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　电场强度矢量叠加的几种特殊方法
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
例1　(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A. B.(6+)
C.(3+1) D.(3+)
例2　均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处时产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为(　　)
A.－E B.
C.－E D.+E
例3　(2024·湖北省荆州中学适应性考试)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是q。球半径为R，球心为O，CD为球面AA1B1B的对称轴，在轴线上有M、N两点，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为(　　)
A.|－E| B.|－2E|
C.+E D.+2E
例4　如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为(　　)
A. B. C. D.
1.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB＝60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为(　　)
A.，由O指向C2
B.，由O指向C1
C.，由O指向C2
D.，由O指向C1
2.(来自教材改编)如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距3d，水平虚线垂直薄板且过板的几何中心，虚线上P、Q两点到板的距离均为d，静电力常量为k。已知P点电场强度为0，则Q点电场强度大小为(　　)
A.k B.k C.k D.0
3.(2021·江苏卷·10)一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　)
A.O、C两点电势相等
B.A点的电场强度大于B点
C.沿直线从A到B电势先升高后降低
D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大
4.如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　)
A.k B.k C.k D.k
答案精析
例1　D　[B点和C点的点电荷在M的合电场强度为E＝2cos 60°＝，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度EM＝E＝，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度为EA＝EM＝，方向向上，因此A点合电场强度为E合＝EA+2cos 30°＝，故选D。]
例2　A　[把圆心在O点的二分之一球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳，则在M、N两点的电场强度大小均为E0＝。题图中左半球壳在M点产生的电场强度为E，则右半球壳在M点产生的电场强度为E'＝E0－E＝－E，由对称性知，左半球壳在N点产生的电场强度大小也为－E，故选A。]
例3　B　[将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为Q＝q，为保证电荷量不变，球面AB应带负电且电荷量为q，则该球壳带正电的完整部分在N点产生的电场强度为EN＝，根据对称性可知，带负电且电荷量为q的球面AB在N点产生的电场强度大小为2E，与EN方向相反，则N点的电场强度大小为EN'＝|－2E|，故选B。]
例4　B　[把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n＝，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0＝，由几何关系sin 37°＝，可得E0＝。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D错误，B正确。]
跟踪训练
1.A　[假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为E1＝，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为E2＝2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3＝E2＝，方向由O指向C2，故选A。]
2.A　[由已知条件可得薄板与点电荷在P点的电场强度等大反向，则薄板在P点的电场强度大小E1＝，根据对称性可知薄板在Q点的电场强度大小E2＝E1＝，方向相反，则Q点电场强度大小为EQ＝+＝k，故选A。]
3.A　[将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右两侧球壳在C点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部分球壳在C点的电场强度都是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C点的电场强度方向水平向左，同理OC上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C点连线为等势线，故O、C两点电势相等，故A正确；设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝E2，根据对称性，左、右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在题图所示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误；
根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。]
4.D　[该电场可等效为z轴h处与－h处的等量异种点电荷产生的电场，如图所示，则在z＝处的电场强度大小为E＝k+k＝k，故选项D正确。
](共23张PPT)
物理
大
一
轮
复
习
第九章
静电场
微点突破6
电场强度矢量叠加的几种特殊方法
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等
效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效
为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为
A. B.(6＋)
C.(3＋1) D.(3＋)
例1
√
B点和C点的点电荷在M的合电场强度为E＝2cos 60°
＝，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度EM＝E＝，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度为EA＝EM＝，方向向上，
因此A点合电场强度为E合＝EA＋2cos 30°＝，故选D。
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处时产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为
A.－E B.
C.－E D.＋E
例2
√
把圆心在O点的二分之一球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳，则在M、N两点的电场强度大小
均为E0＝。题图中左半球壳在M点产生
的电场强度为E，则右半球壳在M点产生的电场强度为E'＝E0－E＝－E，由对称性知，左半球壳在N点产生的电场强度大小也为－E，故选A。
(2024·湖北省荆州中学适应性考试)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝
缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是q。球半径为R，球心为O，CD为球面
AA1B1B的对称轴，在轴线上有M、N两点，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，
A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点的电场强度大小为E，静电力常量
为k，则N点的电场强度大小为
A.|－E| B.|－2E|
C.＋E D.＋2E
例3
√
将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为Q
＝q，为保证电荷量不变，球面AB应带负
电且电荷量为q，则该球壳带正电的完整部
分在N点产生的电场强度为EN＝，根据对称性可知，带负电且
电荷量为q的球面AB在N点产生的电场强度大小为2E，与EN方向相反，则
N点的电场强度大小为EN'＝|－2E|，故选B。
如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为
A. B.
C. D.
例4
√
把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，
则有n＝，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电
场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度
大小均为E0＝，由几何关系sin 37°＝，可得E0＝。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的
电场在P点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D错误，B正确。
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跟踪训练
1.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB＝60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为
A.，由O指向C2 B.，由O指向C1
C.，由O指向C2 D.，由O指向C1
√
假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别
在O点产生的电场强度大小均为E1＝，A、B两处的
电荷在O点产生的合电场强度大小为E2＝2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，
则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3＝E2＝，方向由O指向C2，故选A。
2.(来自教材改编)如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距3d，水平虚线垂直薄板且过板的几何中心，虚线上P、Q两点到板的距离均为d，静电力常量为k。已知P点电场强度为0，则Q点电场强度大小为
A.k B.k
C.k D.0
√
由已知条件可得薄板与点电荷在P点的电场强度等大反向，则薄板在P点的电场强度大
小E1＝，根据对称性可知薄板在
Q点的电场强度大小E2＝E1＝，方向相反，则Q点电场强度大小为EQ＝＝k，故选A。
3.(2021·江苏卷·10)一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则
A.O、C两点电势相等
B.A点的电场强度大于B点
C.沿直线从A到B电势先升高后降低
D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大
√
将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右两侧球壳在C点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部分球壳在C点的电场强度都
是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C点的电场强度方向水平向左，同理OC上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C点连线为等势线，故O、C两点电势相等，故A正确；
设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝E2，根据对称性，左、右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在题图所示电场中，A的电场强度大小为E2，方向
向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误；
根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。
4.如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，
则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)
A.k B.k
C.k D.k
√
该电场可等效为z轴h处与－h处的等量异种点电荷产生的电场，如图所示，
则在z＝处的电场强度大小为E＝k＋k＝k，故选
项D正确。

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