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湖南省长沙市2025中考第一次模拟考试数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列数中是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.1223
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，此选项符合题意；
B、0是有理数，此选项不合题意．
C、是有理数，此选项不合题意．
D、0.1223是有理数，此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数为无理数"并结合各选项即可判断求解.
2．（2025·长沙模拟）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3．（2025·长沙模拟）湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 71000000 用科学记数法可以表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．（2025·长沙模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
因此选项A不符合题意；
因此选项B符合题意；
因此选项C不符合题意；
因此选项D不符合题意.
答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的计算方法逐项进行判断即可.
5．（2025·长沙模拟）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（　　）
A．乙班视力值的众数是
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：甲班的数据为：，
∴平均数为：；
中位数为：；
方差为：
乙班的数据为：，
∴众数为，
平均数为：；
中位数为：；
方差为：；
故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班；
∴D选项描述错误；
故答案为：D．
【分析】从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，然后比较大小即可判断求解．
6．（2025·长沙模拟）如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
，
是等腰直角三角形，
根据矩形的性质可得：，
，
在中，，，
．
故答案为：B．
【分析】过点作，结合已知可得是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC的值，在Rt△ABC中，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
7．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．2或4
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：由点I )在两坐标轴的角平分线上，
得 或
解得 或
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得答案.
8．（2025·长沙模拟）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，根据题意列方程即可 ．
9．（2025·长沙模拟）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数图象经过点(2，0)，
即 故D选项正确，不符合题意；
∵函数图象不经过第二象限，
故 A选项正确，不符合题意；
故B选项正确，不符合题意；
故C选项错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.
10．（2025·长沙模拟）如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　）
A． B． C．18 D．16
【答案】C
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AC.
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°， AB=BC，
∴△ABC是等边三角形， 设AB=BC=AC=a，
则BH =a-14， BG =a-6，
∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH =∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH =∠ACG=60°，
∴∠BGH=∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴a=18或2(舍弃)，
∴AB=18，
故答案为：C.
【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG， 推出 由此构建方程即可解决问题.
11．（2025·长沙模拟）因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．（2025·长沙模拟）已知一元二次方程的一个根是3，则　 　
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得
故答案为： 6.
【分析】把 代入方程： 得关于a的方程 然后解关于a的方程即可.
13．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为　 　．
【答案】-2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 双曲线同时经过点，，
∴k=2a=4(a+1)，
解得：a=-2，
故答案为：-2.
【分析】把，的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可.
14．（2025·长沙模拟）如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小，
，
由题意得：，，，
∴，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
【分析】由当点运动到时，点到的距离最小，由线段的和差P1Q1=OQ1+OP1求得OP1的值，在Rt△OAP1中，用勾股定理计算即可求解．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是　 　
【答案】30
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于M，
由作图可知，AG平分
由角平分线性质可知
，
故答案为：30.
【分析】过点D作于M，由作图可知平分 ，进而由角平分线的性质可得 再根据三角形的面积公式计算即可求解.
16．（2025·长沙模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　 　．
【答案】2701
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个数分别为 k，其中 且k为整数.
则 ，
设两个数分别为 其中 且k为整数.
则
，
解得时，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.
且k为整数)均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设 是智慧数，那么必有两个正整数m和n， 使得
和m-n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数.可左、右两边不相等.所以 不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又·
∴第2024个智慧数在 (组)，并且是第1个数，即(
故答案为： 2701.
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为 k，其中 且k为整数，即智慧数 ，由于k为正整数， 则 和 就是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差.
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂、零指数次幂和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可.
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】解：
＝
＝
＝
＝，
∵，，
∴，，
∴当时，原式．
或当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分化为最简分式，然后根据分式有意义的条件把 代入计算即可.
19．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
【答案】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN的长即可.
20．（2025·长沙模拟）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
∵
∴，
∵H为中点，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得到再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；
(2)结合 (1)的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.
21．（2025·长沙模拟）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
【答案】（1）40；144
（2）解：B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
；
（3）解：列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数， 用 乘以C类别人数所占比例即可得；
(2)根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数即可得出答案；
(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.
22．（2025·长沙模拟）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）解：∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是( 元，根据同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值.
23．（2025·长沙模拟）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）连接、，若，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）证明：如图，连接EF、BE，
由（1）可知，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可求证；
（2）连接EF、BE，结合已知，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△FDE∽△BCE，由相似三角形的对应角相等可得，再结合平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求解．
24．（2025·长沙模拟）在中，为的直径，为过C点的切线．
（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）解：由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵为过C点的切线，过点作的切线交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（1）（2）可得，，，
∴，
∴设，，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)由三角形内角和角的计算问题；
(2) 证明 则 得到 即可求解；
(3)设 则得到 即可求解.
25．（2025·长沙模拟）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
（1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】（1）解：与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：，或
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
，
解得：；
，
，
是整数，
；
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或
【知识点】二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)联立y=2x-1与 并整理得： 求出x值即可求解；
(2)根据“共享函数”的定义求出6 (3)分为①m≤-4，-41 / 1湖南省长沙市2025中考第一次模拟考试数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列数中是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.1223
2．（2025·长沙模拟）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙模拟）湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（　　）
A．乙班视力值的众数是
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
6．（2025·长沙模拟）如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．2或4
8．（2025·长沙模拟）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　）
A． B． C．18 D．16
11．（2025·长沙模拟）因式分解　 　．
12．（2025·长沙模拟）已知一元二次方程的一个根是3，则　 　
13．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为　 　．
14．（2025·长沙模拟）如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是　 　
16．（2025·长沙模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　 　．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
19．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
20．（2025·长沙模拟）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2025·长沙模拟）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
22．（2025·长沙模拟）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（2025·长沙模拟）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）连接、，若，求证：．
24．（2025·长沙模拟）在中，为的直径，为过C点的切线．
（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
25．（2025·长沙模拟）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
（1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，此选项符合题意；
B、0是有理数，此选项不合题意．
C、是有理数，此选项不合题意．
D、0.1223是有理数，此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数为无理数"并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 71000000 用科学记数法可以表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
因此选项A不符合题意；
因此选项B符合题意；
因此选项C不符合题意；
因此选项D不符合题意.
答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的计算方法逐项进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：甲班的数据为：，
∴平均数为：；
中位数为：；
方差为：
乙班的数据为：，
∴众数为，
平均数为：；
中位数为：；
方差为：；
故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班；
∴D选项描述错误；
故答案为：D．
【分析】从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，然后比较大小即可判断求解．
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
，
是等腰直角三角形，
根据矩形的性质可得：，
，
在中，，，
．
故答案为：B．
【分析】过点作，结合已知可得是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC的值，在Rt△ABC中，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：由点I )在两坐标轴的角平分线上，
得 或
解得 或
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，根据题意列方程即可 ．
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数图象经过点(2，0)，
即 故D选项正确，不符合题意；
∵函数图象不经过第二象限，
故 A选项正确，不符合题意；
故B选项正确，不符合题意；
故C选项错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.
10．【答案】C
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AC.
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°， AB=BC，
∴△ABC是等边三角形， 设AB=BC=AC=a，
则BH =a-14， BG =a-6，
∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH =∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH =∠ACG=60°，
∴∠BGH=∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴a=18或2(舍弃)，
∴AB=18，
故答案为：C.
【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG， 推出 由此构建方程即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得
故答案为： 6.
【分析】把 代入方程： 得关于a的方程 然后解关于a的方程即可.
13．【答案】-2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 双曲线同时经过点，，
∴k=2a=4(a+1)，
解得：a=-2，
故答案为：-2.
【分析】把，的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可.
14．【答案】
【知识点】圆的相关概念；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小，
，
由题意得：，，，
∴，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
【分析】由当点运动到时，点到的距离最小，由线段的和差P1Q1=OQ1+OP1求得OP1的值，在Rt△OAP1中，用勾股定理计算即可求解．
15．【答案】30
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于M，
由作图可知，AG平分
由角平分线性质可知
，
故答案为：30.
【分析】过点D作于M，由作图可知平分 ，进而由角平分线的性质可得 再根据三角形的面积公式计算即可求解.
16．【答案】2701
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个数分别为 k，其中 且k为整数.
则 ，
设两个数分别为 其中 且k为整数.
则
，
解得时，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.
且k为整数)均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设 是智慧数，那么必有两个正整数m和n， 使得
和m-n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数.可左、右两边不相等.所以 不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又·
∴第2024个智慧数在 (组)，并且是第1个数，即(
故答案为： 2701.
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为 k，其中 且k为整数，即智慧数 ，由于k为正整数， 则 和 就是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂、零指数次幂和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可.
18．【答案】解：
＝
＝
＝
＝，
∵，，
∴，，
∴当时，原式．
或当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分化为最简分式，然后根据分式有意义的条件把 代入计算即可.
19．【答案】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN的长即可.
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
∵
∴，
∵H为中点，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得到再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；
(2)结合 (1)的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.
21．【答案】（1）40；144
（2）解：B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
；
（3）解：列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数， 用 乘以C类别人数所占比例即可得；
(2)根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数即可得出答案；
(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.
22．【答案】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）解：∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是( 元，根据同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值.
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）证明：如图，连接EF、BE，
由（1）可知，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可求证；
（2）连接EF、BE，结合已知，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△FDE∽△BCE，由相似三角形的对应角相等可得，再结合平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求解．
24．【答案】（1）解：由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵为过C点的切线，过点作的切线交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（1）（2）可得，，，
∴，
∴设，，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)由三角形内角和角的计算问题；
(2) 证明 则 得到 即可求解；
(3)设 则得到 即可求解.
25．【答案】（1）解：与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：，或
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
，
解得：；
，
，
是整数，
；
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或
【知识点】二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)联立y=2x-1与 并整理得： 求出x值即可求解；
(2)根据“共享函数”的定义求出6 (3)分为①m≤-4，-41 / 1

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