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2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级中考一模数学试题
1．（2025·开福模拟）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·开福模拟）下列实数中，比小的是（　　）
A． B．0 C． D．
3．（2025·开福模拟）为视障和听障群体提供实时节目解读和详实的背景导赏，总台2025年春晚首次推出的无障碍转播．截至1月29日8时，无障碍转播及报道全媒体触达5897万人次，将5897万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·开福模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·开福模拟）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·开福模拟）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025·开福模拟）将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为(，3)，则点P的坐标为（ ）
A．( -1，3) B．(，1) C．(2，5) D．(1，0)
8．（2025·开福模拟）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·开福模拟）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．（2025·开福模拟）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
11．（2025·开福模拟）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是　 　（填“甲”或“乙”或“丙”）
12．（2025·开福模拟）当x　 　时，分式 有意义．
13．（2025·开福模拟）如图，已知，交于，，，则的长为　 　．
14．（2025·开福模拟）从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是　 　．
15．（2025·开福模拟）若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为　 　cm2
16．（2025·开福模拟）小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下：
第一步：从左叠拿本放入中间；
第二步：从右叠拿本放入中间；
第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠．
请问最终中间叠剩下的练习本数量为　 　．
17．（2025·开福模拟）计算：
18．（2025·开福模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·开福模拟）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离. (精确到0.01 m；）
20．（2025·开福模拟）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）①此次共调查了___________人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为___________；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
21．（2025·开福模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）证明：；
（2）已知，求的长．
22．（2025·开福模拟）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．
（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；
（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
23．（2025·开福模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
24．（2025·开福模拟）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为．
（1）若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标；
（2）若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值；
（3）若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值．
25．（2025·开福模拟）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点．
①求的最大值；
②连接，若与相似，求点坐标；
③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义“一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形”逐项判断解题即可．
2．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5897万；
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为小数点向左移动的位数．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原式计算正确，选项A符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，选项B不符合题意；
C、，故原式计算错误，选项C不符合题意；
D、，故原式计算错误，选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、二次根式的加法法则及完全平方公式逐项计算并判断即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是外角的平分线，，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义得到，然后利用三角形外角解答即可．
6．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：．
【分析】利用中位数的意义解答即可．
7．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：把点Q向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，则对应点P点的横坐标为-1+3=2；纵坐标为3+2=5；
∴点P的坐标为（2，5），
故答案为：C．
【分析】根据点的平移特征“左减右加，上加下减”解答即可．
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：内接于圆，点在上，连接，．
，
，
故答案为：C．
【分析】根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”解答即可．
9．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，依题意，一次函数的，
∴随的增大而增大，
∵点在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的增减性解答即可．
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：A ．
【分析】根据折叠的性质可得，，然后利用含的直角三角形的性质和勾股定理求出x值即可．
11．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于三人的平均成绩都是环，且，
所以乙的训练成绩更稳定；
故答案为：乙．
【分析】根据“方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定”解答即可．
12．【答案】≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：≠1．
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0可得：x﹣1≠0，解可得答案．
13．【答案】9
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故答案为：9．
【分析】由“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，结合已知即可求解．
14．【答案】
【知识点】概率公式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意知，当时，二次函数图象开口向上；
而五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，
所以二次函数图象开口向上的概率为；
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象性质知时，函数图象开口向上得到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算解题即可．
15．【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径为 ，母线长为
根据圆锥的侧面积公式：
故答案为：。
【分析】利用圆锥的侧面积公式 解答即可.
16．【答案】本
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由分布左、中、右三堆练习本，每堆牌不少于本，且各堆练习本的本数相同，
设练习本共有本，则每堆练习本本（），
第一步：从左叠拿本放入中间，
则左：（本），中：（本），右本；
第二步：从右叠拿本放入中间，
则左：（本），中：（本），右（本）；
第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠，
则左：（本），中：（本），右（本）；
所以，中间一堆练习本现有的本数为（本），
故答案为：本．
【分析】设练习本共有本，按照题目要求操作列代数式解题即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、二次根式的化简、负整数指数幂、绝对值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．【答案】解：原式
当时
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把小括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，分母、分子分解因式后约分化简，然后代入数值计算解题．
19．【答案】解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴AD﹦20×sin 60°﹦10≈17.32m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，
∴BE﹦24×sin 45°﹦12≈16.97
∵17.32>16.97
∴风筝A比风筝B离地面更高．
（2）在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴DC﹦20×cos 60°﹦10 m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m
∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E，然后利用正弦的定义求出AD和BE长，比较解题即可；
（2）在Rt△ADC中运用余弦的定义求出DC长，然后在Rt△BEC中求出EC长，再求差解题即可.
20．【答案】（1）解：①；；
②
类的人数为：（人），
∴补全条形统计图如图所示：
；
（2）解：列表如下：
由图可得：共有16种等可能的结果，其中满足条件的结果数有AA，BB，CC，DD，共有4种，
故抽取到的两张卡片内容一致的概率为 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）①此次共调查的人数为：人，
扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，90；
【分析】（1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的百分比即可得出对应的圆心角度数；
（1）②用总人数－其他各类的人数，即可得到类的人数，再补全条形统计图即可；
（2）画树状图表示出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
；
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
答：CD的长为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平分得到，由得到，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）由可得比例式，，在Rt△ABC中，用勾股定理求得，由比例式可得关于CD的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
22．【答案】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种水果每件的进价为元，根据“ 花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件 ”列分式方程解题即可；
（2）设购进甲种水果件，由题意列一元一次不等式求出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，得到w关于m的一次函数，利用函数的增减性解题．
（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，
由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
23．【答案】（1）解：连接AD，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AD，由平行线的性质可证，即圆心O到EF的距离为OD，然后根据圆的性质得OD=AB即可求解；
（2）设，求出，作交AB于点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得DH的值，然后根据锐角三角函数sin∠BOD=求得DO=OA的值，再由阴影部分的面积的构成S阴影=S△AOD+S扇形BOD可求解．
24．【答案】（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）解：∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；切线的性质
【解析】【分析】（）联立两直线的解析式，求出交点坐标即可；
（）联立联直线和双曲线的解析式，整理可得，再分为和两种情况，求出的值解题；
（）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，根据关联点的坐标为，即可得到抛物线解析式和直线的解析式，联立两解析式，求出交点的坐标，设圆的半径为，根据圆与轴相切得到方程，解方程求出的值即可．
（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，
∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）设，①∵，，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，得值最大为：；
②∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当与相似时，也为等腰直角三角形：
当时，则：，
∴轴，
即：关于对称轴对称，
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴；
当时，过点作，则：，
由①知：，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
综上：或；
③是定值：
∵，
∴，
∴，，
由②可知：，
设过点的直线为：，
联立，解得：
或，
不妨设，，
设过点的直线解析式为：，
当时，，
把代入，得：，
解得：，
∴，
同理：当点在上时，
∴，
由题意可知：点分别在点的两旁，
不妨设点在点的左边，点在点的右边，
则：，，
∴；
∴是定值，为16．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用交点式求出二次函数的解析式即可；
（2）①先求出直线的解析式，然后设点坐标，即可得到点F的坐标，表示的长，化为顶点式得到最值即可；
②先得到为等腰直角三角形，利用相似得到也为等腰直角三角形，分为或两种情况列方程解题即可；
③求出的坐标，设过点的直线为，联立直线和抛物线的解析式得到交点的坐标，同理得到点的坐标，即可得到的值计算解题．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）设，
①∵，，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，得值最大为：；
②∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当与相似时，也为等腰直角三角形：
当时，则：，
∴轴，
即：关于对称轴对称，
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴；
当时，过点作，则：，
由①知：，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
综上：或；
③是定值：
∵，
∴，
∴，，
由②可知：，
设过点的直线为：，
联立，解得：
或，
不妨设，，
设过点的直线解析式为：，
当时，，
把代入，得：，
解得：，
∴，
同理：当点在上时，
∴，
由题意可知：点分别在点的两旁，
不妨设点在点的左边，点在点的右边，
则：，，
∴；
∴是定值，为16．
1 / 12025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级中考一模数学试题
1．（2025·开福模拟）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义“一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形”逐项判断解题即可．
2．（2025·开福模拟）下列实数中，比小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”解答即可．
3．（2025·开福模拟）为视障和听障群体提供实时节目解读和详实的背景导赏，总台2025年春晚首次推出的无障碍转播．截至1月29日8时，无障碍转播及报道全媒体触达5897万人次，将5897万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5897万；
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为小数点向左移动的位数．
4．（2025·开福模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原式计算正确，选项A符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，选项B不符合题意；
C、，故原式计算错误，选项C不符合题意；
D、，故原式计算错误，选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、二次根式的加法法则及完全平方公式逐项计算并判断即可．
5．（2025·开福模拟）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是外角的平分线，，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义得到，然后利用三角形外角解答即可．
6．（2025·开福模拟）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：．
【分析】利用中位数的意义解答即可．
7．（2025·开福模拟）将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为(，3)，则点P的坐标为（ ）
A．( -1，3) B．(，1) C．(2，5) D．(1，0)
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：把点Q向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，则对应点P点的横坐标为-1+3=2；纵坐标为3+2=5；
∴点P的坐标为（2，5），
故答案为：C．
【分析】根据点的平移特征“左减右加，上加下减”解答即可．
8．（2025·开福模拟）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：内接于圆，点在上，连接，．
，
，
故答案为：C．
【分析】根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”解答即可．
9．（2025·开福模拟）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，依题意，一次函数的，
∴随的增大而增大，
∵点在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的增减性解答即可．
10．（2025·开福模拟）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：A ．
【分析】根据折叠的性质可得，，然后利用含的直角三角形的性质和勾股定理求出x值即可．
11．（2025·开福模拟）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是　 　（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于三人的平均成绩都是环，且，
所以乙的训练成绩更稳定；
故答案为：乙．
【分析】根据“方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定”解答即可．
12．（2025·开福模拟）当x　 　时，分式 有意义．
【答案】≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：≠1．
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0可得：x﹣1≠0，解可得答案．
13．（2025·开福模拟）如图，已知，交于，，，则的长为　 　．
【答案】9
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故答案为：9．
【分析】由“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，结合已知即可求解．
14．（2025·开福模拟）从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意知，当时，二次函数图象开口向上；
而五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，
所以二次函数图象开口向上的概率为；
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象性质知时，函数图象开口向上得到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算解题即可．
15．（2025·开福模拟）若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为　 　cm2
【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径为 ，母线长为
根据圆锥的侧面积公式：
故答案为：。
【分析】利用圆锥的侧面积公式 解答即可.
16．（2025·开福模拟）小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下：
第一步：从左叠拿本放入中间；
第二步：从右叠拿本放入中间；
第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠．
请问最终中间叠剩下的练习本数量为　 　．
【答案】本
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由分布左、中、右三堆练习本，每堆牌不少于本，且各堆练习本的本数相同，
设练习本共有本，则每堆练习本本（），
第一步：从左叠拿本放入中间，
则左：（本），中：（本），右本；
第二步：从右叠拿本放入中间，
则左：（本），中：（本），右（本）；
第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠，
则左：（本），中：（本），右（本）；
所以，中间一堆练习本现有的本数为（本），
故答案为：本．
【分析】设练习本共有本，按照题目要求操作列代数式解题即可．
17．（2025·开福模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、二次根式的化简、负整数指数幂、绝对值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．（2025·开福模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把小括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，分母、分子分解因式后约分化简，然后代入数值计算解题．
19．（2025·开福模拟）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离. (精确到0.01 m；）
【答案】解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴AD﹦20×sin 60°﹦10≈17.32m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，
∴BE﹦24×sin 45°﹦12≈16.97
∵17.32>16.97
∴风筝A比风筝B离地面更高．
（2）在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴DC﹦20×cos 60°﹦10 m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m
∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E，然后利用正弦的定义求出AD和BE长，比较解题即可；
（2）在Rt△ADC中运用余弦的定义求出DC长，然后在Rt△BEC中求出EC长，再求差解题即可.
20．（2025·开福模拟）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）①此次共调查了___________人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为___________；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）解：①；；
②
类的人数为：（人），
∴补全条形统计图如图所示：
；
（2）解：列表如下：
由图可得：共有16种等可能的结果，其中满足条件的结果数有AA，BB，CC，DD，共有4种，
故抽取到的两张卡片内容一致的概率为 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）①此次共调查的人数为：人，
扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，90；
【分析】（1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的百分比即可得出对应的圆心角度数；
（1）②用总人数－其他各类的人数，即可得到类的人数，再补全条形统计图即可；
（2）画树状图表示出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
；
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
21．（2025·开福模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）证明：；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
答：CD的长为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平分得到，由得到，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）由可得比例式，，在Rt△ABC中，用勾股定理求得，由比例式可得关于CD的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
22．（2025·开福模拟）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．
（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；
（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
【答案】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种水果每件的进价为元，根据“ 花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件 ”列分式方程解题即可；
（2）设购进甲种水果件，由题意列一元一次不等式求出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，得到w关于m的一次函数，利用函数的增减性解题．
（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，
由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
23．（2025·开福模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）解：连接AD，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AD，由平行线的性质可证，即圆心O到EF的距离为OD，然后根据圆的性质得OD=AB即可求解；
（2）设，求出，作交AB于点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得DH的值，然后根据锐角三角函数sin∠BOD=求得DO=OA的值，再由阴影部分的面积的构成S阴影=S△AOD+S扇形BOD可求解．
24．（2025·开福模拟）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为．
（1）若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标；
（2）若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值；
（3）若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值．
【答案】（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）解：∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；切线的性质
【解析】【分析】（）联立两直线的解析式，求出交点坐标即可；
（）联立联直线和双曲线的解析式，整理可得，再分为和两种情况，求出的值解题；
（）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，根据关联点的坐标为，即可得到抛物线解析式和直线的解析式，联立两解析式，求出交点的坐标，设圆的半径为，根据圆与轴相切得到方程，解方程求出的值即可．
（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，
∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
25．（2025·开福模拟）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点．
①求的最大值；
②连接，若与相似，求点坐标；
③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）设，①∵，，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，得值最大为：；
②∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当与相似时，也为等腰直角三角形：
当时，则：，
∴轴，
即：关于对称轴对称，
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴；
当时，过点作，则：，
由①知：，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
综上：或；
③是定值：
∵，
∴，
∴，，
由②可知：，
设过点的直线为：，
联立，解得：
或，
不妨设，，
设过点的直线解析式为：，
当时，，
把代入，得：，
解得：，
∴，
同理：当点在上时，
∴，
由题意可知：点分别在点的两旁，
不妨设点在点的左边，点在点的右边，
则：，，
∴；
∴是定值，为16．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用交点式求出二次函数的解析式即可；
（2）①先求出直线的解析式，然后设点坐标，即可得到点F的坐标，表示的长，化为顶点式得到最值即可；
②先得到为等腰直角三角形，利用相似得到也为等腰直角三角形，分为或两种情况列方程解题即可；
③求出的坐标，设过点的直线为，联立直线和抛物线的解析式得到交点的坐标，同理得到点的坐标，即可得到的值计算解题．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）设，
①∵，，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，得值最大为：；
②∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当与相似时，也为等腰直角三角形：
当时，则：，
∴轴，
即：关于对称轴对称，
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴；
当时，过点作，则：，
由①知：，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
综上：或；
③是定值：
∵，
∴，
∴，，
由②可知：，
设过点的直线为：，
联立，解得：
或，
不妨设，，
设过点的直线解析式为：，
当时，，
把代入，得：，
解得：，
∴，
同理：当点在上时，
∴，
由题意可知：点分别在点的两旁，
不妨设点在点的左边，点在点的右边，
则：，，
∴；
∴是定值，为16．
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