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(共34张PPT)
第八章　立体几何初步
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
新课程标准解读 学科核心素养
理解异面直线所成角的概念，会求两异面直线所成的角. 数学抽象、数学运算
了解空间中直线与直线垂直的关系，会证明空间中两直线的垂直. 直观想象、逻辑推理
教材梳理　明要点
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．
问题
直观上，你认为这两种异面有什么区别？
?情境导入
[提示]
[提示]
AB与B1C1两条异面直线所成的角是直角，AB与B1D1所成的角不是直角．
知识点一　异面直线所成的角
1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_____________所成的角α叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围是____________________.
?新知初探
[提醒1]
a′与b′
0°≤α≤90°
[提醒1]
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
知识点二　直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a_____b.
[提醒2]
直角
⊥
[提醒2]
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
1．设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
【答案】　D
?预习自测
【解析】　如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．故选D.
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
【答案】　A
【解析】　过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上．故选A．
3．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.
【答案】　60°
【解析】　因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
题型探究　提技能
1.在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
【解析】　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
题型一
求异面直线所成的角
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
[方法总结1][提醒]
[方法总结1]
求两异面直线所成角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
(2)计算角：求角度，常利用三角形；
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
[提醒]
找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行直线若在外，补上原体在外边．
１
(1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为(　　)
(2)如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，
求：①BE与CG所成的角；
②FO与BD所成的角．
【答案】　(1)B　(2)见解析
(2)①∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
②如图，连接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
题型二
证明直线与直线垂直
【证明】　如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.
[方法总结2]
[方法总结2]
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
2
【证明】　因为点G，E分别是CD，BC的中点，
所以GE∥BD，同理GF∥AC．
所以∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
满足FG2＋GE2＝EF2，所以∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
所以AC⊥BD.
随堂检测　重反馈
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　)
A．BC1
B．A1D
C．AC
D．BC
【答案】　C
【解析】　连接BD(图略)，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C．
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】　B
3．(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　)
A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC
C．MN∥AC D．MN⊥PB
【答案】　ABD
【解析】　由题意可知四棱锥P－ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正确；因HC∩AC＝C，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确．故选ABD.
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为________.
【答案】　60°
【解析】　连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.第八章　8.6　8.6.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
【答案】　B
【解析】　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AB垂直的棱有(　　)
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
【答案】　D
【解析】　在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选D.
3．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　A
【解析】　在正四棱柱中BD∥B1D1，则异面直线BC1与D1B1所成角为∠DBC1或其补角，在△DBC1中，BD＝，BC1＝DC1＝＝2，cos∠DBC1＝＝.所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为.故选A．
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　C
【解析】　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．
5．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．AB与CD所在直线垂直
B．CD与EF所在直线平行
C．AB与MN所在直线成60°角
D．MN与EF所在直线异面
【答案】　CD
【解析】　画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的．故选CD.
6．(多选)如图，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【答案】　ABD
【解析】　因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误．故选ABD.
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．
【答案】　2
【解析】　长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．
8．已知四面体A－BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________.
【答案】　
【解析】　设四面体A－BCD的棱长为a，直线AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF(图略)．由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF或其补角为异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝a，EF＝a，则在△AEF中，cos∠AEF＝＝.
9．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为________.
【答案】　
【解析】　连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB(或其补角)为异面直线AB1与BD所成的角．设AB＝m(m＞0)，则BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝.
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．
(1)求证：MN∥A1C1；
(2)求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
【解析】　(1)证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥A1C1.
(2)连接A1B，由(1)知∠A1C1B或其补角为所求角，
∵A1B＝A1C1＝，BC1＝，
∴由余弦定理得cos∠A1C1B＝＝.
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
B组·综合运用
11．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)
A． B．2
C． D．4
【答案】　A
【解析】　取A′D的中点N，连接PN，MN(图略)．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A．
12．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是(　　)
A．直线EF，AO共面
B．直线EF，BB1是相交直线
C．直线EF与BC1所成的角为30°
D．直线EF与BB1所成角的余弦值为
【答案】　AC
【解析】　连接OF(图略)，∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1(或其补角)是异面直线EF与BC1所成的角．连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1(或其补角)是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中说法错误．故选AC．
13．在四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为________.
【答案】　或
【解析】　如图，取BC中点O，连接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF(或其补角)即为AC与BD所成的角．而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.
【证明】　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
C组·拓展提升
15．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
(1)求三棱锥A1－APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【解析】　(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，
∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴V三棱锥A1－APB＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
证明如下：∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
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