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浙江省宁波市鄞州区鄞州实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·鄞州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故答案为：B．
【分析】本题考查了同底数幂相乘或相除，底数不变、指数相加减；合并同类项、幂的乘方。本题分别计算出ABCD四个选项的正确答案，即可选出正确选项。
2．（2024七下·鄞州期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，不选；
B、 不是二元一次方程，不选；
C、 不是二元一次方程，不选；
D、 是二元一次方程，当选；
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义判断进行判断。A选项， 该方程中有3个未知数，是三元方程；B选项，该方程的最高次数为2，是二元二次方程；C选项，该方程中分母含有字母，是分式方程，不是整式方程；D选项，该方程满足二元一次方程的概念，是二元一次方程，此选项符合题意。
3．（2024七下·鄞州期中）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．（2024七下·鄞州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、 中，结果不是整式乘积的形式，故本选项不符合题意；
C、 中，等式的左侧不是多项式，故本选项不符合题意；
D、 是因式分解，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，据此逐一判断即可.
5．（2024七下·鄞州期中）如图，下列结论中错误的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】C
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，所以此选项正确，不符合题意；B、与是内错角，所以此选项正确，不符合题意；
C、∠2、∠5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误，符合题意；
D、与是同位角，所以此选项正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线之间，且在截线同侧的两个角互为同旁内角，同旁内角的边构成“U”形；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角互为同位角，同位角的边构成“F“形；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线之间，且在截线异侧的两个角互为内错角，内错角的边构成“Z“形，据此逐一判断得出答案.
6．（2024七下·鄞州期中）若关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
，得 ③
，得 ④
将③和④代入 ，得
故答案为：A.
【分析】首先利用加减消元法解出二元一次方程组含有 的解，然后代入二元一次方程，求解即可.
7．（2024七下·鄞州期中）如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（　　）
A．由，可以推出
B．由，可以推出
C．由，可以推出
D．由是的余角，分别平分和，可以推出
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A选项， 由，可以推出 ，错误；
B选项， 由，可以推出 ，错误；
C选项， 由，可以推出 ，错误；
D选项，由是的余角，分别平分和，可以推出，正确。
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质进行判断即可。A，由，可以推出（内错角相等，两直线平行）；B，由，可以推出（内错角相等，两直线平行）；C，由，可以推出（同旁内角互补，两直线平行）；
由是的余角，可知，由分别平分和可得，则，可以推出，故D正确。
8．（2024七下·鄞州期中）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
9．（2024七下·鄞州期中）图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=α，
由折叠可得：∠EFC=180°-α，
∴∠CFG=∠EFC-∠EFB=180°-α-α=180°-2α，
故选C.
【分析】
先两直线平行内错角相等得∠DEF=∠EFB，再根据折叠的性质得出∠EFC与∠EFB互补，进而利用∠EFC与∠EFB的差即可求得∠CFG．
10．（2024七下·鄞州期中）如图，在长方形中，，，其内部有边长为的正方形与边长为的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为，若，则正方形与正方形 的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示
两个正方形的重合部分HQFP也为正方形，且面积为5，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形与正方形的面积之和为25．
故答案为：B．
【分析】本题先推导出，然后得到，逐步求出，可求，然后根据等面积进一步推导变形公式，即可得出，从而得出答案。
11．（2024七下·鄞州期中）分解因式：＝　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：解：
【分析】本题根据因式分解的概念及方法分解即可。首先找到公因数4，提出来之后，然后再利用平方差公式进行进一步分解变形即可。
12．（2024七下·鄞州期中）若，，则　 　．
【答案】-3
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴=-3
故答案为：-3．
【分析】根据同底数幂的除法逆运算法则即可求解。同底数幂相除，底数不变、指数相减，因此可以将原式进行变形，然后代入计算即可。
13．（2024七下·鄞州期中）如果，那么　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键。先将原式中的（x+n）2进行展开，然后比较两边对应项的系数，即可求得n的值。
14．（2024七下·鄞州期中）如图，， 平分，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵， 平分，，
∴，
∴．
∵，即．
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题先根据平行线的性质（两直线平行、同旁内角互补）得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，最后根据平角的定义计算即可求解。
15．（2024七下·鄞州期中）若，用的代数式表示为　 　.
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题根据积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算即可求解．首先将进行变形，然后将进行变形，最后进行替换即可。
16．（2024七下·鄞州期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为　 　秒时，射线与射线互相平行．
【答案】36s或108s
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行．
分四种情况：
①如图，当时，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当时，，，
∴，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得，此时，
（舍去）；
③如图，当时，，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得（舍去）；
④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置：
∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36s或．
故答案为：36s或108s．
【分析】本题分四种情况讨论，利用平行线的判定与性质，即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，然后利用角的和差关系，列出等量关系式求解即可。
17．（2024七下·鄞州期中）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2）
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组，
（1）首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减；
（2）先分别对方程组的两个方程进行整理，然后利用加减消元法计算求解即可．
18．（2024七下·鄞州期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
，，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘积计算公式、平方差公式逆运算，计算并化简中括号里面的运算，然后进行除法计算，最后将a和b的值代入计算即可。
19．（2024七下·鄞州期中）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上(网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度)，将平移，使点A平移到图中的位置，点B的对应点是，点C的对应点是．
（1）画出平移后的；
（2）线段AC在平移的过程中扫过的面积是__________．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）9
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）如图，连接，
由题意知，线段在平移的过程中扫过的图形是四边形，
而四边形的面积，
即线段在平移的过程中扫过的图形面积是9．
故答案为9．
【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等或同一条直线上，因此可先连接AA`，再分别过点B、C分别作与AA`平行且相等的线段BB`和CC`，最后再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）连接，，四边形的面积即为线段在平移的过程中扫过的图形面积，此时可利用割补法求面积的方法即可．
（1）如图所示，即为所求；
（2）如图，连接，
由题意知，线段在平移的过程中扫过的图形是四边形，
而四边形的面积，
即线段在平移的过程中扫过的图形面积是9．
故答案为9．
20．（2024七下·鄞州期中）如图1，点C，D在直线上，，．
（1）求证：；
（2）如图2，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴
∴；
（2）解：∵∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的角平分线，
∴
∵
∴
∴．
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）由邻补角的概念结合已知条件可得，再利用同位角相等两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，再由垂直的概念可得，则可得，再根据角平分线的定义，得到，最后利用两直线平行同旁内角互补即可求出的度数．
21．（2024七下·鄞州期中）随着近一年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；
（3）若该公司销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.7万元，在（2）中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．
【答案】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：25m+15n=250，
解得：，
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，
方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车1辆，B型车15辆．
（3）解：方案一获得利润：（万元）；
方案二获得利润：（万元）；
方案三获得利润：（万元）．
∵，
∴购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计105万元”，分别列出关于x，y的二元一次方程，然后联立方程组求解即可；
（2）根据总价=单价×数量，可以列出关于m，n的二元一次方程，然后结合m，n均为正整数分别试探，即可得出三种方案；
（3）结合（2）题的三种方案，分别计算即可。
（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+15n=250，
解得：，
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车1辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：（万元）；
方案二获得利润：（万元）；
方案三获得利润：（万元）．
∵，
∴购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元．
22．（2024七下·鄞州期中）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
【答案】（1）解：∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2。
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2＝3b2 ab
∴S与x无关．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形 4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积。然后任选一种列出等量关系式即可；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后利用公式S阴影＝S正方形 4S基本图形，将字母代入变形计算即可；
（3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1 S2，即可证明m与x无关．
（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a b，
∴S阴影＝EH2＝(a b)2；
∴（a＋b）2 4ab＝（a b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，
∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2．
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2
＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b
＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2
＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2
＝3b2 ab
∴S与x无关．
23．（2024七下·鄞州期中）如图，直线，直线与分别相交于点，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1） 填空：______（填“”“”或“”）．
（2）的平分线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，小宁将三角板沿直线左右移动，并保持（点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
的度数为或，
如图2，当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质进行推导计算，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可以分别得出，，再利用平行线的性质即可求解；
②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
的度数为或，
如图2，当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
1 / 1浙江省宁波市鄞州区鄞州实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·鄞州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·鄞州期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·鄞州期中）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（　　）．
A． B． C． D．
4．（2024七下·鄞州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·鄞州期中）如图，下列结论中错误的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
6．（2024七下·鄞州期中）若关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·鄞州期中）如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（　　）
A．由，可以推出
B．由，可以推出
C．由，可以推出
D．由是的余角，分别平分和，可以推出
8．（2024七下·鄞州期中）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·鄞州期中）图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·鄞州期中）如图，在长方形中，，，其内部有边长为的正方形与边长为的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为，若，则正方形与正方形 的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
11．（2024七下·鄞州期中）分解因式：＝　 　．
12．（2024七下·鄞州期中）若，，则　 　．
13．（2024七下·鄞州期中）如果，那么　 　．
14．（2024七下·鄞州期中）如图，， 平分，，，则　 　．
15．（2024七下·鄞州期中）若，用的代数式表示为　 　.
16．（2024七下·鄞州期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为　 　秒时，射线与射线互相平行．
17．（2024七下·鄞州期中）（1）计算：
（2）解方程组：
18．（2024七下·鄞州期中）先化简，再求值：，其中，．
19．（2024七下·鄞州期中）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上(网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度)，将平移，使点A平移到图中的位置，点B的对应点是，点C的对应点是．
（1）画出平移后的；
（2）线段AC在平移的过程中扫过的面积是__________．
20．（2024七下·鄞州期中）如图1，点C，D在直线上，，．
（1）求证：；
（2）如图2，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数．
21．（2024七下·鄞州期中）随着近一年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；
（3）若该公司销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.7万元，在（2）中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．
22．（2024七下·鄞州期中）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
23．（2024七下·鄞州期中）如图，直线，直线与分别相交于点，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1） 填空：______（填“”“”或“”）．
（2）的平分线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，小宁将三角板沿直线左右移动，并保持（点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故答案为：B．
【分析】本题考查了同底数幂相乘或相除，底数不变、指数相加减；合并同类项、幂的乘方。本题分别计算出ABCD四个选项的正确答案，即可选出正确选项。
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，不选；
B、 不是二元一次方程，不选；
C、 不是二元一次方程，不选；
D、 是二元一次方程，当选；
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义判断进行判断。A选项， 该方程中有3个未知数，是三元方程；B选项，该方程的最高次数为2，是二元二次方程；C选项，该方程中分母含有字母，是分式方程，不是整式方程；D选项，该方程满足二元一次方程的概念，是二元一次方程，此选项符合题意。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、 中，结果不是整式乘积的形式，故本选项不符合题意；
C、 中，等式的左侧不是多项式，故本选项不符合题意；
D、 是因式分解，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，所以此选项正确，不符合题意；B、与是内错角，所以此选项正确，不符合题意；
C、∠2、∠5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误，符合题意；
D、与是同位角，所以此选项正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线之间，且在截线同侧的两个角互为同旁内角，同旁内角的边构成“U”形；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角互为同位角，同位角的边构成“F“形；两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线之间，且在截线异侧的两个角互为内错角，内错角的边构成“Z“形，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
，得 ③
，得 ④
将③和④代入 ，得
故答案为：A.
【分析】首先利用加减消元法解出二元一次方程组含有 的解，然后代入二元一次方程，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A选项， 由，可以推出 ，错误；
B选项， 由，可以推出 ，错误；
C选项， 由，可以推出 ，错误；
D选项，由是的余角，分别平分和，可以推出，正确。
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质进行判断即可。A，由，可以推出（内错角相等，两直线平行）；B，由，可以推出（内错角相等，两直线平行）；C，由，可以推出（同旁内角互补，两直线平行）；
由是的余角，可知，由分别平分和可得，则，可以推出，故D正确。
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】邻补角；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=α，
由折叠可得：∠EFC=180°-α，
∴∠CFG=∠EFC-∠EFB=180°-α-α=180°-2α，
故选C.
【分析】
先两直线平行内错角相等得∠DEF=∠EFB，再根据折叠的性质得出∠EFC与∠EFB互补，进而利用∠EFC与∠EFB的差即可求得∠CFG．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示
两个正方形的重合部分HQFP也为正方形，且面积为5，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形与正方形的面积之和为25．
故答案为：B．
【分析】本题先推导出，然后得到，逐步求出，可求，然后根据等面积进一步推导变形公式，即可得出，从而得出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：解：
【分析】本题根据因式分解的概念及方法分解即可。首先找到公因数4，提出来之后，然后再利用平方差公式进行进一步分解变形即可。
12．【答案】-3
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴=-3
故答案为：-3．
【分析】根据同底数幂的除法逆运算法则即可求解。同底数幂相除，底数不变、指数相减，因此可以将原式进行变形，然后代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键。先将原式中的（x+n）2进行展开，然后比较两边对应项的系数，即可求得n的值。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵， 平分，，
∴，
∴．
∵，即．
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题先根据平行线的性质（两直线平行、同旁内角互补）得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，最后根据平角的定义计算即可求解。
15．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题根据积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算即可求解．首先将进行变形，然后将进行变形，最后进行替换即可。
16．【答案】36s或108s
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行．
分四种情况：
①如图，当时，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当时，，，
∴，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得，此时，
（舍去）；
③如图，当时，，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得（舍去）；
④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置：
∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36s或．
故答案为：36s或108s．
【分析】本题分四种情况讨论，利用平行线的判定与性质，即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，然后利用角的和差关系，列出等量关系式求解即可。
17．【答案】解：（1）
；
（2）
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组，
（1）首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减；
（2）先分别对方程组的两个方程进行整理，然后利用加减消元法计算求解即可．
18．【答案】解：原式
，
，，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘积计算公式、平方差公式逆运算，计算并化简中括号里面的运算，然后进行除法计算，最后将a和b的值代入计算即可。
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）9
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）如图，连接，
由题意知，线段在平移的过程中扫过的图形是四边形，
而四边形的面积，
即线段在平移的过程中扫过的图形面积是9．
故答案为9．
【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等或同一条直线上，因此可先连接AA`，再分别过点B、C分别作与AA`平行且相等的线段BB`和CC`，最后再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）连接，，四边形的面积即为线段在平移的过程中扫过的图形面积，此时可利用割补法求面积的方法即可．
（1）如图所示，即为所求；
（2）如图，连接，
由题意知，线段在平移的过程中扫过的图形是四边形，
而四边形的面积，
即线段在平移的过程中扫过的图形面积是9．
故答案为9．
20．【答案】（1）证明：∵，∴
∴；
（2）解：∵∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的角平分线，
∴
∵
∴
∴．
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）由邻补角的概念结合已知条件可得，再利用同位角相等两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，再由垂直的概念可得，则可得，再根据角平分线的定义，得到，最后利用两直线平行同旁内角互补即可求出的度数．
21．【答案】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：25m+15n=250，
解得：，
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，
方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车1辆，B型车15辆．
（3）解：方案一获得利润：（万元）；
方案二获得利润：（万元）；
方案三获得利润：（万元）．
∵，
∴购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计105万元”，分别列出关于x，y的二元一次方程，然后联立方程组求解即可；
（2）根据总价=单价×数量，可以列出关于m，n的二元一次方程，然后结合m，n均为正整数分别试探，即可得出三种方案；
（3）结合（2）题的三种方案，分别计算即可。
（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+15n=250，
解得：，
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车1辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：（万元）；
方案二获得利润：（万元）；
方案三获得利润：（万元）．
∵，
∴购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元．
22．【答案】（1）解：∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2。
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2＝3b2 ab
∴S与x无关．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形 4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积。然后任选一种列出等量关系式即可；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后利用公式S阴影＝S正方形 4S基本图形，将字母代入变形计算即可；
（3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1 S2，即可证明m与x无关．
（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a b，
∴S阴影＝EH2＝(a b)2；
∴（a＋b）2 4ab＝（a b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，
∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2．
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2
＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b
＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2
＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2
＝3b2 ab
∴S与x无关．
23．【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
的度数为或，
如图2，当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质进行推导计算，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可以分别得出，，再利用平行线的性质即可求解；
②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
的度数为或，
如图2，当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
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