资源简介 (共33张PPT)第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系新课程标准解读 学科核心素养了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义. 直观想象了解直线与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系. 直观想象、逻辑推理了解平面与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系. 直观想象、逻辑推理教材梳理 明要点在平面内,两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中,情况就不同了.例如,如图所示,教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线,机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b,它们既不相交也不平行.?情境导入问题你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗?[提示]可能平行、相交或异面. [提示]知识点一 空间中直线与直线的位置关系1.异面直线(1)定义:不同在___________平面内的两条直线;(2)异面直线的画法.?新知初探任何一个2.空间两条直线的位置关系位置关系 特点相交直线 在同一平面内,_____________公共点平行直线 在同一平面内,_______公共点异面直线 不同在任何一个平面内,_____公共点有且只有一个没有没有想一想分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定.分别在两个平面内的直线,既可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.知识点二 直线与平面、平面与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外直线a与平面α相交 直线a与平面α平行公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点符号表示 a α a∩α=A a∥α图形表示2.两个平面的位置关系位置关系 两平面平行 两平面相交公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)符号表示 α∥β α∩β=l图形表示想一想1.直线a在平面α外,则直线a与平面α没有公共点,正确吗?提示:不正确,当直线a与平面α相交时,有一个公共点,也称为直线a在平面α外.2.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系?提示:直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交.判断(1)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.( )(2)若一条直线不在一个平面内,则这条直线一定和这个平面平行.( )(3)若直线l上有无数个点都在平面α外,则直线l与平面α平行.( )【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)这两条直线平行或异面.(2)这条直线可能和平面相交.(3)直线l与平面α相交或平行.?预习自测题型探究 提技能【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面题型一直线与直线位置关系的判断【解析】 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,且A1D1=BC.∴四边形A1BCD1为平行四边形,∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. [方法总结1][方法总结1]1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线;(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:证明两条直线既不平行又不相交;(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l α,A α,B∈α,B l AB与l是异面直线(如图).1已知A,B,C,D是空间四个点,且直线AB与CD是两条异面直线.证明直线AC与BD也是异面直线.【证明】 证法一:因为直线AB与CD是两条异面直线,所以C 平面ABD,因为A∈平面ABD,A BD,BD 平面ABD,所以AC与BD是异面直线.证法二:假设AC和BD不是异面直线,则AC与BD在同一平面内,所以A,C,B,D四点在同一平面内,所以AB,CD就分别有两个点在这个平面内,则AB,CD在这个平面内,所以AB与CD不是异面直线,这与已知条件产生矛盾,所以AC和BD是异面直线.【答案】 A题型二直线与平面位置关系的判断【解析】 直线a在平面α外包括两种情况,即a∥α或a与α相交,∴a和α不一定平行,故①说法错误;∵直线a∥b,b 平面α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α,故②说法错误;当a α时,α内也存在无数条直线与直线a平行,故③说法错误. [方法总结2][方法总结2]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口,这类问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法;2若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )A.b∥α B.b与α相交C.b αD.以上三种情况都有可能【答案】 D【解析】 若a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥α,或b α,或b与α相交.3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定【答案】 C【解析】 如图所示,a α,b β,a∥b.由图形可知,这两个平面可能相交,也可能平行.题型三平面与平面位置关系的判断[母体探究]变式:(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两平面的位置关系如何?【解析】 如图,a α,b β,a,b异面.由图知这两个平面可能平行,也可能相交. [方法总结3][方法总结3]1.平面与平面位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点;(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.2.常见的平面与平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行;(2)长方体的六个面中,三组相对面平行.3(多选)以下四个命题中正确的有( )A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行,那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交【答案】 CD【解析】 当两个平面相交时,一个平面内有无数条直线平行于它们的交线,即平行另一个平面,所以A、B错误.随堂检测 重反馈1.在空间中,互相平行的两条直线是指( )A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个平面内,但没有公共点的两条直线D.在同一平面内没有公共点的两条直线【答案】 D【解析】 由平行线的定义可知D正确.2.已知直线a∥平面α,直线b 平面α,则( )A.a∥bB.a与b异面C.a与b相交D.a与b无公共点【答案】 D【解析】 因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α无公共点,而直线b 平面α,所以a与b平行或异面,所以两者无公共点.故选D.3.若平面α∥平面β,a α,b β,则直线a和b的位置关系是________.【答案】 平行或异面【解析】 因为平面α∥平面β,则平面α与平面β没有公共点,而a α,b β,于是得直线a和b没有公共点,所以直线a和b是异面直线或是平行直线.4.已知不重合的直线a,b与平面α,满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是________.【答案】 平行、异面或相交【解析】 如图,在长方体中,a∥α,b∥α,a与b相交,b′∥α,a与b′异面,b″∥α,a与b″平行,故a与b的位置关系有:平行、异面或相交.第八章 8.4 8.4.2课时跟踪检测A组·基础巩固1.已知点P,Q,R,S分别是正方体的四条棱的中点,则下列图形中直线PQ与RS是异面直线的是( )【答案】 C【解析】 A,B中PQ与RS平行,D中PQ与RS相交.2.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1与平面DCC1D1的位置关系是( )A.相交 B.平行C.不确定 D.异面【答案】 A【解析】 由棱台的定义可知,平面ABB1A1与平面DCC1D1一定相交.故选A.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面内,与棱AA1平行的平面共有( )A.2个 B.3个C.4个 D.5个【答案】 B【解析】 如图所示,结合图形可知AA1∥平面BCC1B1,AA1∥平面DCC1D1,AA1∥平面BB1D1D.4.三个平面将空间分成n个部分,则n不可能是( )A.5 B.6C.7 D.8【答案】 A【解析】 按照三个平面中平行的个数来分类:(1)三个平面两两平行,如图①,可将空间分成4个部分;(2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图②,可将空间分成6个部分;(3)三个平面中没有平行的平面:(ⅰ)三个平面两两相交且交线互相平行,如图③,可将空间分成7个部分;(ⅱ)三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图④,可将空间分成8个部分;(ⅲ)三个平面两两相交且交线重合,如图⑤,可将空间分成6个部分;综上所述,可以为4,6,7,8个部分,不能为5个部分.5.(多选)下列说法中正确的是( )A.若直线l与平面α不平行,则l与α相交B.直线l在平面α外是指直线l和平面α平行C.如果直线l经过平面α内一点P,又经过平面α外一点Q,那么直线l与平面α相交D.如果直线a∥b,且a与平面α相交于点P,那么直线b必与平面α相交【答案】 CD【解析】 若直线l与平面α不平行,则l与α相交或l α,所以A不正确;若l α,则l∥α或l与α相交,所以B不正确;由平面和直线的位置关系可知,C、D正确.故选CD.6.(多选)下列结论正确的是( )A.直线a∥平面α,直线b α,则a∥bB.若a α,b α,则a,b无公共点C.若a α,则a∥α或a与α相交D.若a∩α=A,则a α【答案】 CD【解析】 a和b可以异面,故A错误;若b α则b和α可以相交,故B错误;若直线在平面外,则直线和平面相交或平行,故C正确;若a∩α=A,说明直线和平面只有一个交点,故D正确.故选CD.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有________条.【答案】 6【解析】 由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________,直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________.【答案】 相交 平行【解析】 在平面AA1D1D中,四边形AA1MD是梯形,且AA1,MD是两腰,则直线MD与直线AA1相交,∴直线MD与平面A1ACC1相交;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵MD 平面AA1D1D,∴MD∥平面BCC1B1.9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.【答案】 6【解析】 如图所示,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.B组·综合运用10.设A,B,C,D是空间中四个不同的点,则下列命题中是真命题的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC异面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD∥BC【答案】 B【解析】 若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面,故A中命题是假命题;若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,故B中命题是真命题;若AB=AC,DB=DC,则AD不一定等于BC,故C中命题是假命题;若AB=AC,DB=DC,则AD与BC异面或相交,故D中命题是假命题.故选B.11.(多选)以下四个命题中正确的是( )A.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面B.若直线a 平面α,直线b 平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β=l,直线a 平面α,直线b 平面β,且a∩b=P,则P∈lD.若n条直线中任意两条共面,则它们共面【答案】 AC【解析】 A显然正确;当α与β相交时,a与b不一定相交,故B不正确;C正确;D的反例:正方体的四条侧棱任意两条都共面,但这四条侧棱却不共面,故选AC.12.已知点A,B是平面α外的两点,则过点A,B与平面α平行的平面有________个.【答案】 0或1【解析】 当A,B两点在平面α两侧时,不存在这样的平面与α平行;当A,B两点在平面α同侧时,若直线AB∥平面α,则存在一个平面与平面α平行,若直线AB与平面α不平行,则不存在与平面α平行的平面.故过点A,B与α平行的平面有0或1个.13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,E是PC的中点,连接AE.求证:AE与PB是异面直线.【证明】 假设AE与PB共面于平面α,连接BE(图略).因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面ABE 平面α,所以P∈平面ABE,这与P 平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.C组·拓展提升14.(多选)以下结论中正确的是( )A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行【答案】 BC【解析】 如图①所示,过点P有无数条直线与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错误,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错误.15.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么NC,DE,AF,BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对?试以其中一对为例进行证明.【解析】 将展开图还原为正方体(如图①).直线NC与直线DE,直线NC与直线AF,直线NC与直线BM,直线DE与直线AF,直线DE与直线BM,直线AF与直线BM,都是异面直线,共有6对.以直线NC与直线AF是异面直线为例证明如下:连接BE交AF于点O(如图②),因为直线NC 平面BCNE,直线AF∩平面BCNE=O,O 直线NC,所以直线NC与直线AF异面.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学必修第二册第8章8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系练习含答案(教师用).doc 人教A版高中数学必修第二册第8章8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件.ppt