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湖南省娄底市2025年中考一模数学试题
1．（2025·娄底模拟）在，，0，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·娄底模拟）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·娄底模拟）一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·娄底模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2025·娄底模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·娄底模拟）若是一个锐角，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·娄底模拟）下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·娄底模拟）下列命题中错误的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．两点确定一条直线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（2025·娄底模拟）随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是 B．平均数是
C．中位数是 D．的权数是
10．（2025·娄底模拟）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．（2025·娄底模拟）计算：　 　．
12．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是　 　.
13．（2025·娄底模拟）如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
14．（2025·娄底模拟）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　．
15．（2025·娄底模拟）在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是　 　班.
　 人数 平均数 中位数 方差
甲班 45 82 91 19.3
乙班 45 87 89 5.8
16．（2025·娄底模拟）如图，，，，则　 　
17．（2025·娄底模拟）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍　 　根．
18．（2025·娄底模拟）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为　 　．
19．（2025·娄底模拟）计算：
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·娄底模拟）某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
22．（2025·娄底模拟）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
23．（2025·娄底模拟）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
（1）点出发几秒后，可使的面积为？
（2）点出发几秒后，？
24．（2025·娄底模拟）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，．
（1）求点的坐标；
（2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？
25．（2025·娄底模拟）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
26．（2025·娄底模拟）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
这四个数中，最小的数是，
故答案为：A．
【分析】根据实数的比较大小法则“负数大的反而小，0大于一切负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小”解答即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵
∴一元二次方程的根的情况是无实数根，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故答案为：B.
【分析】先利用移项，合并同类项、系数化为1解一元一次不等式组，然后在数轴上表示不等式的解集即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图所示：
设，
∵，
∴，
设，
则，
∴．
故答案为：C．
【分析】设，根据勾股定理得到AC长，然后根据余弦的定义解答即可．
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
B．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
C．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
D．，原式运算不正确，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式、和积的乘方的运算法则逐项判断即可．
8．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线的概念；三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意；
B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况：
两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）．
两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等．
所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意；
C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意；
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用线段、直线的性质、全等三角形的判定、垂线的性质逐一判断解题．
9．【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：A. 样本容量是，结论正确，此选项不符合题意；
B. 平均数是，结论正确，此选项不符合题意；
C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，，
中位数是，
结论错误，此选项符合题意；
D.的权数是，结论正确，此选项不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】根据方差公式可求出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，依次判断各选项即可求解.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点分别是的边的中点，
，，，，，，
四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确；
图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确；
四边形为平行四边形，
四边形的周长，故③正确；
点分别是边的中点，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到、、是平行四边形判断①；由平行四边形的性质得到四个小三角形为全等三角形判断②；计算平行四边形的周长判断③；根据中点的定义得到等积式判断④解答即可．
11．【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先把除法化成乘法，然后约分解题．
12．【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点P的坐标为（-3，-2），
∴点P到x轴的距离为2，
故答案为：2.
【分析】利用点坐标的定义分析求解即可.
13．【答案】四边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
理由如下∶
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
【分析】利用四条边都相等的四边形是菱形解答即可．
14．【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程的两个根为a、b，
∴a+b＝﹣3，
∵方程的一根a＝﹣2，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根的值。
15．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，
故答案为：甲.
【分析】利用中位数的意义及甲乙两班的中位数，可作出判断.
16．【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：140 ．
【分析】根据平行线的性质求出∠4的度数，然后根据邻补角求出∠5，然后根据三角形的外角解答即可．
17．【答案】10121
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
……
有六边形个，需要根小棒，
∴有六边形2024个，需要火柴棒（根）．
故答案为：10121．
【分析】观察图形得到第个六边形需要根小棒，然后代入数值计算解题即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，根据正方形的性质得到，，，，即可得到，解题即可．
19．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂、绝对值、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
20．【答案】解：
=
当时，
原式
．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分，再计算减法，然后代入数值计算解题即可．
21．【答案】（1）解：本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是；
（2）解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为（人），补全条形统计图如图所示．
（3）解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“体育运动”小组人数除以它的占比求出样本总量，再根据×选择“美工制作”小组的占比即可；
（2）运用样本容量减去其它组的人数求出“音乐舞蹈”小组人数，补全条形统计图解题；
（3）利用1600ד爱心传递”兴趣小组的占比即可解题．
（1）解：本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是；
（2）解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
（3）解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为（人）．
22．【答案】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据得到与全等，根据全等三角形的对应角相等得到 ，即可得到结论；
（2）根据得到 ，即可得到，然后根据两组对比啊分别相等的四边形是平行四边形解题即可．
（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
23．【答案】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
【知识点】三角形-动点问题；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设点P，Q出发x秒，根据三角形的面积公式列一元二次方程解答即可；
（2）设点P，Q出发y秒后，，即可得到，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，
∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
24．【答案】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，即可得到，进而求出，然后根据解直角三角形求出BE长，CE长，然后根据线段的和差求出AE长，即可得到点C的坐标；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，连接与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，然后利用待定系数法求直线CD的解析式 ，即可得到点P的坐标．
（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
25．【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
（2）解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
（3）解：
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线与x轴、y轴的交点C、D的坐标；借助函数图象得到直线位于双曲线上方时自变量x的取值范围即可；
（3）根据点C、D的坐标，利用割补法求出三角形的面积．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
（2）解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
（3）解：
．
26．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：如图2-1，连接AM．
∵，
∴是直角二角形．
∵点是线段的中点，
∴．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②如图2-2，过点M作交于点N，
∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，
经检验，是分式方程的解，
即．
【知识点】解分式方程；勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，然后根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）①连接，即可得到．得到点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，取最小值．然后利用勾股定理即求出解题．
②过点M作交于点N，即可得到，进而得到．设，然后利用，证明，即可得到，求出长即可．
（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：如图2-1，连接AM．
∵，
∴是直角二角形．
∵点是线段的中点，
∴．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②如图2-2，过点M作交于点N，
∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，
经检验，是分式方程的解，
即．
1 / 1湖南省娄底市2025年中考一模数学试题
1．（2025·娄底模拟）在，，0，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
这四个数中，最小的数是，
故答案为：A．
【分析】根据实数的比较大小法则“负数大的反而小，0大于一切负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小”解答即可．
2．（2025·娄底模拟）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．（2025·娄底模拟）一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．（2025·娄底模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵
∴一元二次方程的根的情况是无实数根，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可．
5．（2025·娄底模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故答案为：B.
【分析】先利用移项，合并同类项、系数化为1解一元一次不等式组，然后在数轴上表示不等式的解集即可.
6．（2025·娄底模拟）若是一个锐角，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图所示：
设，
∵，
∴，
设，
则，
∴．
故答案为：C．
【分析】设，根据勾股定理得到AC长，然后根据余弦的定义解答即可．
7．（2025·娄底模拟）下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
B．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
C．，原式运算正确，故本选项不符合题意；
D．，原式运算不正确，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式、和积的乘方的运算法则逐项判断即可．
8．（2025·娄底模拟）下列命题中错误的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．两点确定一条直线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线的概念；三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意；
B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况：
两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）．
两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等．
所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意；
C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意；
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用线段、直线的性质、全等三角形的判定、垂线的性质逐一判断解题．
9．（2025·娄底模拟）随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是 B．平均数是
C．中位数是 D．的权数是
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：A. 样本容量是，结论正确，此选项不符合题意；
B. 平均数是，结论正确，此选项不符合题意；
C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，，
中位数是，
结论错误，此选项符合题意；
D.的权数是，结论正确，此选项不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】根据方差公式可求出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，依次判断各选项即可求解.
10．（2025·娄底模拟）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点分别是的边的中点，
，，，，，，
四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确；
图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确；
四边形为平行四边形，
四边形的周长，故③正确；
点分别是边的中点，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到、、是平行四边形判断①；由平行四边形的性质得到四个小三角形为全等三角形判断②；计算平行四边形的周长判断③；根据中点的定义得到等积式判断④解答即可．
11．（2025·娄底模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先把除法化成乘法，然后约分解题．
12．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是　 　.
【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点P的坐标为（-3，-2），
∴点P到x轴的距离为2，
故答案为：2.
【分析】利用点坐标的定义分析求解即可.
13．（2025·娄底模拟）如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
【答案】四边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
理由如下∶
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
【分析】利用四条边都相等的四边形是菱形解答即可．
14．（2025·娄底模拟）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　．
【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程的两个根为a、b，
∴a+b＝﹣3，
∵方程的一根a＝﹣2，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根的值。
15．（2025·娄底模拟）在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是　 　班.
　 人数 平均数 中位数 方差
甲班 45 82 91 19.3
乙班 45 87 89 5.8
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，
故答案为：甲.
【分析】利用中位数的意义及甲乙两班的中位数，可作出判断.
16．（2025·娄底模拟）如图，，，，则　 　
【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：140 ．
【分析】根据平行线的性质求出∠4的度数，然后根据邻补角求出∠5，然后根据三角形的外角解答即可．
17．（2025·娄底模拟）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍　 　根．
【答案】10121
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
……
有六边形个，需要根小棒，
∴有六边形2024个，需要火柴棒（根）．
故答案为：10121．
【分析】观察图形得到第个六边形需要根小棒，然后代入数值计算解题即可．
18．（2025·娄底模拟）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，根据正方形的性质得到，，，，即可得到，解题即可．
19．（2025·娄底模拟）计算：
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂、绝对值、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
=
当时，
原式
．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分，再计算减法，然后代入数值计算解题即可．
21．（2025·娄底模拟）某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
【答案】（1）解：本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是；
（2）解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为（人），补全条形统计图如图所示．
（3）解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“体育运动”小组人数除以它的占比求出样本总量，再根据×选择“美工制作”小组的占比即可；
（2）运用样本容量减去其它组的人数求出“音乐舞蹈”小组人数，补全条形统计图解题；
（3）利用1600ד爱心传递”兴趣小组的占比即可解题．
（1）解：本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是；
（2）解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
（3）解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为（人）．
22．（2025·娄底模拟）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据得到与全等，根据全等三角形的对应角相等得到 ，即可得到结论；
（2）根据得到 ，即可得到，然后根据两组对比啊分别相等的四边形是平行四边形解题即可．
（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
23．（2025·娄底模拟）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
（1）点出发几秒后，可使的面积为？
（2）点出发几秒后，？
【答案】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
【知识点】三角形-动点问题；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设点P，Q出发x秒，根据三角形的面积公式列一元二次方程解答即可；
（2）设点P，Q出发y秒后，，即可得到，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，
∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
24．（2025·娄底模拟）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，．
（1）求点的坐标；
（2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？
【答案】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，即可得到，进而求出，然后根据解直角三角形求出BE长，CE长，然后根据线段的和差求出AE长，即可得到点C的坐标；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，连接与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，然后利用待定系数法求直线CD的解析式 ，即可得到点P的坐标．
（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
25．（2025·娄底模拟）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
（2）解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
（3）解：
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线与x轴、y轴的交点C、D的坐标；借助函数图象得到直线位于双曲线上方时自变量x的取值范围即可；
（3）根据点C、D的坐标，利用割补法求出三角形的面积．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
（2）解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
（3）解：
．
26．（2025·娄底模拟）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：如图2-1，连接AM．
∵，
∴是直角二角形．
∵点是线段的中点，
∴．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②如图2-2，过点M作交于点N，
∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，
经检验，是分式方程的解，
即．
【知识点】解分式方程；勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，然后根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）①连接，即可得到．得到点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，取最小值．然后利用勾股定理即求出解题．
②过点M作交于点N，即可得到，进而得到．设，然后利用，证明，即可得到，求出长即可．
（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：如图2-1，连接AM．
∵，
∴是直角二角形．
∵点是线段的中点，
∴．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②如图2-2，过点M作交于点N，
∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，
经检验，是分式方程的解，
即．
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