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四川省泸州市泸县太伏镇太伏初级中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·泸县期中）若二次根式有意义，则x能取的最小整数值是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．（2024八下·泸县期中）在平行四边形中，若，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·泸县期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．9，12，15
4．（2024八下·泸县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）.
A． B． C． D．
5．（2024八下·泸县期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·泸县期中）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（2024八下·泸县期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
8．（2024八下·泸县期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（ ）
A．28 B．18 C．14 D．24
9．（2024八下·泸县期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
10．（2024八下·泸县期中）如图，在中，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，连接DE，CF．若，则DE的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
11．（2024八下·泸县期中）如图，点在正方形的对角线上，且，点，分别在正方形的边，上，且，若正方形的边长为，则四边形的面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．3
12．（2024八下·泸县期中）如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（　　）
A． B． C． D．无法确定
13．（2024八下·泸县期中）在实数范围内分解因式 = 　 　
14．（2024八下·泸县期中）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 　 　．
15．（2024八下·泸县期中）如图，一块砖宽cm，长cm，CD上的点B距地面的高cm，地面上的A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是　 　cm.
16．（2024八下·泸县期中）如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是　 　.
17．（2024八下·泸县期中）计算：．
18．（2024八下·泸县期中）计算：
19．（2024八下·泸县期中）先化简：，再求值，其中．
20．（2024八下·泸县期中）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，与相等吗？说明理由．
21．（2024八下·泸县期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，BC⊥DC于点C．求四边形ABCD的面积．
22．（2024八下·泸县期中）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．
23．（2024八下·泸县期中）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
24．（2024八下·泸县期中）如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
25．（2024八下·泸县期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm，求DF的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3x﹣2≥0，
解得：x≥.
则x能取的最小整数值是：1．
故答案为：B．
【分析】直根据二次根式有意义的条件“被开放式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵，∴5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴1，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、∵，∴9，12，15能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】分别把选项中的三边平方后，验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方，再根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、==2，被开方数中含能开得尽方的因数，此本选项不符合题意；
B、，符合最简二次根式的定义，此本选项符合题意；
C、==，被开方数中含有分母，此本选项不符合题意；
D、=|a|，被开方数中含有能开尽方的因式，此本选项不符合题意.
故选B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．符合这两个条件的二次根式是最简二次根式.
根据最简二次根式的两个条件依次判断即可求解.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=6 ，所以A选项的计算错误；
B、5 与5 不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式=8 ，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类二次根式的方法，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘法法则，可对C作出判断；利用二次根式除法法则，可对D作出判断。
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
解：
，
即
，
∴
故答案为：A．
【分析】根据无理数的估算方法即可求解．
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】A.不正确，两组对边分别平行；
B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，，
故选：.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等、对角线互相平分”可得CD=AB，OC=AC，OD=BD，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解．
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】依题意，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，，
，
．
故选A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得=2CF可求得AB的长，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得DE=AB可求解．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过作于点，于点，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，平分，，
∴
又∵，，
∴
∴四边形是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
∴四边形的面积，
故答案为：．
【分析】过作于点，于点，由题意用角边角可证，根据全等三角形的面积相等可得S△EPM=S△EQN，然后根据四边形的面积等于正方形的面积即可求解．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形的两条边、的长分别为和，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：．
∴点到矩形的两条对角线和的距离之和是．
故答案为：．
【分析】连接，由题意，用勾股定理求得矩形的对角线AC、BD的值，由矩形的对角线相等且互相平分可得，然后由图形的构成可求解．
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解:x2 3=x2 ( )2=(x+ )(x ).
故答案为:(x+ )(x ).
【分析】根据二次根式的性质可知，任何一个正数都可以写成该数算术平方根的平方的形式，故3=，从而利用平方差公式分解即可.
14．【答案】24米
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为米．
故答案为：24米．
【分析】根据勾股定理计算旗杆的折断部分，然后由折断前旗杆的高度等于旗杆的折断部分+断裂处离地面的距离即可求解.
15．【答案】17
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图1所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．
在Rt△ABD中，
∵AD=AN+DN=5+10=15cm，BD=8cm，
∴AB=17(cm).
②如图2所示，
AB= (cm)
∵ >17，
∴需要爬行的最短路径是17cm.
【分析】要求不在同一平面内的两点间的最短距离，首先将立体图形展开有两种情况，根据两点之间线段最短可得线段AB的长即为A处到B处的最短路程，然后用勾股定理计算并比较两种情况AB的大小即可判断求解．
16．【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP(ASA)，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=AC=4，BO=BD=3，
由勾股定理得：AB= =5.
答：PE+PF的最小值为5.
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质可知N是AD中点，P与O重合，于是可得PE+PF=NF=AB，再Rt△AOB中，用勾股定理求出AB的长即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得2-2=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1，先然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
=6+6-9
=3．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】用乘法分配律和二次根式的乘法法则进行计算即可求解．
19．【答案】解：原式
．
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．【答案】解：．理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，即．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的判定"两组对边平行的四边形是平行四边形"可证四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”可求解．
21．【答案】解：连接BD，如图所示：
∵BC⊥DC，，，
∴，
在△ABD中，，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，用勾股定理可求得BD的值，根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，然后根据四边形ABCD的构成可求解．
22．【答案】解：过点G作GE⊥BD于E，
根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴AG＝EG，ED＝3，
∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝5，
设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD DE＝5 3＝2，BG＝AB AG＝4 x，
在Rt△BEG中，EG2＋BE2＝BG2，
即：x2＋22＝（4 x）2，
解得：x＝，
∴AG＝．
答：AG的长为.

【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】过点G作GE⊥BD于E，由折叠的性质可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得AG＝EG，设AG＝x，则GE＝x，在Rt△BEG中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
23．【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米，
∴AO＝＝4（米），
答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米．
（2）解：∵（米），米，
∴OD＝＝4（米），
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．
答：梯子的底端向右滑到D的距离为1米.
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中，用勾股定理计算即可求解；
（2）由线段的和差求出OC的长度，然后用勾股定理求出OD的长度，再根据线段的和差BD=OD-OB计算即可求解．
24．【答案】（1）证明：由题意知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由可知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”可求解；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，即为中点，结合已知可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由平行四边形的对边相等可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断四边形的形状.
25．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
即∠ABE＝∠DCE＝150°，
在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE；
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，
∵DC＝CE，∠DCE＝150°，
∴∠CDE＝∠CED＝15°，
∴∠ECG＝30°，
∵CB＝CD＝AB＝2，
∴EG＝1，CG＝，
在Rt△DGE中，DE＝，
在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠DEF＝30°，
∴DF＝DE＝（cm）．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证△ABE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）过点E作EG⊥CD于G，根据等腰三角形的性质得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，在Rt△DGE中，用勾股定理求得DE的长，在Rt△DEF中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得DF=DE可求解．
1 / 1四川省泸州市泸县太伏镇太伏初级中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·泸县期中）若二次根式有意义，则x能取的最小整数值是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3x﹣2≥0，
解得：x≥.
则x能取的最小整数值是：1．
故答案为：B．
【分析】直根据二次根式有意义的条件“被开放式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
2．（2024八下·泸县期中）在平行四边形中，若，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
3．（2024八下·泸县期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．9，12，15
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵，∴5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴1，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、∵，∴9，12，15能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】分别把选项中的三边平方后，验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方，再根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
4．（2024八下·泸县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、==2，被开方数中含能开得尽方的因数，此本选项不符合题意；
B、，符合最简二次根式的定义，此本选项符合题意；
C、==，被开方数中含有分母，此本选项不符合题意；
D、=|a|，被开方数中含有能开尽方的因式，此本选项不符合题意.
故选B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．符合这两个条件的二次根式是最简二次根式.
根据最简二次根式的两个条件依次判断即可求解.
5．（2024八下·泸县期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=6 ，所以A选项的计算错误；
B、5 与5 不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式=8 ，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类二次根式的方法，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘法法则，可对C作出判断；利用二次根式除法法则，可对D作出判断。
6．（2024八下·泸县期中）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
解：
，
即
，
∴
故答案为：A．
【分析】根据无理数的估算方法即可求解．
7．（2024八下·泸县期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】A.不正确，两组对边分别平行；
B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直
8．（2024八下·泸县期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（ ）
A．28 B．18 C．14 D．24
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，，
故选：.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等、对角线互相平分”可得CD=AB，OC=AC，OD=BD，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解．
9．（2024八下·泸县期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
10．（2024八下·泸县期中）如图，在中，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，连接DE，CF．若，则DE的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】依题意，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，，
，
．
故选A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得=2CF可求得AB的长，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得DE=AB可求解．
11．（2024八下·泸县期中）如图，点在正方形的对角线上，且，点，分别在正方形的边，上，且，若正方形的边长为，则四边形的面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过作于点，于点，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，平分，，
∴
又∵，，
∴
∴四边形是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
∴四边形的面积，
故答案为：．
【分析】过作于点，于点，由题意用角边角可证，根据全等三角形的面积相等可得S△EPM=S△EQN，然后根据四边形的面积等于正方形的面积即可求解．
12．（2024八下·泸县期中）如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形的两条边、的长分别为和，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：．
∴点到矩形的两条对角线和的距离之和是．
故答案为：．
【分析】连接，由题意，用勾股定理求得矩形的对角线AC、BD的值，由矩形的对角线相等且互相平分可得，然后由图形的构成可求解．
13．（2024八下·泸县期中）在实数范围内分解因式 = 　 　
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解:x2 3=x2 ( )2=(x+ )(x ).
故答案为:(x+ )(x ).
【分析】根据二次根式的性质可知，任何一个正数都可以写成该数算术平方根的平方的形式，故3=，从而利用平方差公式分解即可.
14．（2024八下·泸县期中）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 　 　．
【答案】24米
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为米．
故答案为：24米．
【分析】根据勾股定理计算旗杆的折断部分，然后由折断前旗杆的高度等于旗杆的折断部分+断裂处离地面的距离即可求解.
15．（2024八下·泸县期中）如图，一块砖宽cm，长cm，CD上的点B距地面的高cm，地面上的A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是　 　cm.
【答案】17
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图1所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．
在Rt△ABD中，
∵AD=AN+DN=5+10=15cm，BD=8cm，
∴AB=17(cm).
②如图2所示，
AB= (cm)
∵ >17，
∴需要爬行的最短路径是17cm.
【分析】要求不在同一平面内的两点间的最短距离，首先将立体图形展开有两种情况，根据两点之间线段最短可得线段AB的长即为A处到B处的最短路程，然后用勾股定理计算并比较两种情况AB的大小即可判断求解．
16．（2024八下·泸县期中）如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是　 　.
【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP(ASA)，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=AC=4，BO=BD=3，
由勾股定理得：AB= =5.
答：PE+PF的最小值为5.
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质可知N是AD中点，P与O重合，于是可得PE+PF=NF=AB，再Rt△AOB中，用勾股定理求出AB的长即可．
17．（2024八下·泸县期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得2-2=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1，先然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．（2024八下·泸县期中）计算：
【答案】解：
=6+6-9
=3．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】用乘法分配律和二次根式的乘法法则进行计算即可求解．
19．（2024八下·泸县期中）先化简：，再求值，其中．
【答案】解：原式
．
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．（2024八下·泸县期中）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，与相等吗？说明理由．
【答案】解：．理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，即．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的判定"两组对边平行的四边形是平行四边形"可证四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”可求解．
21．（2024八下·泸县期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，BC⊥DC于点C．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接BD，如图所示：
∵BC⊥DC，，，
∴，
在△ABD中，，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，用勾股定理可求得BD的值，根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，然后根据四边形ABCD的构成可求解．
22．（2024八下·泸县期中）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．
【答案】解：过点G作GE⊥BD于E，
根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴AG＝EG，ED＝3，
∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝5，
设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD DE＝5 3＝2，BG＝AB AG＝4 x，
在Rt△BEG中，EG2＋BE2＝BG2，
即：x2＋22＝（4 x）2，
解得：x＝，
∴AG＝．
答：AG的长为.

【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】过点G作GE⊥BD于E，由折叠的性质可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得AG＝EG，设AG＝x，则GE＝x，在Rt△BEG中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
23．（2024八下·泸县期中）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米，
∴AO＝＝4（米），
答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米．
（2）解：∵（米），米，
∴OD＝＝4（米），
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．
答：梯子的底端向右滑到D的距离为1米.
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中，用勾股定理计算即可求解；
（2）由线段的和差求出OC的长度，然后用勾股定理求出OD的长度，再根据线段的和差BD=OD-OB计算即可求解．
24．（2024八下·泸县期中）如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：由题意知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由可知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”可求解；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，即为中点，结合已知可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由平行四边形的对边相等可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断四边形的形状.
25．（2024八下·泸县期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm，求DF的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
即∠ABE＝∠DCE＝150°，
在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE；
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，
∵DC＝CE，∠DCE＝150°，
∴∠CDE＝∠CED＝15°，
∴∠ECG＝30°，
∵CB＝CD＝AB＝2，
∴EG＝1，CG＝，
在Rt△DGE中，DE＝，
在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠DEF＝30°，
∴DF＝DE＝（cm）．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证△ABE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）过点E作EG⊥CD于G，根据等腰三角形的性质得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，在Rt△DGE中，用勾股定理求得DE的长，在Rt△DEF中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得DF=DE可求解．
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