷2，乙的速度＝速度和﹣甲的速度。
【解答】解：速速差：400÷10＝40（米/分）
速度和：400÷2＝200（米/分）
甲的速度：（200+40）÷2
＝240÷2
＝120（米/分）
200﹣120＝80（米/分）
答：甲的速度是120米/分，乙的速度是80米/分。
【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，本题的关键是掌握追击和相遇的相关公式。
29．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？
【答案】2千米。
【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比，据此求出开始时甲乙两车的速度之比是多少；然后根据每次相遇后两车速度各加10%，可得甲乙两车的速度之比不变，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变，因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米，求出第三次相遇时甲车行驶的路程是4×3＝12（千米），再用它减去环形公路的长度，求出第三次相遇时甲车离出发点多少千米即可。
【解答】解：甲乙两车的速度之比是：
4：（10﹣4）＝4：6＝2：3；
因为每次相遇后速度都增加，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变；
因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米；
所以第三次相遇时甲车离出发点：
4×3﹣10＝2（千米）
答：第三次相遇时甲车离出发点2千米。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：时间一定时，路程和速度成正比，并能判断出每次相遇时甲车行的路程都是4千米。
30．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设甲与乙x分钟相遇，有根据东西两村的距离不变，列方程为：（70+60）x＝（70+50）（x+6），解得：x＝72．加上6即可。
【解答】解：设甲与乙x分钟相遇，
（70+60）x＝（70+50）（x+6）
130x＝120x+120×6
10x＝720
x＝72
72+6＝78（分钟）
答：甲、丙从出发到相遇用了78分钟．
【点评】本题主要考查相遇问题的实际应用，根据甲乙的路程差求出甲丙的相遇时间是解答本题的关键．
31．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？
【答案】1.35小时，2.7小时。
【分析】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。
【解答】解：270÷（80+120）
＝270÷200
＝1.35（小时）
270×3÷（80+120）
＝810÷200
＝4.05（小时）
4.05﹣1.35＝2.7（小时）
答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。
【点评】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。
32．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点2000米，求A、B两地的距离.
【答案】米。
【分析】乙的速度是甲的，即甲速：乙速＝3：2，所以第一次相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，第二次相遇的地点距第一次相遇甲共走了3倍全程的3，乙走了3倍全程3，因，，即相差全程的；A、B两地的距离＝2000（米）。
【解答】解：2+3＝5，
2000÷（33）
＝2000
（米）
答：A、B两地的距离是米。
【点评】此题较难，解答时应认真分析，结合题意，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。
33．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？
【答案】两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。
【分析】两人第一次相遇时距A、B的中点100米，说明两人相遇的路程差是100×2＝200米，根据和差公式可以求出速度慢的人第一次相遇时行了（1000﹣200）÷2＝400米，当两个人第二次相遇时速度慢的人共行了400×3＝1200米，两人第二次相遇的地点距A、B的中点是1000÷2﹣（1200﹣1000）；据此解答即可。
【解答】解：（1000﹣100×2）÷2
＝800÷2
＝400（米）
400×3＝1200（米）
1000÷2﹣（1200﹣1000）
＝500﹣200
＝300（米）
答：两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。
【点评】解答本题关键是理解两人第二次相遇共行了3个A、B两地之间的路程。
34．甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？
【答案】170。
【分析】设A、B两地相距x米，则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，所以，两次相遇两人所有的路程比相同，据此列出方程。
【解答】解：设A、B两地相距x米，
则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，
从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，
根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，
可得方程：
（x﹣60）：60＝（2x﹣10）：（x+10）
（x﹣60）（x+10）＝60（2x﹣10）
x2﹣50x﹣600＝120x﹣600
x2﹣170x＝0
x（x﹣170）＝0
x＝170
答：A、B两地相距170米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，根据相遇问题中，路程比等于速度比，列出方程是本题解题的关键。
35．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？
【答案】2.5小时。
【分析】第一次相遇，两车走了一个全程，第二次相遇两车走了（1+2）个全程，其中两车分别以原速度各走一个全程，据此画出线段图，设A、B两地的距离为x千米，根据相遇问题中，相遇时间×速度和＝总路程分别计算两次相遇的时间，再根据两次相遇地点距离列出方程求解，再分别计算两车各走两个全程的时间，时间差即为所求。
【解答】解：线段图如下：
设A、B两地相距x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比可知，
甲走了xx（千米）
因为乙的速度比甲快，所以当甲到达B时，乙已经返回了一段路程，
变速后，甲的速度为：32×（1）＝40（千米/时）
乙的速度为：48×（1）＝40（千米/时）
第二次相遇的时间为：
x÷32+[x﹣（x÷32﹣x÷48）×40]÷（40+40）
[x40]÷80
[xx]÷80
xx÷80
x（小时）
第二次相遇点据A地的距离：
（x）×40
x×40
x（千米）
可得方程：
xx＝74
解得：x＝240
两车返回的时间差为：
（240÷32+240÷40）﹣（240÷48+240÷40）
＝（7.5+6）﹣（5+6）
＝7.5+6﹣5﹣6
＝2.5（小时）
答：乙车比甲车早2.5小时返回出发点。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算出第二次的相遇时间是本题解题的关键。
36．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？
【答案】176米。
【分析】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。
【解答】解：设乙的速度为x米/分，
0.1米/秒＝6米/分
所以甲的速度为（x+6）米/分
8×（x+6+x）＝400×5
解得：x＝122
乙的总路程为：
122×8＝976（米）
976÷400＝2（圈）……176（米）
因为176＜400÷2，
所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。
答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。
37．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。
【答案】A、B两地的距离是200千米。
【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。
【解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。
第一次相遇时，甲行了全程的；
第三次相遇时，甲行了：5＝1，即走了1个全程，还多；
第四次相遇时，甲行了：7＝2，即走了2个全程，还多；
第三次、第四次相遇地点相差：
1
1
全程：100200（千米）
答：A、B两地的距离是200千米。
【点评】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。
38．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？
【答案】90。
【分析】第一次迎面相遇，两车共走了一个全程，第二次迎面相遇，两车共走了（1+2）个全程，第三次迎面相遇，两车共走了（1+2+2）个全程，设A、B两地相距x千米，分别计算第二次和第三次迎面相遇所用时间，再求出相遇地点距离A地的距离，作差即为相遇点的间距，据此列出方程求解。
【解答】解：设A、B两地相距x千米，
第二次迎面相遇所用时间为：
（1+2）x÷（45+36）
＝3x÷81
（小时）
第二次相遇地点距A地：
36﹣x
x﹣x
x（千米）
第三次迎面相遇所用时间为：
（1+2+2）x÷（45+36）
＝5x÷81
x（小时）
第三次相遇地点距A地：
x×45﹣2x
x﹣2x
x（千米）
可得方程：
xx＝40
解得：x＝90
答：A、B两地相距90千米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算每次相遇的总路程是本题解题的关键。
39．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒．
（1）经过多少时间，两人第一次相遇？
（2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？
（3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）第一次相遇，两人共走了两个道路总长，根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入数值求解即可；
（2）（3）分别计算两人跑一个道路总长所用的时间，画出柳卡图，做出判断即可。
【解答】解：（1）120×2÷（5+3）
＝240÷8
＝30（秒）
答：经过30秒，两人第一次相遇。
（2）（3）甲跑一次全程用时：
120÷5＝24（秒）
24秒分钟
乙跑一次全程用时：
120÷3＝40（秒）
40秒分钟
柳卡图如下：
由图可知，2分钟时两人第一次在端点相遇，
甲走了5个全程，120×5＝600（米）
每4分钟为一个周期，每个周期内，迎面相遇6次，
15÷4＝3……3（分钟）
3分钟时，可以确定发生了4次相遇，第五次无法直接判断，
可以确定的相遇次数为：
3×6+4
＝18+4
＝22（次）
第五次相遇，两人走了12个全程，
12×120÷（5+3）
＝1440÷8
＝180（秒）
3分钟＝180秒
所以，第五次相遇刚好发生，
22+1＝23（次）
答：两人第一次在端点相遇时，甲跑了600米；若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇23次。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，运用柳卡图来直观反映问题是本题解题的关键。
40．一根棍子的左端有8只间隔相等的蚂蚁，以速度v向右爬行；棍子右端则有6只蚂蚁，也以速度v向左爬行，两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬；如果爬出棍子两头，就会掉下去，当所有蚂蚁掉下棍子后，它们之间一共相遇了几次？
【答案】48次。
【分析】试想一下，蚂蚁甲和蚂蚁乙迎面相遇后，立即同时掉头往回爬，因为他们速度一样，可以视作蚂蚁甲变成了蚂蚁乙，蚂蚁乙变成了蚂蚁甲，互相“穿越”后继续朝原定方向爬行；一只蚂蚁掉下棍子的过程中，会与迎面而来的每只蚂蚁都“穿越”一次，显然总的“穿越”次数（即实际上的相遇次数）为8乘6次。
【解答】解：8×6＝48（次）
答：它们之间一共相遇了48次。
【点评】解决本题关键是把“两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬”，将它理解成：如果两个蚂蚁相向而行撞在了一起，它们会同时穿过对方爬行。
41．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后20分钟又与丙相遇，则甲乙相遇时，乙丙相距（60+80）×20＝2800米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲乙相遇时，他们行驶的时间为：2800÷（70﹣60）＝280分钟，然后乘甲乙的速度和，可得AB两地相距（80+70）×280＝42000（米）．
【解答】解：（60+80）×20÷（70﹣60）×（80+70）
＝2800÷10×150
＝42000（米）
＝42（千米）
答：A、B两城的距离42千米．
【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲乙相遇时乙丙的距离差是完成本题的关键．
42．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，第一次相遇距A地40千米，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次相遇距A地20千米，求A、B两地路程．
【答案】见试题解答内容
【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了40千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个全程甲车就行了40千米，所以第二次相遇时甲车共行了40×3＝120（千米），又因为此时距A地20千米，由此可以求得A、B两地间距离的2倍是120+20＝140千米，然后除以2即可．
【解答】解：（40×3+20）÷2
＝140÷2
＝70（千米）
答：A、B两地间的距离是70千米．
【点评】完成本题的关键是明白两车第二次相遇时共行了3个全程．
43．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？
【答案】11250米。
【分析】第一次相遇是相遇问题，小抄转身往回跑；第二次相遇为追击问题，追击距离为跑道长度，小汐转身往回跑；第三次相遇再次变为相遇问题……所以，30次相遇中一半为相遇问题，一半为追及问题，相遇路程和追及路程均为一圈跑道的长度，据此计算出总时间，再乘小潮的速度，即为他的总路程。
【解答】解：相遇时间：
400÷（3+5）
＝400÷8
＝50（秒）
追及时间：
400÷（5﹣3）
＝400÷2
＝200（秒）
总时间：
50×15+200×15
＝750+3000
＝3750（秒）
总路程：
3750×3＝11250（米）
答：在第30次相遇时小潮一共跑了11250米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，总结30次相遇中有多少次相遇是追及问题和相遇问题，从而求出总时间，是本题解题的关键。
44．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？
【答案】20次。
【分析】分别求出甲、乙两人跑一个全程所需要的时间，然后画出柳卡图，根据柳卡图总结规律从而找出10分钟内相遇多少次。
【解答】解：甲跑全程的时间为：
30÷1＝30（秒）
乙跑全程的时间为：
30÷0.6＝50（秒）
柳卡图如下：
根据柳卡图可知，每300秒为一个周期，每个周期相遇10次，
10分钟＝600秒
600÷300＝2
2×10＝20（次）
答：共相遇20次。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图求解是本题解题的关键。
45．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米）
【答案】第三次相遇点距A地10千米。
【分析】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。
【解答】解：线段图如下：
设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米，
第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程，
根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比，
x+30＝50×2
x＝70
所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米），
从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程，
所以，甲车又走了100千米，
此时相遇点到A的距离为：
100﹣（50+70﹣30）
＝100﹣90
＝10（千米）
答：第三次相遇点距A地10千米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。
46．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇．各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇．A、B两地相距多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地60千米处相遇，则此时甲车行了60千米，此时两车共行了一个全程，即两车每共行一个全程，甲车就行60千米．当它们分别到达B地、A地后，立即返回，又在距A地40千米处相遇，即此时甲车距A地还有40千米就行了两个全程，此时两车共行了3个全程，则甲车行了60×3千米，所以全程是（60×3+40）÷2千米．
【解答】解：（60×3+40）÷2
＝（180+40）÷2
＝220÷2
＝110（千米）
答：A、B两地相距110千米．
【点评】在此类题目中，两车第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程．
47．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？
【答案】6千米。
【分析】第一次相遇，两人共走了一个全程，再一次相遇，两人又走了两个全程，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出第一、二次相遇的时间，再求出两次相遇点距离A地的距离，作差即为两次相遇点的间距。
【解答】解：第一次相遇时间：
21÷（4+3）
＝21÷7
＝3（小时）
第一次相遇点距离A地的距离：
3×4＝12（千米）
第二次相遇时间：
21×（2+1）÷（4+3）
＝21×3÷7
＝9（小时）
第二次相遇点距离A地距离：
9×3﹣21
＝27﹣21
＝6（千米）
两次相遇点相距：
12﹣6＝6（千米）
答：两次相遇点相距6千米。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确地算出每次相遇的总路程是本题解题的关键。
48．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？
【答案】264千米。
【分析】（红色表示乙走的，黑色表示甲走的）。
如图所示，两人共走了3个全程，将全程分为11份，因为甲车的速度：乙车的速度＝6：5，所以同时间条件下，甲乙的路程比是6：5，3个全程就是33份，33÷11＝3（份）乙走了3×5＝15（份），乙折返回来走了15﹣11＝4（份），乙折返回来走多远则距厦门多远即15﹣11＝4（份），即算出一份的距离为：96÷4＝24（千米），据此解答。
【解答】解：6+5＝11（份）
11×3＝33（份）
33÷11＝3（份）
3×5＝15（份）
15﹣11＝4（份）
96÷4＝24（千米）
24×11＝264（千米）
答：福州到厦门264多少千米。
【点评】明确两次相遇，两车共行走了3个全程，这是解决这道题目的关键。
49．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】
图中红色点代表A车，蓝色点代表B车．
A车到乙地时用时时，B车到甲地用时．A车到乙地时B车已经从甲地返回，行驶到N点，速度也变为50km/h．MN之间的距离为（ ）×50 km．A车开始返回速度变为60km/h．行驶30千米到Q点时停车．PQ长度为30km，用时时，这段时间B车从N点行驶至R点．NR的长度为：50＝25（千米）造成相遇晚1小时1分的原因是RQ这段路程本来是AB两车同时行驶，现在变为B车单独行驶．
RQ的长度为：x﹣（ ）×50﹣25﹣30＝x55 x﹣55
【解答】解：设两地的距离为x 千米．
[x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷50﹣[x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷（50+60）＝1
（x55）÷50﹣（x55）÷110＝1
（ x﹣55）÷50﹣（ x﹣55）÷110＝1
x＝198
答：甲、乙两地之间的距离是198千米．
【点评】用画图法可以帮助理解题意，要明白是哪一段路程导致的相遇晚点．
50．ABC为90米环形的三等分点，蓝精灵、红精灵分别从AB两点出发向C走，蓝精灵的速度是5米每秒，红精灵的速度是2.5米每秒，当走到C处都转身向回走，并且两人相遇后也转身向回走．
（1）当两人走了10秒后，两人相距多少米（不含C的弧）？
（2）两人第一次相遇经过多少时间？
（3）两人第二次相遇经过多少时间？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出两人10秒各走了多少距离，和两人出发时距离C点的距离，得出两人是否从C点折返，然后求出此时两人到C点距离，用总长减去两人各自到C点距离，即为所求；
（2）画出线段图，根据线段图得出第一次相遇时所走的总路程，除以两人的速度和，即为所求；
（3）根据线段图得出第二次相遇时所有的总路程，除以两人的速度和，即为所求．
【解答】解：（1）A到C的距离等于A到B的距离等于B到C的距离，为9030（米）；
10秒后，蓝精灵走了5×10＝50（米），红精灵走了2.5×10＝25（米），
25＜30＜50
所以，蓝精灵从C点折返了，红精灵没有到达C点，
此时，蓝精灵距离C点：50﹣30＝20（米）
红精灵距离C点：30﹣25＝5（米）
两人相距：90﹣5﹣20＝65（米）
答：两人相距65米．
（2）由（1）可知，两人第一次不会在C点相遇，画出线段图，如图：
第一次相遇时，两人一共走了两个总长减去A、B之间的距离：
2×90﹣30＝150（米）
两人的速度和为：5+2.5＝7.5（米每秒）
两人第一次相遇经过的时间：150÷7.5＝20（秒）
答：两人第一次相遇经过20秒．
（3）第二次相遇时，两人一共走了4个总长减去A、B之间的距离：
4×90﹣30＝330（米）
两人第二次相遇经过的时间：330÷7.5＝44（秒）
答：两人第二次相遇经过44秒．
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，是解决相遇问题的关键．
51．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，甲乙两车每次相遇都共行了2个A、B之间的全程，画图如下：（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）；
由图可知：第一次相遇时甲走了AP，乙走了AP+2BP；第二次相遇时，甲走了2BP，即AP＝2BP；这样即可求出AP+2BP与AP的数量关系，那么就可以每次相遇两车行驶的路程比，继而可以求出每次相遇乙车行驶的路程，然后再进一步解答．
【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）
由图可知：第一次相遇，甲走了AP的路程；第二次相遇甲走了PB+BP，则
AP＝2BP，那么AB＝3BP；
第一次相遇：甲车路程：乙车路程＝AP：（AB+BP）＝2BP：4BP＝1：2；
第一次相遇乙车行驶了：540÷（1+2）×2×2＝720（千米）；
每次相遇，乙车都行驶了720千米；
所以，第三次相遇乙车共行了3个720千米，即720×3＝2160（千米）．
答：到两车第三次相遇为止，乙车共走了2160千米．
【点评】此题利用画图便于理清思路和其中的数量关系，然后即可轻松作答．
52．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。
【答案】160千米。
【分析】第一次相遇时，甲、乙合走了一个AB全程，且甲走了90千米．第二次相遇，甲、乙共合走了3个AB全程，则甲就走了（90×3）千米；根据第二次相遇时离A地50千米，也就是甲走的路程再加上50千米就等于AB全程的2倍；然后再除以2就是AB间的距离；列式解答即可。
【解答】解：（90×3+50）÷2
＝320÷2
＝160（千米）
答：A、B两地的距离是160千米。
【点评】解答此题的关键是求第二次相遇时甲汽车共行驶的路程。
53．张宁和晓星分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小张的速度是82米/分，小李的速度是78米/分，经过4分钟两人第一次相遇，这座桥长多少米？两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米？
【答案】640米；1920米。
【分析】（1）两人第一次相遇共同走了一个桥长。根据路程＝速度×时间，分别求出第一次相遇时张宁走的路程和晓星走的路程，然后相加即可求出这座桥长；
（2）两人第一次相遇后，分别走到桥头，这时两人又共同走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又共同走了一个桥长，所以从出发到第二次相遇，两人一共走了3个桥长，用桥长乘3即可求解。
【解答】解：82×4＝328（米）
78×4＝312（米）
328+312＝640（米）
640×3＝1920（米）
答：这座桥长640米，两人从出发到第二次相遇，一共走了1920米。
【点评】本题考查了多次相遇问题的灵活运用。
54．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？
【答案】见试题解答内容
【分析】我们通过“走相同的路程”所用的时间比表示出小张和小王的速度的比，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13，即，小王走一个全程，小张走13个全程；小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追……，所以，共相遇7次，追上6次；据此解答即可．
【解答】解：由题意可知：走相同的路程，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1
所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13
即，小王走一个全程，小张走13个全程．
小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追上……，
所以，共相遇7次，追上6次．
答：小张和小王迎面相遇过7次．
【点评】本题是一道较复杂的行程问题，考查了“用走相同的路程所用的时间的比来表示他们的速度的比”来解决问题．
55．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？
【答案】700千米。
【分析】两车第1次相遇共走了1个全程，第2次相遇共走了3个全程，第3次相遇共走了5个全程，……两车第101次相遇比第100次相遇一共多走了2个全程，轿车比货车多走200千米，据此先计算出两车合走一个全程需要的时间，再根据“速度和×时间＝路程”计算出1个全程的路程。
【解答】解：200÷2÷（80﹣60）
＝100÷20
＝5（小时）
（80+60）×5
＝140×5
＝700（千米）
答：东、西两村相距700千米。
【点评】明确两车第100次相遇到第101次相遇共走的路程是2个全程，理解两车第100次相遇点与第101次相遇点的距离是轿车比货车多走的路程，根据“路程差÷速度差＝时间”、“速度和×时间＝路程”解答。
56．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？
【答案】10千米。
【分析】高高的速度是途途的，即高高和涂涂的速度之比是2：3，在相同的时间内，两人所走的路程也是2：3；第一次相遇时，两人走了一个全程，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份；第二次相遇时，两人又走了两个全程，即走了10份，因为速度之比是2：3，所以高高走了4份，涂涂走了6份；这时涂涂离A点距离：10﹣（6+3）＝1（份），第一次相遇时，涂涂离A点距离3份，此时相差的份数即为两次相遇点相距的距离，即可求出1份是多少，由此再求出全长。
【解答】解：第一次相遇时，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份；
第二次相遇时，两人走了两个全程，即走了10份，所以高高走了4份，涂涂走了6份；
3﹣1＝2（份）
1份：4÷2＝2（千米）
全长：2×5＝10（千米）
答：那么A、B两地相距10千米。
【点评】此题考查多次相遇问题。关键在于找到两次相距的距离是多少份，求出1份，再求全长。
57．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】我们知道像题目中的行程问题，甲乙第一次相遇时，两车共行了一个全程（A、B间的距离），以后每次相遇都要行两个全程．所以，我们根据甲、乙两车的速度比9：7，结合行程问题可以把甲、乙两车第一次相遇时，甲走了9份路程，乙走了7份路程，共行7+9＝16份的路程；第二次相遇时，甲走了9×2＝18份路程，即在返回的路上走了18﹣7＝11份路程，11﹣7＝4份的路程就是两次相遇点之间的距离，至此即可求出全程的千米数．
【解答】解：9×2﹣7＝11（份）
32÷（11﹣7）×（7+9）
＝32÷4×16
＝8×16
＝128（千米）
答：A、B两地之间的距离为128千米．
【点评】此题解答的关键是通过画图得出：两次相遇点之间的距离占全程的多少．
58．两辆汽车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇在距A地180千米的地方，相遇后继续前进，各自到达B，A两地后按原路返回，第二次相遇在距A地260千米的地方，A，B两地相距多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，第一次相遇，他们共行一个全程，甲行180千米；第二次相遇，他们共行3个全程，甲应行180×3千米．这时离A地还有260千米．就是说它再加上260千米就是2个全程．所以，全程长：（180×3+260）÷2＝400（千米）．
【解答】解：（180×3+260）÷2
＝（540+260）÷2
＝800÷2
＝400（千米）
答：A，B两地相距400千米．
【点评】本题主要考查多次相遇问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题．
59．甲、乙两人在一条长90m的直路上来回跑步，甲每秒跑3m，乙每秒跑2m。如果他们同时分别从直路的两端出发，跑了12分钟后，他们共相遇多少次？（两人同时到达某一点，就看作是相遇）
【答案】20次。
【分析】两人第一次相遇时，共走了90m，第二次相遇，共走了3个90m，第三次相遇，共走了5个90m，……照这样计算，两人第一次相遇时，共走了90m，以后每180m相遇一次，据此进一步解答即可。
【解答】解：12分＝720秒
（3+2）×720＝3600（m）
（3600﹣90）÷（90×2）＝19（次）……90（m）
19+1＝20（次）
答：他们共相遇20次。
【点评】分析得出两人每次相遇共走的路程与90m的关系是解答本题的关键。
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