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浙江省湖州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（2024八下·湖州期末）二次根式中x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·湖州期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图是七巧板中的若干块板拼成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·湖州期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（　　）
x … 0 1 2 3 …
… 10 4 0 0 …
A． B． C．或 D．或
4．（2024八下·湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2024八下·湖州期末）用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（　　）
A．有三个直角 B．有四个直角
C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角
6．（2024八下·湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·湖州期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·湖州期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，则对角线的长是（　　）
A． B． C．12 D．14
9．（2024八下·湖州期末）某校对801班40名学生进行了劳动技能测评，因王铭请假没有参加测评，算得39名学生测评成绩的平均分为8分，方差是1.6，王铭补测的成绩恰好为8分，重新计算40名学生测评成绩的平均分为，方差为，则关于和的描述正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024八下·湖州期末）如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·湖州期末）已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为　 　．
12．（2024八下·湖州期末）关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为　 　．
13．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是　 　．
14．（2024八下·湖州期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 　 　．
15．（2024八下·湖州期末）观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简　 　．
16．（2024八下·湖州期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024八下·湖州期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2024八下·湖州期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是，求方程的另一个根．
19．（2024八下·湖州期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，点F，G分别是和的中点．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）若，，求的长．
20．（2024八下·湖州期末）某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况，随机抽测了八年级部分男生进行测试，并将测试得到的成绩绘制成了如下统计表：
个数（个） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 1 1 5 18 10 6 2 2 1 1 2 1
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽测男生的成绩的众数、中位数和平均数；
（2）在众数、中位数和平均数中，你认为用哪一个统计量作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准个数较为合适？说明你的理由；
21．（2024八下·湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数（k为常数且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若实数t满足：当时，；当时，，求t的取值范围．
22．（2024八下·湖州期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
23．（2024八下·湖州期末）解答：
探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形
素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．
素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．
素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．
问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形；
任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长．
24．（2024八下·湖州期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．
（1）如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，当点落在点处时，求折痕的长；
（3）当点落在的边上时，求点之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D.图案是中心对称图形，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是指图形绕着某点旋转后能够与自身重合；根据中心对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或．
故选：C．
【分析】根据表格得到时x的值解题．
4．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意，
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解题即可．
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设至少有五个内角是直角.
故答案为：D．
【分析】用反证法证明题的步骤中，第一步是假设结论不成立，则反面成立，结合题意即可求解．
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知：，，
所以，，，
所以，，
故答案为：C.
【分析】观察数轴可以，，进而可以得出，，再根据二次根式的性质化简即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出的值，然后利用平行四边形的性质得到，，即可利用勾股定理求出的长解题即可．
9．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：分，
，
故答案为C．
【分析】根据方差和平均数公式计算解题．
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，得到点A、M的坐标代入反比例函数（）求出b解题即可．
11．【答案】
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：∵数据的方差是，
∴这组数据的标准差是；
故答案为：．
【分析】根据标准差的计算公式解题即可．
12．【答案】k≤0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用据一元二次方程根的判别式解题即可．
13．【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA.
∵菱形的周长为20，面积为24，
∴，，
，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于菱形是轴对称图形，因此其对角线等分菱形的面积，可连接PA，则与的面积和等于的面积等于菱形ABCD面积的一半；又因为菱形的四条边相等，因此PE+PF等于菱形面积与边长的商．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵7+
=（5+2）+
=
=
∴.
故答案为：.
【分析】将被开方数按照题中提供的方法进行化简，再利用二次根式的性质即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，F是正方形边，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得到，然后推理得到四边形是正方形，过点K作，延长分别交于L、S，根据勾股定理求出TK值；然后得到是矩形求出KL的值；根据是矩形，得到，；过点M作于W，则四边形是矩形，即可得哦大HT的值，进而求出WH的值，利用勾股定理求出HM的值解题即可．
17．【答案】解：（1）
．
（2），
，
，
，
∴原方程的根是，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘法，二次根式化简，然后合并同类二次根式解题；
（2）根据配方法解一元二次方程．
18．【答案】（1）证明：由已知可得：a=1，b=-（m+5），c=3m，
∴，
∵（m-1）2≥0
∴（m-1）2+24≥0
∴无论取何值，此方程一定有实数根.
（2）解： ∵方程 有一个实数根是5，
∴当时，原方程=，
解得：，
∴将m=0代入原方程，得，
解得：，，
∴该方程的另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
19．【答案】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴AB=BE，
∴是等腰直角三角形
（2）解：连接，如图：
∵点F，G分别为和的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴，
由（1）得，
在矩形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质即可证明，从而得到，即可证明是等腰直角三角形；
（2）根据矩形的性质可以求得，再根据勾股定理得到，再由三角形中位线定理可得的值.
20．【答案】（1）解：观察图表信息可知：众数是4，中位数是，
平均数==5.18
答：众数是4，中位数是，平均数是5.18.
（2）解：根据图表信息可知，众数是4，中位数是，平均数是5.18，大部分学生达到了4个，因此，选众数作为合格标准个数较合适.
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义即可得出答案；
（2）结合（1）的结果即可得出答案.
21．【答案】（1）解：由已知可得： 一次函数经过点，
∴m=-2+1即m=-1，
∴A（-2，-1）
又∵反比例函数（k为常数且）经过点，
∴，
∴k=2
∴ 反比例函数的表达式.
（2）解：根据图象可知：x＜-2或者0＜x＜1时， ，
x＞1或者-2＜x＜0时， ，
根据题意可得， 当时， ，
所以，t＜-2或者0＜t＜1，
同理可得：t+1＞1或者-2＜t+1＜0，
∴t＞0或者-3＜t＜-1，
综上所述，或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法直接代入求值即可；
（2）根据图像即可得到：当x＜-2或者0＜x＜1时， ，当x＞1或者-2＜x＜0时， ，进而得出或，和或，即可求解．
22．【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
23．【答案】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
选方法二，如图2，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
同理，
∴，
同理可证，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务一：选方法一，根据三角形中位线定理得到，，即可得到为平行四边形，进而得到，，由拼接可得，，证明结论即可；选方法二，根据三角形中位线得到，，根据两组对边分别相等得到平行四边形；
任务二：根据剪拼特征得到，根据平移得到，进而求出FM的值，再在中利用勾股定理解题．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在平行四边形中，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，
在中，
∵
∴
由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
由平行四边形的中心对称性，得；
（3）解：当点落在边上时，如图2，
由折叠可知，，，
∵
∴
在平行四边形中，，
∴四边形是平行四边形
∴
在中，
∴
∴
当点落在边上时，如图3，连结交于点
由平行四边形的中心对称性，得，
由翻折，得，
∴，
∴，
在中，
∴
由勾股定理，得
当点落在边上时，如图4，连结交于点，
由折叠可知，则垂直平分，
由轴对称性可知垂直平分，
∴点与点重合
过点作的垂线交于点，
在中，，，
由勾股定理，得．
综上所述，点之间的距离为4或或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，可知垂直平分，然后根据勾股定理依次求出AH，AE，AC和EO长，根据四边形的对角线互相平分解题即可；
（3）分情况：当点落在边上；当点落在边上，连结交于点；当点落在边上，连结交于点，根据平行四边形的性质和勾股定理解题即可．
1 / 1浙江省湖州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（2024八下·湖州期末）二次根式中x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解．
2．（2024八下·湖州期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图是七巧板中的若干块板拼成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C.图案不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D.图案是中心对称图形，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是指图形绕着某点旋转后能够与自身重合；根据中心对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．（2024八下·湖州期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（　　）
x … 0 1 2 3 …
… 10 4 0 0 …
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或．
故选：C．
【分析】根据表格得到时x的值解题．
4．（2024八下·湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意，
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解题即可．
5．（2024八下·湖州期末）用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（　　）
A．有三个直角 B．有四个直角
C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设至少有五个内角是直角.
故答案为：D．
【分析】用反证法证明题的步骤中，第一步是假设结论不成立，则反面成立，结合题意即可求解．
6．（2024八下·湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
7．（2024八下·湖州期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知：，，
所以，，，
所以，，
故答案为：C.
【分析】观察数轴可以，，进而可以得出，，再根据二次根式的性质化简即可.
8．（2024八下·湖州期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，则对角线的长是（　　）
A． B． C．12 D．14
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出的值，然后利用平行四边形的性质得到，，即可利用勾股定理求出的长解题即可．
9．（2024八下·湖州期末）某校对801班40名学生进行了劳动技能测评，因王铭请假没有参加测评，算得39名学生测评成绩的平均分为8分，方差是1.6，王铭补测的成绩恰好为8分，重新计算40名学生测评成绩的平均分为，方差为，则关于和的描述正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：分，
，
故答案为C．
【分析】根据方差和平均数公式计算解题．
10．（2024八下·湖州期末）如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，得到点A、M的坐标代入反比例函数（）求出b解题即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·湖州期末）已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为　 　．
【答案】
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：∵数据的方差是，
∴这组数据的标准差是；
故答案为：．
【分析】根据标准差的计算公式解题即可．
12．（2024八下·湖州期末）关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为　 　．
【答案】k≤0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用据一元二次方程根的判别式解题即可．
13．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是　 　．
【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
14．（2024八下·湖州期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA.
∵菱形的周长为20，面积为24，
∴，，
，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于菱形是轴对称图形，因此其对角线等分菱形的面积，可连接PA，则与的面积和等于的面积等于菱形ABCD面积的一半；又因为菱形的四条边相等，因此PE+PF等于菱形面积与边长的商．
15．（2024八下·湖州期末）观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵7+
=（5+2）+
=
=
∴.
故答案为：.
【分析】将被开方数按照题中提供的方法进行化简，再利用二次根式的性质即可得出答案．
16．（2024八下·湖州期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，F是正方形边，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得到，然后推理得到四边形是正方形，过点K作，延长分别交于L、S，根据勾股定理求出TK值；然后得到是矩形求出KL的值；根据是矩形，得到，；过点M作于W，则四边形是矩形，即可得哦大HT的值，进而求出WH的值，利用勾股定理求出HM的值解题即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024八下·湖州期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
．
（2），
，
，
，
∴原方程的根是，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘法，二次根式化简，然后合并同类二次根式解题；
（2）根据配方法解一元二次方程．
18．（2024八下·湖州期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是，求方程的另一个根．
【答案】（1）证明：由已知可得：a=1，b=-（m+5），c=3m，
∴，
∵（m-1）2≥0
∴（m-1）2+24≥0
∴无论取何值，此方程一定有实数根.
（2）解： ∵方程 有一个实数根是5，
∴当时，原方程=，
解得：，
∴将m=0代入原方程，得，
解得：，，
∴该方程的另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
19．（2024八下·湖州期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，点F，G分别是和的中点．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴AB=BE，
∴是等腰直角三角形
（2）解：连接，如图：
∵点F，G分别为和的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴，
由（1）得，
在矩形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质即可证明，从而得到，即可证明是等腰直角三角形；
（2）根据矩形的性质可以求得，再根据勾股定理得到，再由三角形中位线定理可得的值.
20．（2024八下·湖州期末）某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况，随机抽测了八年级部分男生进行测试，并将测试得到的成绩绘制成了如下统计表：
个数（个） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 1 1 5 18 10 6 2 2 1 1 2 1
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽测男生的成绩的众数、中位数和平均数；
（2）在众数、中位数和平均数中，你认为用哪一个统计量作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准个数较为合适？说明你的理由；
【答案】（1）解：观察图表信息可知：众数是4，中位数是，
平均数==5.18
答：众数是4，中位数是，平均数是5.18.
（2）解：根据图表信息可知，众数是4，中位数是，平均数是5.18，大部分学生达到了4个，因此，选众数作为合格标准个数较合适.
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义即可得出答案；
（2）结合（1）的结果即可得出答案.
21．（2024八下·湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数（k为常数且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若实数t满足：当时，；当时，，求t的取值范围．
【答案】（1）解：由已知可得： 一次函数经过点，
∴m=-2+1即m=-1，
∴A（-2，-1）
又∵反比例函数（k为常数且）经过点，
∴，
∴k=2
∴ 反比例函数的表达式.
（2）解：根据图象可知：x＜-2或者0＜x＜1时， ，
x＞1或者-2＜x＜0时， ，
根据题意可得， 当时， ，
所以，t＜-2或者0＜t＜1，
同理可得：t+1＞1或者-2＜t+1＜0，
∴t＞0或者-3＜t＜-1，
综上所述，或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法直接代入求值即可；
（2）根据图像即可得到：当x＜-2或者0＜x＜1时， ，当x＞1或者-2＜x＜0时， ，进而得出或，和或，即可求解．
22．（2024八下·湖州期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
23．（2024八下·湖州期末）解答：
探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形
素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．
素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．
素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．
问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形；
任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长．
【答案】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
选方法二，如图2，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
同理，
∴，
同理可证，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务一：选方法一，根据三角形中位线定理得到，，即可得到为平行四边形，进而得到，，由拼接可得，，证明结论即可；选方法二，根据三角形中位线得到，，根据两组对边分别相等得到平行四边形；
任务二：根据剪拼特征得到，根据平移得到，进而求出FM的值，再在中利用勾股定理解题．
24．（2024八下·湖州期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．
（1）如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，当点落在点处时，求折痕的长；
（3）当点落在的边上时，求点之间的距离．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在平行四边形中，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，
在中，
∵
∴
由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
由平行四边形的中心对称性，得；
（3）解：当点落在边上时，如图2，
由折叠可知，，，
∵
∴
在平行四边形中，，
∴四边形是平行四边形
∴
在中，
∴
∴
当点落在边上时，如图3，连结交于点
由平行四边形的中心对称性，得，
由翻折，得，
∴，
∴，
在中，
∴
由勾股定理，得
当点落在边上时，如图4，连结交于点，
由折叠可知，则垂直平分，
由轴对称性可知垂直平分，
∴点与点重合
过点作的垂线交于点，
在中，，，
由勾股定理，得．
综上所述，点之间的距离为4或或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，可知垂直平分，然后根据勾股定理依次求出AH，AE，AC和EO长，根据四边形的对角线互相平分解题即可；
（3）分情况：当点落在边上；当点落在边上，连结交于点；当点落在边上，连结交于点，根据平行四边形的性质和勾股定理解题即可．
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