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浙江省金华市金东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·金东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是中心对称图形，故A不符合；
不是中心对称图形，故B不符合；
是中心对称图形，故C符合；
不是中心对称图形，故D不符合.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形与轴对称的定义，逐一对四个选项中的图分析，再作出判断.根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；能找到一条直线，使整个图形沿这条直线对折后，折痕两侧的图形能重合的图形是轴对称图形．
2．（2024八下·金东期末）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∴x的值可以是2，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解。
3．（2024八下·金东期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为：
故答案为：A．
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
4．（2024八下·金东期末）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．（2024八下·金东期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用下图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（　　）.
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形，
故答案为：C．
【分析】根据特殊四边形的判定求解．
6．（2024八下·金东期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行，
故答案为：A．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证；根据命题“同旁内角互补，两直线平行”，可先假设“两直线不平行”可求解．
7．（2024八下·金东期末）一组数据为，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据的平均数为：，
新数据的平均数为：，
∴平均数没有发生变化，此选项不符合题意；
B、原数据的众数为：，
新数据的众数为：，
∴众数没有发生变化，此选项不符合题意；
C、原数据的中位数为：，
新数据的中位数为：，
∴中位数没有发生变化，此选项不符合题意；
D、原数据的方差为：，
新数据的方差为：，
2≠1.6，
∴发生变化的是方差，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据平均数的计算公式求出新旧数据的平均数，比较大小可判断求解；
B、根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意求出新旧数据的众数，比较大小可判断求解；
C、根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意求出新旧数据的中位数，比较大小可判断求解；
D、根据方差的定义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”并结合题意求出新旧数据的方差，比较大小可判断求解.
8．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
9．（2024八下·金东期末）学习了“三角形中位线定理”后，在“中，D，E分别是边上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若D是的中点，，则E是的中点．
②若D是的中点，，则E是的中点．
③若，，则D，E分别是的中点．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图1，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
在和中，
，
∴，
∴BF=AE，∠F=∠AED，
∴BF∥AC，即BF∥CE，
∵DE∥BC，即EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴点E为AC的中点，故①正确；
②如图2，点D为的中点，以点D为圆心，以为半径画弧交于点E，
∴点E不一定是的中点，故②不正确；
③如图3，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵，DF=DE，
∴EF=BC，
∵DE∥BC，即EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF∥AC，BF=CE，
∴∠F=∠AED，
在和中，
，
∴，
∴BF=AE，AD=BD，
∴AE=CE，
∴点D，E分别是AB，AC的中点，故③正确．
综上所述，正确的结论是①③，
故答案为：B．
【分析】①如图1，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，先证明，得BF=AE，∠F=∠AED，从而得BF∥CE，进而证出四边形BCEF是平行四边形，根据平行四边形的性质得BF=CE，进行等量代换得CE=AE，即可判断①正确；②如图2，点D为的中点，以点D为圆心，以为半径画弧交于点E，可得两个点E，即可判断②错误；③如图3，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，先证出四边形BCEF是平行四边形，由平行四边形的性质得BF∥AC，BF=CE，从而得∠F=∠AED，进而证得，于是得BF=AE，AD=BD，进行等量代换得AE=CE，即可得证③正确.
10．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（　　）.
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
11．（2024八下·金东期末）化简：　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】由题意，用二次根式的性质化简即可求解.
12．（2024八下·金东期末）一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，这组数据的方差为　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 组数据2，4，5，1，a的平均数为a，
∴，
解得：；
∴ 这组数据的方差为．
故答案为：2．
【分析】先根据平均数的定义，列出关于a的方程求出的值，再根据方差公式求解．
13．（2024八下·金东期末）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据、都在反比例函数的图象上，可得，，把已知代入计算即可求解.
14．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算，将转化为平常的一元二次方程，再求解.根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图
∵图1中的正方形面积为4，
正方形边长为2，
直角三角形①中的长直角边为2，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】先根据图1中正方形的面积，求出正方形的边长，再根据图2列出关于b的方程求解即可．
16．（2024八下·金东期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则　 　；
（2）平行四边形的面积为　 　（用含m、n的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）连接、
四边形为平行四边形，
， ，，，，
，，
四边形为平行四边形，
点P是平行四边形的对称中心，
点E，F，G，H分别为，，，的中点，
为的中位线，
，
四边形的面积为，
，
点F为的中点，点G为的中点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形为平行四边形，再根据中心对称的性质得出为的中位线，从而得出，然后根据中位线的性质得出，，最后根据图形的面积得出，再作比即可得出答案；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案．
17．（2024八下·金东期末）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简绝对值、进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．（2024八下·金东期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
【答案】解：①当，，
∴，
∴
解得：；
②，；
∴
∴
解得：；
③，．
，原方程无解．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
19．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形；
②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
【答案】解：图形如图所示：
由图1可知，
四边形为平行四边形；
由图2根据勾股定理得
四边形为菱形；
连接、交于点O
根据勾股定理得
四边形为矩形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及要求作出图形．
20．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
，
.
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证得，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质证得，再由，根据等边对等角证得，然后利用三角形外角的性质列出方程求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
21．（2024八下·金东期末）为了进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86．
【整理数据】：
年级
七年级 2 m 4 1
八年级 1 3 5 1
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 80 a 81 71.6
八年级 80 85 b 59.8
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数；
（3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀．
【答案】（1）3，83，84.5
（2）解：（人），
答：该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数是192人
（3）解：由表中数据分析可知，
从众数来看：因为，所以八年级成绩更优秀；
从中位数来看，从七年级中位数来看，81分处在年级中间水平；从八年级来看，81分处在年级后半段，所以八年级成绩更优秀；
从方差来看，平均数相同的情况下，八年级成绩更稳定，所以八年级成绩更优秀
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】（1）解：由题知，七年级成绩在的有75，79，79，
，
七年级成绩出现次数最多的是83，
，
八年级的中位数为第5位和第6位学生成绩的平均数，即，
故答案为：3，83，84.5．
【分析】（1）根据题中抽样调查的数据可得到，再根据众数、中位数的定义即可求出a、b的值；
（2）根据统计表得到八年级竞赛成绩超过80分的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解答；
（3）根据表格中的数据，分别从平均数，中位数，众数，方差的角度对七、八年级成绩分析，即可解答．
22．（2024八下·金东期末）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润．
【答案】（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元．
（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
23．（2024八下·金东期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
∵点、，
∴ 解得：
∴一次函数的表达式为：.
（2）解：过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）解：当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵点，点
∴，解得：.
∴直线的表达式为：
∵反比例函数表达式为：，
∴，
解得：(舍去)或，
∴点，
∵点，
∴
∴重叠正方形的边长为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用AAS证明，再利用线段差分别求得CH与BH，然后写出C点的坐标；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解.
（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
将点、B的坐标代入函数表达式得：
解得：
则一次函数的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
由点的坐标得，直线的表达式为：
由（1）知，反比例函数表达式为：，
联立上述两个函数表达式得：，
解得：(舍去)或，
即点，
由点的坐标得，
则重叠正方形的边长为．
24．（2024八下·金东期末）如下图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C，D的对称点分别为，）.
（1）如下图，当点在的延长线上时，连结，求的长.
（2）如下图，当点P与点C重合时，连结，、交分别于点E、F.
①求证：；
②求的长.
（3）当直线经过点B时，求的长.
【答案】（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，.
（2）解：①如图.
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②如图.
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如图，连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先利用对称性求得AC与BC'，再用勾股定理求出的长；
（2）①先利用对称证得，，，，再证明，，即可得到；
②先根据矩形的性质，证得，再根据平行线的性质证得，进而可证得，然后利用等 角对等边证得，，设，用x表示出AE，再用勾股定理建立方程求解；
（3）分直线在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解．
（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，；
（2）解：①
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
即的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如下图所示：
连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
在中，，，
在中，，
即，，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
在矩形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
1 / 1浙江省金华市金东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·金东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
2．（2024八下·金东期末）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．2
3．（2024八下·金东期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·金东期末）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·金东期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用下图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（　　）.
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
6．（2024八下·金东期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
7．（2024八下·金东期末）一组数据为，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
9．（2024八下·金东期末）学习了“三角形中位线定理”后，在“中，D，E分别是边上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若D是的中点，，则E是的中点．
②若D是的中点，，则E是的中点．
③若，，则D，E分别是的中点．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（　　）.
A．或 B．
C．或 D．或
11．（2024八下·金东期末）化简：　 　．
12．（2024八下·金东期末）一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，这组数据的方差为　 　．
13．（2024八下·金东期末）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
14．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
15．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　．
16．（2024八下·金东期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则　 　；
（2）平行四边形的面积为　 　（用含m、n的代数式表示）．
17．（2024八下·金东期末）计算：.
18．（2024八下·金东期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
19．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形；
②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
20．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
21．（2024八下·金东期末）为了进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86．
【整理数据】：
年级
七年级 2 m 4 1
八年级 1 3 5 1
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 80 a 81 71.6
八年级 80 85 b 59.8
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数；
（3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀．
22．（2024八下·金东期末）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润．
23．（2024八下·金东期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
24．（2024八下·金东期末）如下图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C，D的对称点分别为，）.
（1）如下图，当点在的延长线上时，连结，求的长.
（2）如下图，当点P与点C重合时，连结，、交分别于点E、F.
①求证：；
②求的长.
（3）当直线经过点B时，求的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是中心对称图形，故A不符合；
不是中心对称图形，故B不符合；
是中心对称图形，故C符合；
不是中心对称图形，故D不符合.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形与轴对称的定义，逐一对四个选项中的图分析，再作出判断.根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；能找到一条直线，使整个图形沿这条直线对折后，折痕两侧的图形能重合的图形是轴对称图形．
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∴x的值可以是2，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解。
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为：
故答案为：A．
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形，
故答案为：C．
【分析】根据特殊四边形的判定求解．
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行，
故答案为：A．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证；根据命题“同旁内角互补，两直线平行”，可先假设“两直线不平行”可求解．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据的平均数为：，
新数据的平均数为：，
∴平均数没有发生变化，此选项不符合题意；
B、原数据的众数为：，
新数据的众数为：，
∴众数没有发生变化，此选项不符合题意；
C、原数据的中位数为：，
新数据的中位数为：，
∴中位数没有发生变化，此选项不符合题意；
D、原数据的方差为：，
新数据的方差为：，
2≠1.6，
∴发生变化的是方差，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据平均数的计算公式求出新旧数据的平均数，比较大小可判断求解；
B、根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意求出新旧数据的众数，比较大小可判断求解；
C、根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意求出新旧数据的中位数，比较大小可判断求解；
D、根据方差的定义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”并结合题意求出新旧数据的方差，比较大小可判断求解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图1，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
在和中，
，
∴，
∴BF=AE，∠F=∠AED，
∴BF∥AC，即BF∥CE，
∵DE∥BC，即EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴点E为AC的中点，故①正确；
②如图2，点D为的中点，以点D为圆心，以为半径画弧交于点E，
∴点E不一定是的中点，故②不正确；
③如图3，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵，DF=DE，
∴EF=BC，
∵DE∥BC，即EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF∥AC，BF=CE，
∴∠F=∠AED，
在和中，
，
∴，
∴BF=AE，AD=BD，
∴AE=CE，
∴点D，E分别是AB，AC的中点，故③正确．
综上所述，正确的结论是①③，
故答案为：B．
【分析】①如图1，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，先证明，得BF=AE，∠F=∠AED，从而得BF∥CE，进而证出四边形BCEF是平行四边形，根据平行四边形的性质得BF=CE，进行等量代换得CE=AE，即可判断①正确；②如图2，点D为的中点，以点D为圆心，以为半径画弧交于点E，可得两个点E，即可判断②错误；③如图3，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，先证出四边形BCEF是平行四边形，由平行四边形的性质得BF∥AC，BF=CE，从而得∠F=∠AED，进而证得，于是得BF=AE，AD=BD，进行等量代换得AE=CE，即可得证③正确.
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
11．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】由题意，用二次根式的性质化简即可求解.
12．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 组数据2，4，5，1，a的平均数为a，
∴，
解得：；
∴ 这组数据的方差为．
故答案为：2．
【分析】先根据平均数的定义，列出关于a的方程求出的值，再根据方差公式求解．
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据、都在反比例函数的图象上，可得，，把已知代入计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算，将转化为平常的一元二次方程，再求解.根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图
∵图1中的正方形面积为4，
正方形边长为2，
直角三角形①中的长直角边为2，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】先根据图1中正方形的面积，求出正方形的边长，再根据图2列出关于b的方程求解即可．
16．【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）连接、
四边形为平行四边形，
， ，，，，
，，
四边形为平行四边形，
点P是平行四边形的对称中心，
点E，F，G，H分别为，，，的中点，
为的中位线，
，
四边形的面积为，
，
点F为的中点，点G为的中点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形为平行四边形，再根据中心对称的性质得出为的中位线，从而得出，然后根据中位线的性质得出，，最后根据图形的面积得出，再作比即可得出答案；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案．
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简绝对值、进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．【答案】解：①当，，
∴，
∴
解得：；
②，；
∴
∴
解得：；
③，．
，原方程无解．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
19．【答案】解：图形如图所示：
由图1可知，
四边形为平行四边形；
由图2根据勾股定理得
四边形为菱形；
连接、交于点O
根据勾股定理得
四边形为矩形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及要求作出图形．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
，
.
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证得，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质证得，再由，根据等边对等角证得，然后利用三角形外角的性质列出方程求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
21．【答案】（1）3，83，84.5
（2）解：（人），
答：该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数是192人
（3）解：由表中数据分析可知，
从众数来看：因为，所以八年级成绩更优秀；
从中位数来看，从七年级中位数来看，81分处在年级中间水平；从八年级来看，81分处在年级后半段，所以八年级成绩更优秀；
从方差来看，平均数相同的情况下，八年级成绩更稳定，所以八年级成绩更优秀
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】（1）解：由题知，七年级成绩在的有75，79，79，
，
七年级成绩出现次数最多的是83，
，
八年级的中位数为第5位和第6位学生成绩的平均数，即，
故答案为：3，83，84.5．
【分析】（1）根据题中抽样调查的数据可得到，再根据众数、中位数的定义即可求出a、b的值；
（2）根据统计表得到八年级竞赛成绩超过80分的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解答；
（3）根据表格中的数据，分别从平均数，中位数，众数，方差的角度对七、八年级成绩分析，即可解答．
22．【答案】（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元．
（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
23．【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
∵点、，
∴ 解得：
∴一次函数的表达式为：.
（2）解：过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）解：当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵点，点
∴，解得：.
∴直线的表达式为：
∵反比例函数表达式为：，
∴，
解得：(舍去)或，
∴点，
∵点，
∴
∴重叠正方形的边长为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用AAS证明，再利用线段差分别求得CH与BH，然后写出C点的坐标；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解.
（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
将点、B的坐标代入函数表达式得：
解得：
则一次函数的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
由点的坐标得，直线的表达式为：
由（1）知，反比例函数表达式为：，
联立上述两个函数表达式得：，
解得：(舍去)或，
即点，
由点的坐标得，
则重叠正方形的边长为．
24．【答案】（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，.
（2）解：①如图.
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②如图.
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如图，连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先利用对称性求得AC与BC'，再用勾股定理求出的长；
（2）①先利用对称证得，，，，再证明，，即可得到；
②先根据矩形的性质，证得，再根据平行线的性质证得，进而可证得，然后利用等 角对等边证得，，设，用x表示出AE，再用勾股定理建立方程求解；
（3）分直线在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解．
（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，；
（2）解：①
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
即的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如下图所示：
连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
在中，，，
在中，，
即，，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
在矩形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
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