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四川省成都实验外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·成都期中）在下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是中心对称图形，∴此选项符合题意；
C、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；根据中心对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2024八下·成都期中）若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
根据不等式的性质1，两边都加上4，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
根据不等式的性质3，两边都乘以，不等号的方向改变，
∴，
∴此选项符合题意；
C．∵，
根据不等式的性质1，两边都加上，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意；
D．∵，
根据不等式的性质2，两边都除以4，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质"（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变"并结合各选项依次判断即可求解．
3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵①，从左到右的变形是因式分解；
，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
∴①是因式分解，②是乘法运算．
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．"并结合题意即可判断求解．
4．（2024八下·成都期中）下列命题中，不正确的是（　　）
A．等角对等边
B．两点之间，线段最短
C．同旁内角互补
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵等角对等边，命题正确，∴此选项不符合题意；
B、∵两点之间，线段最短，命题正确，∴此选项不符合题意；
C、∵两直线平行，同旁内角互补，原命题不正确，∴此选项符合题意．
D、∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，命题正确，∴此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、根据等腰三角形的判定“等角对等边”可判断求解；
B、根据线段的性质“两点之间，线段最短”可判断求解；
C、根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可判断求解；
D、根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可判断求解.
5．（2024八下·成都期中）如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵将点向右平移4个单位后，得到点的坐标为，
∵点在第四象限，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质“左减右加，上加下减”表示出平移后的点A的坐标，再根据第四象限内点的坐标特点“横坐标为正、纵坐标为负”可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
6．（2024八下·成都期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕着点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得，，然后根据平角的构成∠B C B=180°-∠AC C-∠AC B计算即可求解．
7．（2024八下·成都期中）某超市计划购进A，B两种水果，其中A种水果的进价比B种水果的进价低6元，用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的进价．若设A种水果的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元，
由题意，得，．
故答案为：D．
【分析】设A种水果的进价为x元，根据题中的相等关系"用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍"即可列关于x的方程，结合各选项即可判断求解．
8．（2024八下·成都期中）如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象以及两直线的交点的横坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．（2024八下·成都期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式x，于是提公因式x即可分解因式．
10．（2024八下·成都期中）若一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　 　度．
【答案】72
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设这个等腰三角形的底角为，
∵这个等腰三角形的顶角等于，
∴，
解得：．
故答案为：72．
【分析】设这个等腰三角形的底角为，然后根据三角形三内角的和等于180°可得关于α的方程，解方程即可求解．
11．（2024八下·成都期中）若分式的值为零，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
12．（2024八下·成都期中）若二次三项式可分解为，则m的值为　 　．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，，
∴，．
故答案为：1．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”展开得：，再根据恒等式的意义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
13．（2024八下·成都期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为　 　．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵的周长为24，，
∴．
∴的周长为．
故答案为：15．
【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得．根据三角形ABC的周长等于三边之和可得的值，于是的周长为可求解．
14．（2024八下·成都期中）已知，则代数式的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
，
∴当时，原式
故答案为：2．
【分析】由题意，将（x-1）看作一个整体，然后根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”将代数式因式分解后，再将x值代入计算即可求解．
15．（2024八下·成都期中）如图，，点P是平分线上一点，过点P作交于C，，过点P作于M，则　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点P作于点N，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”和角平分线的概念可证，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，在Rt△CPN中，用勾股定理求出PN的值，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM=PN可求解．
16．（2024八下·成都期中）若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为　 　．
【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
综上可得，且且m为非负整数，
∴，
，
∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3．
故答案为：3．
【分析】将m看作已知数，根据"去分母、去括号、移项、合并同类项"解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数可得m的可能值，求出它们的和即可．
17．（2024八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，，是等腰直角三角形，
∴，
直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：，
∴函数过点，
将坐标代入得，，，
将坐标代入得，，，
将坐标代入得，，．
∵点Q是等腰直角的“和雅点”，
∴或．
故答案为：或.
【分析】将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，再根据“和雅点”的意义即可求解．
18．（2024八下·成都期中）如图，在等腰中，，，点M为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则当点E在从C到B的运动过程中，线段扫过的面积是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作于D，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G，
∴线段扫过的图形是，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【分析】如图，过点A作于D，当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G，通过画图可知：线段扫过的图形是，用勾股定理分别计算和的长，然后用三角形的面积=×底×高计算即可求解．
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2024八下·成都期中）（1）计算：；
（2）分解因式：；
（3）化简：；
（4）解方程：；
（5）解不等式：；
（6）解不等式组：．
【答案】（1） 原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
方程两边同除以2，得，
经检验，是原分式方程的根，
∴；
（5）
（6）原不等式组无解.
解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
方程两边同除以2，得，
经检验，是原分式方程的根，
∴；
（5）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得；
（6）解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴原不等式组无解．
【知识点】分式的加减法；负整数指数幂；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2024-π）0=1、负整数指数幂的运算法则“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得
（）-2=9，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的加减法则计算即可求解；
（2）由题意，先根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”去括号，然后根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解；
（3）先通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分即可求解；
（4）根据分式方程的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验”计算即可求解；
（5）根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（6）根据一元一次不等式组的解法，先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
20．（2024八下·成都期中）先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】解：原式
，
∵且，
∴且，
则不等式组中符合条件的整数有0和1，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选择使分式有意义的x的值代入化简后的分式计算可求解.
21．（2024八下·成都期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
①把向左平移6个单位后得到对应的，画出；
②将关于原点O中心对称，得到，直接写出点、的坐标．
【答案】解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
由图可得，点，．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
①根据平移的性质作图即可．
②根据中心对称的性质作图，即可求解．
22．（2024八下·成都期中）已知关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
（1）请用含a的式子表示出x，y；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为．
【答案】（1）解：，
①+②得：，即；
②-①得：，即；
（2）解：∵关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
∴，
解得：，
，
，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
∵，a为整数，
∴，
∴当a为时，不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）观察方程组可知，未知数y的系数互为相反数，将两个方程相加可消去未知数y，整理可将x用含a的代数式表示出来；未知数x的系数相等，将两个方程相减可消去未知数x，整理可将y用含a的代数式表示出来；
（2）根据方程组中x为非正数，y为负数并结合（1）的结论可得关于a的不等式组，解不等式组求出a的范围，然后根据不等式的解集求出，即可得出整数a为．
（1）解：，
①+②得：，即；
②-①得：，即；
（2）解：∵关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
∴，
解得：，
，
，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
∵，a为整数，
∴，
所以当a为时，不等式的解集为．
23．（2024八下·成都期中）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图，连接连交于，求的值．
【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵交的延长线于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，点在上，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，，因为于，所以，而，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得=∠HAB+∠ABD，=∠ACB+∠CBD求出∠AED、∠ADE的度数，结合所求度数即可判断求解；
（）由题意，用角边角可证，得，同理可再证，得，于是可求解；
（）作于点，则，所以，则，由，于是AD=AE可用含AH的代数式表示出来，再根据三角形的中位线定理证明，则，所以，则AG也可用含AH的代数式表示出来，由线段的和差DG=AG-AD可用含AH的代数式表示出来，代入计算即可求解．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵交的延长线于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，点在上，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
24．（2024八下·成都期中）随着华为鸿蒙系统的块速发展，华为手机正逐渐成为人们喜爱的智能设备，某手机店决定采购甲型和乙型两款手机，已知每部甲型手机的进价是每部乙型手机的进价的倍，若用万元购进甲型手机的数量比万元购进乙型手机的数量多2部．
（1）甲型和乙型手机的进价分别为每部多少万元？
（2）该公司决定用不多于万元购进甲型和乙型手机共部，最多可以购买多少部甲型手机？
【答案】（1）解：设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解
∴
答：甲型手机的进价为每部万元，乙型手机的进价为每部万元；
（2）解：设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，
根据题意得，，
解得：，
取最大整数解为，
答：最多可以购买部甲型手机．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，根据题中的相等关系“用
36万元购进甲型手机的数量=14万元购进乙型手机的数量+32”列出分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，根据题中的不等关系“购买m部甲型手机的费用+（100-m）部乙型手机的费用≤58”列出关于m的不等式，解不等式求得m的最大整数解即可求解．
25．（2024八下·成都期中）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且．
（1）求直线的解析式及点C的坐标；
（2）将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积；
（3）在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
则直线的表达式为：，
联立上式和得：，
解得：，
∴点；
（2）解：由（1）知直线的解析式为：，
令，则，解得，
，
，
直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，
设点，
是直角三角形，
，
，
即，
解得：，
，
设新直线的表达式为：，
则，解得，
则新直线的表达式为：，
则E的坐标为：，
则的面积；

（3）解：存在，理由：
设点，则点，
由点P、E、O的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：或，
当时，，
当时，，
则点或；
当时，
则，
解得：或0（舍去），
当时，，
则点的坐标为：；
当时，
则，
解得：，
当时，，
则点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或或或．
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念
26．（2024八下·成都期中）如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数；
（3）在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在△ABD和△BCE中
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在△ABE和△CAD中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，
作于G，
∴，
∵将关于对称得到，将关于对称得到，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在△ABM和△CAN中
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，．
【知识点】轴对称的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由线段的和差可得，结合已知用边角边可证△ABD≌△BCE；
（2）由等角的补角相等可得∠BAE=∠ACD，结合已知用边角边可证，从而得出，然后用角的构成可求解；
（3）作于G，可证得，结合已知用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，设，则，再根据可得S与x之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，
作于G，
∴，
∵将关于对称得到，将关于对称得到，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，．
1 / 1四川省成都实验外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·成都期中）在下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·成都期中）若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（2024八下·成都期中）下列命题中，不正确的是（　　）
A．等角对等边
B．两点之间，线段最短
C．同旁内角互补
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5．（2024八下·成都期中）如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·成都期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·成都期中）某超市计划购进A，B两种水果，其中A种水果的进价比B种水果的进价低6元，用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的进价．若设A种水果的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·成都期中）如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．（2024八下·成都期中）因式分解：　 　．
10．（2024八下·成都期中）若一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　 　度．
11．（2024八下·成都期中）若分式的值为零，则的值为　 　．
12．（2024八下·成都期中）若二次三项式可分解为，则m的值为　 　．
13．（2024八下·成都期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为　 　．
14．（2024八下·成都期中）已知，则代数式的值是　 　．
15．（2024八下·成都期中）如图，，点P是平分线上一点，过点P作交于C，，过点P作于M，则　 　．
16．（2024八下·成都期中）若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为　 　．
17．（2024八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是　 　．
18．（2024八下·成都期中）如图，在等腰中，，，点M为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则当点E在从C到B的运动过程中，线段扫过的面积是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2024八下·成都期中）（1）计算：；
（2）分解因式：；
（3）化简：；
（4）解方程：；
（5）解不等式：；
（6）解不等式组：．
20．（2024八下·成都期中）先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值．
21．（2024八下·成都期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
①把向左平移6个单位后得到对应的，画出；
②将关于原点O中心对称，得到，直接写出点、的坐标．
22．（2024八下·成都期中）已知关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
（1）请用含a的式子表示出x，y；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为．
23．（2024八下·成都期中）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图，连接连交于，求的值．
24．（2024八下·成都期中）随着华为鸿蒙系统的块速发展，华为手机正逐渐成为人们喜爱的智能设备，某手机店决定采购甲型和乙型两款手机，已知每部甲型手机的进价是每部乙型手机的进价的倍，若用万元购进甲型手机的数量比万元购进乙型手机的数量多2部．
（1）甲型和乙型手机的进价分别为每部多少万元？
（2）该公司决定用不多于万元购进甲型和乙型手机共部，最多可以购买多少部甲型手机？
25．（2024八下·成都期中）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且．
（1）求直线的解析式及点C的坐标；
（2）将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积；
（3）在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024八下·成都期中）如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数；
（3）在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是中心对称图形，∴此选项符合题意；
C、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；根据中心对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
根据不等式的性质1，两边都加上4，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
根据不等式的性质3，两边都乘以，不等号的方向改变，
∴，
∴此选项符合题意；
C．∵，
根据不等式的性质1，两边都加上，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意；
D．∵，
根据不等式的性质2，两边都除以4，不等号的方向不变，
∴，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质"（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变"并结合各选项依次判断即可求解．
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵①，从左到右的变形是因式分解；
，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
∴①是因式分解，②是乘法运算．
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．"并结合题意即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵等角对等边，命题正确，∴此选项不符合题意；
B、∵两点之间，线段最短，命题正确，∴此选项不符合题意；
C、∵两直线平行，同旁内角互补，原命题不正确，∴此选项符合题意．
D、∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，命题正确，∴此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、根据等腰三角形的判定“等角对等边”可判断求解；
B、根据线段的性质“两点之间，线段最短”可判断求解；
C、根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可判断求解；
D、根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵将点向右平移4个单位后，得到点的坐标为，
∵点在第四象限，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质“左减右加，上加下减”表示出平移后的点A的坐标，再根据第四象限内点的坐标特点“横坐标为正、纵坐标为负”可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕着点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得，，然后根据平角的构成∠B C B=180°-∠AC C-∠AC B计算即可求解．
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元，
由题意，得，．
故答案为：D．
【分析】设A种水果的进价为x元，根据题中的相等关系"用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍"即可列关于x的方程，结合各选项即可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象以及两直线的交点的横坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式x，于是提公因式x即可分解因式．
10．【答案】72
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设这个等腰三角形的底角为，
∵这个等腰三角形的顶角等于，
∴，
解得：．
故答案为：72．
【分析】设这个等腰三角形的底角为，然后根据三角形三内角的和等于180°可得关于α的方程，解方程即可求解．
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
12．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，，
∴，．
故答案为：1．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”展开得：，再根据恒等式的意义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
13．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵的周长为24，，
∴．
∴的周长为．
故答案为：15．
【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得．根据三角形ABC的周长等于三边之和可得的值，于是的周长为可求解．
14．【答案】2
【知识点】二次根式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
，
∴当时，原式
故答案为：2．
【分析】由题意，将（x-1）看作一个整体，然后根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”将代数式因式分解后，再将x值代入计算即可求解．
15．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点P作于点N，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”和角平分线的概念可证，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，在Rt△CPN中，用勾股定理求出PN的值，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM=PN可求解．
16．【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
综上可得，且且m为非负整数，
∴，
，
∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3．
故答案为：3．
【分析】将m看作已知数，根据"去分母、去括号、移项、合并同类项"解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数可得m的可能值，求出它们的和即可．
17．【答案】或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，，是等腰直角三角形，
∴，
直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：，
∴函数过点，
将坐标代入得，，，
将坐标代入得，，，
将坐标代入得，，．
∵点Q是等腰直角的“和雅点”，
∴或．
故答案为：或.
【分析】将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，再根据“和雅点”的意义即可求解．
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作于D，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G，
∴线段扫过的图形是，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【分析】如图，过点A作于D，当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G，通过画图可知：线段扫过的图形是，用勾股定理分别计算和的长，然后用三角形的面积=×底×高计算即可求解．
19．【答案】（1） 原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
方程两边同除以2，得，
经检验，是原分式方程的根，
∴；
（5）
（6）原不等式组无解.
解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
方程两边同除以2，得，
经检验，是原分式方程的根，
∴；
（5）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得；
（6）解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴原不等式组无解．
【知识点】分式的加减法；负整数指数幂；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2024-π）0=1、负整数指数幂的运算法则“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得
（）-2=9，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的加减法则计算即可求解；
（2）由题意，先根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”去括号，然后根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解；
（3）先通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分即可求解；
（4）根据分式方程的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验”计算即可求解；
（5）根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（6）根据一元一次不等式组的解法，先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
20．【答案】解：原式
，
∵且，
∴且，
则不等式组中符合条件的整数有0和1，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选择使分式有意义的x的值代入化简后的分式计算可求解.
21．【答案】解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
由图可得，点，．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
①根据平移的性质作图即可．
②根据中心对称的性质作图，即可求解．
22．【答案】（1）解：，
①+②得：，即；
②-①得：，即；
（2）解：∵关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
∴，
解得：，
，
，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
∵，a为整数，
∴，
∴当a为时，不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）观察方程组可知，未知数y的系数互为相反数，将两个方程相加可消去未知数y，整理可将x用含a的代数式表示出来；未知数x的系数相等，将两个方程相减可消去未知数x，整理可将y用含a的代数式表示出来；
（2）根据方程组中x为非正数，y为负数并结合（1）的结论可得关于a的不等式组，解不等式组求出a的范围，然后根据不等式的解集求出，即可得出整数a为．
（1）解：，
①+②得：，即；
②-①得：，即；
（2）解：∵关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数．
∴，
解得：，
，
，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
∵，a为整数，
∴，
所以当a为时，不等式的解集为．
23．【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵交的延长线于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，点在上，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，，因为于，所以，而，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得=∠HAB+∠ABD，=∠ACB+∠CBD求出∠AED、∠ADE的度数，结合所求度数即可判断求解；
（）由题意，用角边角可证，得，同理可再证，得，于是可求解；
（）作于点，则，所以，则，由，于是AD=AE可用含AH的代数式表示出来，再根据三角形的中位线定理证明，则，所以，则AG也可用含AH的代数式表示出来，由线段的和差DG=AG-AD可用含AH的代数式表示出来，代入计算即可求解．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵交的延长线于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，点在上，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
24．【答案】（1）解：设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解
∴
答：甲型手机的进价为每部万元，乙型手机的进价为每部万元；
（2）解：设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，
根据题意得，，
解得：，
取最大整数解为，
答：最多可以购买部甲型手机．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，根据题中的相等关系“用
36万元购进甲型手机的数量=14万元购进乙型手机的数量+32”列出分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，根据题中的不等关系“购买m部甲型手机的费用+（100-m）部乙型手机的费用≤58”列出关于m的不等式，解不等式求得m的最大整数解即可求解．
25．【答案】（1）解：∵，
则直线的表达式为：，
联立上式和得：，
解得：，
∴点；
（2）解：由（1）知直线的解析式为：，
令，则，解得，
，
，
直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，
设点，
是直角三角形，
，
，
即，
解得：，
，
设新直线的表达式为：，
则，解得，
则新直线的表达式为：，
则E的坐标为：，
则的面积；

（3）解：存在，理由：
设点，则点，
由点P、E、O的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：或，
当时，，
当时，，
则点或；
当时，
则，
解得：或0（舍去），
当时，，
则点的坐标为：；
当时，
则，
解得：，
当时，，
则点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或或或．
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念
26．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在△ABD和△BCE中
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在△ABE和△CAD中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，
作于G，
∴，
∵将关于对称得到，将关于对称得到，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在△ABM和△CAN中
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，．
【知识点】轴对称的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由线段的和差可得，结合已知用边角边可证△ABD≌△BCE；
（2）由等角的补角相等可得∠BAE=∠ACD，结合已知用边角边可证，从而得出，然后用角的构成可求解；
（3）作于G，可证得，结合已知用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，设，则，再根据可得S与x之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，
作于G，
∴，
∵将关于对称得到，将关于对称得到，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，．
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