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浙江省舟山市定海区2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·定海月考）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表所示表，其中最低海拔最小的大洲是（　　）
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m -415 -28 -156 -40
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
2．（2025九下·定海月考）如图所示的几何体，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·定海月考）2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名。其中149亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·定海月考）下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025九下·定海月考）不等式3（1-x）＞2-4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·定海月考）某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025九下·定海月考）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标(　　)
A． B． C． D．
8．（2025九下·定海月考）直线与正六边形的边分别相交于点，，如图所示，则(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九下·定海月考）如图，在中，，，分别为，的中点，将绕点顺时针旋转形成，连结若，时，则为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025九下·定海月考）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
11．（2025九下·定海月考）因式分解：　 　．
12．（2025九下·定海月考）若则　 　
13．（2025九下·定海月考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是　 　.
14．（2025九下·定海月考）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为　 　．
15．（2025九下·定海月考）如图，是的内接三角形，若，，则　 　．
16．（2025九下·定海月考）如图，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连结并延长交于点，再将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，四边形的面积为，则的值为　 　
17．（2025九下·定海月考）计算：
18．（2025九下·定海月考）解方程组：．
19．（2025九下·定海月考）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请计算本次调查活动随机抽取的人数及b的值；
（2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
20．（2025九下·定海月考）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点，，，
（1）求的长；
（2）若，求的值
21．（2025九下·定海月考）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．（2025九下·定海月考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目：
（1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
（3）进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论．
23．（2025九下·定海月考）在平面直角坐标系中，点和在抛物线常数上．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）求证：
（3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标的取值范围．
24．（2025九下·定海月考）如图，为的直径，射线与相切于点，点为射线上的一个动点，交于点．
（1）若，，垂足为，连接．
求的度数及的值．
求证：
（2）连接，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵-415<-156<-40<-28，
∴最低海拔最小的大洲是亚洲，
故答案为：A.
【分析】通过比较四个大洲的最低海拔，也就是四个数的大小，据此即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看所得的图形是叠放的两个长方形，上面一个小的，下面一个大的.
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵149亿=14900000000，
∴14900000000=1.49×1010，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加；
B、同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：去括号，得：3-3x＞2-4x，
移项，得：-3x+4x＞2-3，
合并，得：x＞-1，
故答案为：A．
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：该数据共有6个数，其中35排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，且平均数，方差均受到影响，
因为其中45有两个，污损的数字十位数是4，
所以众数不受影响，
故答案为：C．
【分析】利用平均数，中位数，众数，方差的定义解答即可．
7．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点A、C作AMx轴、CNx轴，垂足分别为M、N.
点在第三象限
故答案为：B.
【分析】位似三角形是相似三角形，其相似比等于位似比，对应高的比等于相似比，因此可分别分别过点A、C作AMx轴、CNx轴，垂足分别为M、N，则利用相似比结合点C的位置可得出其坐标.
8．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形ABCDEF是正六边形
四边形的内角和为
故答案为：B.
【分析】先由故正六边形的性质可求出其每一个内角都是120度，再由四边形的内角和是360度，则可得出与的对顶角的和为120度，则.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作AE`的垂线交AE`的延长线于点F，则.
四边形ACBF是矩形
设，则
分别是BC、AB中点
由旋转的性质知：
故答案为：B.
【分析】由于AE`平行BC且等于90度，因此可过点B作AE`的垂线交AE`的延长线于点F，则可证四边形ACBF是矩形，从而将BC转化到AF上；此时再利用旋转的性质及矩形的性质可证，此时可设AC等于m，可利用中位线的性质及已知条件可分别求出FE`及AF的长，则的值可求.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】因式分解的一般策略是“一提二套”，即有公因式先提公因式，再考虑套用乘法公式，直到每一个因式不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2（x+2）=x-1
解方程得：x=-5
经检验，x=-5是原分式方程的根
故答案为：-5.
【分析】解分式方程的一般步骤是，去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，再验根，若最简公分母不等于0，则这个根也是原分式方程的根；反之，这个根是增根应舍去，则原分式方程无解.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 2 3 5
2 　 5 7
3 5 　 8
5 7 8 　
∴共有6种等可能结果，其中和是偶数的有2种，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是，
故答案为：.
【分析】利用列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中和是偶数的结果数，进而利用概率公式进行计算即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥母线为，高为，底面圆的半径为
故答案为：.
【分析】由于圆锥的底面周长等于侧面展开扇形所对的弧长，可先求出母线长；又因为圆锥的高与底面半径和母线围成一个直角三角形，因此可利用勾股定理即可求得高.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB.
故答案为：.
【分析】由于两直线平行内错角相等，因此等于为，由于等于与的差，因此可连接OB构造等腰，则由圆心角定理可得等于的2倍，再利用等腰三角形的内角和可得，则可求.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作于点K，设EF交DH于点M，GH交BF于点N，正方形ABCD的边长为2a.
四边形ABCD是正方形
是AD中点
由折叠的性质知：
四边形EBGD是平行四边形
四边形HNFM是矩形
同理：
故答案为：.
【分析】如图所示，过点G作于点K，设EF交DH于点M，GH交BF于点N，正方形ABCD的边长为2a；由正方形的性质结合折叠的性质可得四边形BEDG是平行四边形，由于点E是AB的中点，则点G也是BC中点，则S2是正方形面积的一半，与的面积相等都是正方形ABCD面积的；下来关键是求S1的面积，此时可利用等腰三角形的性质结合平角的概念可证HG平行EF，由折叠的性质可证重叠部分为矩形，即四边形HNFM是矩形，此时可利用勾股定理求出BE，再利用平行四边形的面积公式求出GK，再利用勾股定理求BK的长，由于等腰三角形三线合一，则HK等于BK，则BH可知，EH可知，由于矩形的对边平行，可证明和，从而利用面积比等于相似比可分别得出和的面积，则S1可求，的值也可求.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用绝对值化简、负整数指数幂及开立方的运算法则.
18．【答案】解：
得，，解得，．
将代入得．
方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法求解.
19．【答案】（1）解：解：本次调查活动随机抽取的人数为：（人），
，
∴；
答：本次调查活动随机抽取的人数为人，；
（2）解：本次调查活动喜欢混动类的人数为：（人）
∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：；
答：“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人），∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图与条形统计图，可用喜欢纯电的人数除以所占的百分比可得到样本容量，再用氢燃料人数除以样本容量即可求出的值；
（2）先用样本容量分别减去纯电、氢燃料及油车人数可得到混动人数，再用乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（3）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解．
（1）解：本次调查活动随机抽取的人数为：
（人），
，
∴；
（2）解：本次调查活动喜欢混动类的人数为：
（人）
∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：
；
（3）解：（人），
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
20．【答案】（1）解：为边的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由于两直线平行内错角相等，再由中点的概念可利用“AAS”或“ASA”证明，从而得出BE等于AC；
（2）若，则AD垂直平分BC，所以AB等于AC等于BE，此时先解求出AD的长，再利用勾股定理可求出BD的长，最后解即可.
21．【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，则：，解得：，
∴．
（3）解：解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴这辆汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
【分析】
（1）由时间等于路程除以平均速度即可；
（2）由于已知直线上两点坐标，可利用待定系数法求解即可；
（3）只需求出先匀速行驶小时的速度，再与限速的120进行比较即可．
（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴辆汽车减速前没有超速．
22．【答案】（1）解：如图所示，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，，下图即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【分析】
（1）由于点O是A中点，可作AC的垂直平分线即可；
（2）由于矩形的对边平行，则两直线平行内错角相等，又点O平分AC，则可以利用AAS来证明，则有，显然对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
（3）证明方法同（2）．
（1）解：如图所示，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，，下图即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
23．【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为；
（2）证明：点和在抛物线上，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，则点，
由得抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线顶点坐标，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
点，
设解析式为，
解得：
解析式为，
设线段向右平移个单位，
，
联立得：
整理得：，
，
，
平移后的解析式为，
当时，，
，
即此时的横坐标为，
当线段向左移动个单位时，即向左移个单位，
此时，的横坐标为，
综上，点横坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴为，而已知，则对称轴可直接写出；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出和，再计算之积可得到关于的二次三项式，应用配方法可将其表示成一个完全平方式的倍数与的和，由于完全平方式是非负数，则；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征可把点A（1，2）代入到抛物线解析式中求得，则抛物线解析式可得；再代入点B的横坐标可得到的值，即B点坐标可得，再利用待定系数法可求出线段AB的解析式；由于该线段与抛物线最少有一个交点，可分两种情况进行讨论，先设向右平移个单位长度时，此时可设出线段AB平移后的线段A`B`的解析式，则联立得到关于的一元二次方程，再令判别式即可求出A`B`的解析式，令函数值等于2可求出此时A`的横坐标；向左平移相对简单，当B`落在抛物线与y轴的交点上时，即线段AB向左平移了2个单位长度，此时可直接写出A`的横坐标.
24．【答案】（1）解：，且是的直径，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
过点作，交延长线于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，连接.
是的直径，
，
即的最大值为．
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由切线的性质知，AC垂直AB，又AC等于AB，则是等腰直角三角形，即等于；由于，则和都等于的正切值，显然等于等于；
由于OA等于OB，因此可过点B作AE的平行线交EO的延长线于点N，显然可证，由全等的性质结合可证为等腰直角三角形，且等于等于，则可得等于等于，且等于等于，则两组角对应相等两三角形相似，即；
（2）可过点D作直径AB的垂线段DE，连接OD，则DE的最大值为OD；此时显然可利用同角余角相等结合两直角相等两三角形相似证得，从而将转化为的比，由于DE的最大值为OD，即的最大值为.
1 / 1浙江省舟山市定海区2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·定海月考）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表所示表，其中最低海拔最小的大洲是（　　）
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m -415 -28 -156 -40
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵-415<-156<-40<-28，
∴最低海拔最小的大洲是亚洲，
故答案为：A.
【分析】通过比较四个大洲的最低海拔，也就是四个数的大小，据此即可得到答案.
2．（2025九下·定海月考）如图所示的几何体，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看所得的图形是叠放的两个长方形，上面一个小的，下面一个大的.
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．
3．（2025九下·定海月考）2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名。其中149亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵149亿=14900000000，
∴14900000000=1.49×1010，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可得到答案.
4．（2025九下·定海月考）下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加；
B、同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变.
5．（2025九下·定海月考）不等式3（1-x）＞2-4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：去括号，得：3-3x＞2-4x，
移项，得：-3x+4x＞2-3，
合并，得：x＞-1，
故答案为：A．
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
6．（2025九下·定海月考）某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：该数据共有6个数，其中35排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，且平均数，方差均受到影响，
因为其中45有两个，污损的数字十位数是4，
所以众数不受影响，
故答案为：C．
【分析】利用平均数，中位数，众数，方差的定义解答即可．
7．（2025九下·定海月考）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点A、C作AMx轴、CNx轴，垂足分别为M、N.
点在第三象限
故答案为：B.
【分析】位似三角形是相似三角形，其相似比等于位似比，对应高的比等于相似比，因此可分别分别过点A、C作AMx轴、CNx轴，垂足分别为M、N，则利用相似比结合点C的位置可得出其坐标.
8．（2025九下·定海月考）直线与正六边形的边分别相交于点，，如图所示，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形ABCDEF是正六边形
四边形的内角和为
故答案为：B.
【分析】先由故正六边形的性质可求出其每一个内角都是120度，再由四边形的内角和是360度，则可得出与的对顶角的和为120度，则.
9．（2025九下·定海月考）如图，在中，，，分别为，的中点，将绕点顺时针旋转形成，连结若，时，则为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作AE`的垂线交AE`的延长线于点F，则.
四边形ACBF是矩形
设，则
分别是BC、AB中点
由旋转的性质知：
故答案为：B.
【分析】由于AE`平行BC且等于90度，因此可过点B作AE`的垂线交AE`的延长线于点F，则可证四边形ACBF是矩形，从而将BC转化到AF上；此时再利用旋转的性质及矩形的性质可证，此时可设AC等于m，可利用中位线的性质及已知条件可分别求出FE`及AF的长，则的值可求.
10．（2025九下·定海月考）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
11．（2025九下·定海月考）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】因式分解的一般策略是“一提二套”，即有公因式先提公因式，再考虑套用乘法公式，直到每一个因式不能再分解为止.
12．（2025九下·定海月考）若则　 　
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2（x+2）=x-1
解方程得：x=-5
经检验，x=-5是原分式方程的根
故答案为：-5.
【分析】解分式方程的一般步骤是，去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，再验根，若最简公分母不等于0，则这个根也是原分式方程的根；反之，这个根是增根应舍去，则原分式方程无解.
13．（2025九下·定海月考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 2 3 5
2 　 5 7
3 5 　 8
5 7 8 　
∴共有6种等可能结果，其中和是偶数的有2种，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是，
故答案为：.
【分析】利用列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中和是偶数的结果数，进而利用概率公式进行计算即可.
14．（2025九下·定海月考）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥母线为，高为，底面圆的半径为
故答案为：.
【分析】由于圆锥的底面周长等于侧面展开扇形所对的弧长，可先求出母线长；又因为圆锥的高与底面半径和母线围成一个直角三角形，因此可利用勾股定理即可求得高.
15．（2025九下·定海月考）如图，是的内接三角形，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB.
故答案为：.
【分析】由于两直线平行内错角相等，因此等于为，由于等于与的差，因此可连接OB构造等腰，则由圆心角定理可得等于的2倍，再利用等腰三角形的内角和可得，则可求.
16．（2025九下·定海月考）如图，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连结并延长交于点，再将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，四边形的面积为，则的值为　 　
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作于点K，设EF交DH于点M，GH交BF于点N，正方形ABCD的边长为2a.
四边形ABCD是正方形
是AD中点
由折叠的性质知：
四边形EBGD是平行四边形
四边形HNFM是矩形
同理：
故答案为：.
【分析】如图所示，过点G作于点K，设EF交DH于点M，GH交BF于点N，正方形ABCD的边长为2a；由正方形的性质结合折叠的性质可得四边形BEDG是平行四边形，由于点E是AB的中点，则点G也是BC中点，则S2是正方形面积的一半，与的面积相等都是正方形ABCD面积的；下来关键是求S1的面积，此时可利用等腰三角形的性质结合平角的概念可证HG平行EF，由折叠的性质可证重叠部分为矩形，即四边形HNFM是矩形，此时可利用勾股定理求出BE，再利用平行四边形的面积公式求出GK，再利用勾股定理求BK的长，由于等腰三角形三线合一，则HK等于BK，则BH可知，EH可知，由于矩形的对边平行，可证明和，从而利用面积比等于相似比可分别得出和的面积，则S1可求，的值也可求.
17．（2025九下·定海月考）计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用绝对值化简、负整数指数幂及开立方的运算法则.
18．（2025九下·定海月考）解方程组：．
【答案】解：
得，，解得，．
将代入得．
方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法求解.
19．（2025九下·定海月考）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请计算本次调查活动随机抽取的人数及b的值；
（2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【答案】（1）解：解：本次调查活动随机抽取的人数为：（人），
，
∴；
答：本次调查活动随机抽取的人数为人，；
（2）解：本次调查活动喜欢混动类的人数为：（人）
∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：；
答：“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人），∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图与条形统计图，可用喜欢纯电的人数除以所占的百分比可得到样本容量，再用氢燃料人数除以样本容量即可求出的值；
（2）先用样本容量分别减去纯电、氢燃料及油车人数可得到混动人数，再用乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（3）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解．
（1）解：本次调查活动随机抽取的人数为：
（人），
，
∴；
（2）解：本次调查活动喜欢混动类的人数为：
（人）
∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：
；
（3）解：（人），
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
20．（2025九下·定海月考）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点，，，
（1）求的长；
（2）若，求的值
【答案】（1）解：为边的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由于两直线平行内错角相等，再由中点的概念可利用“AAS”或“ASA”证明，从而得出BE等于AC；
（2）若，则AD垂直平分BC，所以AB等于AC等于BE，此时先解求出AD的长，再利用勾股定理可求出BD的长，最后解即可.
21．（2025九下·定海月考）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，则：，解得：，
∴．
（3）解：解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴这辆汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
【分析】
（1）由时间等于路程除以平均速度即可；
（2）由于已知直线上两点坐标，可利用待定系数法求解即可；
（3）只需求出先匀速行驶小时的速度，再与限速的120进行比较即可．
（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴辆汽车减速前没有超速．
22．（2025九下·定海月考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目：
（1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
（3）进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论．
【答案】（1）解：如图所示，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，，下图即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【分析】
（1）由于点O是A中点，可作AC的垂直平分线即可；
（2）由于矩形的对边平行，则两直线平行内错角相等，又点O平分AC，则可以利用AAS来证明，则有，显然对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
（3）证明方法同（2）．
（1）解：如图所示，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，，下图即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
23．（2025九下·定海月考）在平面直角坐标系中，点和在抛物线常数上．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）求证：
（3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为；
（2）证明：点和在抛物线上，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，则点，
由得抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线顶点坐标，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
点，
设解析式为，
解得：
解析式为，
设线段向右平移个单位，
，
联立得：
整理得：，
，
，
平移后的解析式为，
当时，，
，
即此时的横坐标为，
当线段向左移动个单位时，即向左移个单位，
此时，的横坐标为，
综上，点横坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴为，而已知，则对称轴可直接写出；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出和，再计算之积可得到关于的二次三项式，应用配方法可将其表示成一个完全平方式的倍数与的和，由于完全平方式是非负数，则；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征可把点A（1，2）代入到抛物线解析式中求得，则抛物线解析式可得；再代入点B的横坐标可得到的值，即B点坐标可得，再利用待定系数法可求出线段AB的解析式；由于该线段与抛物线最少有一个交点，可分两种情况进行讨论，先设向右平移个单位长度时，此时可设出线段AB平移后的线段A`B`的解析式，则联立得到关于的一元二次方程，再令判别式即可求出A`B`的解析式，令函数值等于2可求出此时A`的横坐标；向左平移相对简单，当B`落在抛物线与y轴的交点上时，即线段AB向左平移了2个单位长度，此时可直接写出A`的横坐标.
24．（2025九下·定海月考）如图，为的直径，射线与相切于点，点为射线上的一个动点，交于点．
（1）若，，垂足为，连接．
求的度数及的值．
求证：
（2）连接，求的最大值．
【答案】（1）解：，且是的直径，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
过点作，交延长线于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，连接.
是的直径，
，
即的最大值为．
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由切线的性质知，AC垂直AB，又AC等于AB，则是等腰直角三角形，即等于；由于，则和都等于的正切值，显然等于等于；
由于OA等于OB，因此可过点B作AE的平行线交EO的延长线于点N，显然可证，由全等的性质结合可证为等腰直角三角形，且等于等于，则可得等于等于，且等于等于，则两组角对应相等两三角形相似，即；
（2）可过点D作直径AB的垂线段DE，连接OD，则DE的最大值为OD；此时显然可利用同角余角相等结合两直角相等两三角形相似证得，从而将转化为的比，由于DE的最大值为OD，即的最大值为.
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