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2025年中考数学考前复习专题10：相交线与平行线综合
一、单选题
1．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线a，b，c交于点O，若，则与的度数之和为（ ）
A． B． C． D．
3．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，两根木条，分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中，．木条至少转动的角度为（ ）
A． B． C． D．
6．古希腊地理学家埃拉托斯特尼曾巧妙估算出地球的周长．如图，A处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．B处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离d约为，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为．根据可以推导出的大小，依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
二、填空题
7．如图，，点为垂足，直线过点，且，则 ．
8．如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为 ．
9．如图将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则= ．
10．城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数是 ．
11．如图，已知点D、E分别是边、上的点，将的沿着折叠，使点C落在点P的位置，连接，若，，，则 °．
12．如图，，点分别在射线、上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ．
13．如图，中，平分，将沿射线平移，当点D与点C重合时．交于点E，已知，则的度数为 ．
14．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为 ．
三、解答题
15．如图，的平分线交的平分线于点M，交于点N，若．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
16．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图（2），延长交于点P．
∵（已知），
∴（________）．
又∵（已知），
∴________（________）．
∴（________）．
∴_________（________）．
又∵_________（已知），
∴（________）．
∴（________）．
17．如图，在三角形中，点D，F分别在边上，连接并延长至E点，连接，已知，．试判断与的位置关系，并说明理由．
18．【问题情境】
如图，，连接，垂足为点．
【问题解决】
（1）如图1，若，则的度数为__________；
【问题拓展】
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，请说明与的数量关系；
（3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数．
19．已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数．
20．将一副三角板和直尺按图1的方式摆放，固定的三角板和直尺，将的三角板沿射线平移，得到，其中．如图2所示．
(1)连接，求的度数：
(2)连接交ED于点G，于点F，连接，过F作，交于点H，连接，如图3，探究当时．线段与的大小关系；
(3)过点A的直线l与直线交于点P，平分，平分，三角板在平移的过程中，是否存在某个时刻直线与直线没有交点，若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由．
《2025年中考数学考前复习专题10：相交线与平行线综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B C C A C
1．B
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键；根据平行线的判定逐项判断即可得解．
【详解】解：、能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项符合题意；
、不能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题主要考查了对顶角，平角的定义，根据对顶角相等，平角的定义求解即可．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，本角形内角和定理，根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】连接，根据题意，得到四边形是矩形，于是，得到的最小值实际是的最小值，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值实际是的最小值，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据垂线段最短，当时，取得最小值，
此时．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得出当时，，结合题意即可求解．
【详解】解：若，则，
∵固定木条和，顺时针转动木条，
即当时，；
此时木条顺时针转动．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了平行线的性质．根据太阳光线看作平行光线，利用两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：∵太阳光线看作平行光线，
∴，
依据是：两直线平行，同位角相等，
故选：C．
7．/36度
【分析】本题主要考查角度的和差，垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据垂直的定义求出，再由比例关系求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得解．
【详解】解：∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．114
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．
先求出，设，则由折叠可得，那么，再由折叠得到，最后根据平行线的性质得到，即可建立方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
四边形是长方形，
，
，
，设，
，
由沿折叠可知：，
，
由沿折叠可知：，
，，
，即，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查平行线性质，三角形的外角性质．根据题意可知，再利用三角形的外角性质即可得到本题答案．
【详解】解：将图中与交点命名为，如下图所示：
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和性质，折叠性质，先由平行线的性质得，，再结合折叠性质得，，故，再根据三角形内角和性质列式计算得，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵将的沿着折叠，使点C落在点P的位置，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
12．27
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握轴对称图形的性质，合理作出辅助线是关键．
如图所示，连接，过点作于点，根据轴对称的性质可得是等腰直角三角形，，根据点到直线的距离垂线段最短可得，当时，值最小，即点重合，则的面积最小，解得，（负值舍去），再根据三角形面积的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
根据点到直线的距离垂线段最短可得，当时，值最小，即点重合，则的面积最小，
∵的面积最小值为，
∴，
解得，（负值舍去），
∴的面积为，
故答案为：27 ．
13．/30度
【分析】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．根据平移后对应边平行得到，进而得到，然后利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：由平移性质得，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
14．或或
【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键；
分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图3，当时，；
如图4，当（或）时，，
∴，
∴；
如图5，当时，，
∴．
综上所述，其他可能符合条件的度数为或或．
故答案为：或或．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）根据角平分线定义求出，结合可证，然后根据平行线的判定方法即可得出结论；
（2）先求出，根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵和 的平分线交于点E，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵， ，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
16．两直线平行，内错角相等；；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．延长交于点P，根据平行线的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，，最后根据补角的性质，求出结果即可．
【详解】证明：如图2，延长交于点P，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）.
又∵（已知），
∴（等式的基本事实）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（同角的补角相等）
17．，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由同旁内角互补，两直线平行证明，再由平行线的性质和已知条件证明，则可得到．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．
（1）
（2）与的数量关系为：，理由见详解
（3）
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键．
（1）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，由此即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，则，等量代换即可求解；
（3）根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）与的数量关系为：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，且，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在（2）的条件下，则有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）过点H作，设，根据角平分线的定义得到，，结合（1）的结论得到，再由平行线的判断及性质得到，，因此，从而得出结论．
（3）过作，过点P作，设，根据平行线的判定及性质得到，，由角平分线的定义得到，从而，又，因此，，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点H作，设，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
（3）解：过作，过点P作，设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
20．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质即可求解；
（2）利用平行线的性质求得，再证明求得，最后利用垂线段最短即可得解；
（3）由直线与直线没有交点，得出，先求得，得到，求得，再求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵三角板是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵直线与直线没有交点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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