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四川省资阳市安岳县2025年九年级第一次模拟考试数学试题
1．（2025·安岳模拟）-2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2025·安岳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安岳模拟）下列立体图形中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安岳模拟）2025年春节假期，安岳县游客接待量约913200人次，同比增长……印证着这座“中国石刻之乡”的文旅活力．请将数“913200”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安岳模拟）若一个边形的内角和为，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025·安岳模拟）猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．81，83 B．81，81.5 C．81.5，81 D．81，83.5
7．（2025·安岳模拟）如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·安岳模拟）如图，在中，，相交于点O，，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·安岳模拟）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2025·安岳模拟）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·安岳模拟）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2025·安岳模拟）一袋中装有若干个球，它们除颜色外无其他差别，其中有8个白球，从盒子中任意摸出一个，摸到白球的概率是，则该袋中球的总个数为 ．
13．（2025·安岳模拟）若是方程的根，则的值为 ．
14．（2025·安岳模拟）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转到点处，则点的坐标为 ．
15．（2025·安岳模拟）如图1，点E，F在矩形纸片的边上，且，将矩形沿折叠成图2，与交于点G；点H，K分别在线段，上，再沿折叠成图3，此时恰好过点E．若，则的度数为 ．
16．（2025·安岳模拟）如图，已知，，，，都是等边三角形，点，，，都在轴上，点，，，都在直线上，设点的纵坐标为，则的值为 ．
17．（2025·安岳模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·安岳模拟）年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；
（2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；
（3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19．（2025·安岳模拟）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元．
（1）分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；
（2）芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？
20．（2025·安岳模拟）如图，已知直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，．
（1）求直线的解析式；
（2）连接并延长交双曲线于点，连接交轴于点，求的面积．
21．（2025·安岳模拟）如图，在中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
22．（2025·安岳模拟）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）
（1）求坡顶处的高度；
（2）求风筝的飞行高度（即的长）．
23．（2025·安岳模拟）【探究发现】
（1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长．
24．（2025·安岳模拟）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项不正确，
B.，原选项错误，
C.，原选项正确，
D.，原选项错误，
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意；
B．该三棱柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意；
C．该三棱柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意；
D．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据从正面看到的几何图形逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
解得n=7，
故答案为：D.
【分析】根据多边形内角和公式列式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：80，81，81，82，83，84，
最中间的两个数据为：81，82，则中位数为：，
出现次数最多的为：81，则众数为：，
故答案为：B．
【分析】
根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，垂直平分，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知，垂直平分，即可得到，，然后根据菱形的性质得到，根据求出GH长，再根据勾股定理求出DG长解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，
，
在中，根据勾股定理可得．
．
在中，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：B．
【分析】先根据平行四边形的性质和勾股定理求出的长度然后根据正弦的定义求出∠ACB的度数，根据解题即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故答案为：D．
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，根据交点的个数得到方程的解的情况解题．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，根据勾股定理得到AF长，然后推理得到，即可得到，再证明是平行四边形，即可得到，当点A，G，H三点共线时，值最小值为，根据勾股定理解答即可．
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案是：x≥﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】36
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：（个）
故答案为：36．
【分析】根据白色球的数量除以概率解答即可．
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的根，
故答案为：1．
【分析】把a代入方程得到，然后整体代入代数式计算解题．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作轴于点，轴于点，
则
将点绕原点顺时针旋转到点处，
，，，，
，
，
，
，，
点在第四象限，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】作轴于点，轴于点，得到，即可得到，，求出点P'的坐标解题．
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：矩形中，
，
，
，
由折叠性质可知，在图2中，．
图3中，延长至，
，
，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至，根据折叠得到，，即可求出∠EKH的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
同理：点的纵坐标为，点的纵坐标为，
，
∴点的纵坐标，
∴，
故答案为：．
【分析】过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，得到点C和D的坐标，即可得到，根据勾股定理得出的长，即点的纵坐标，同理点，点的纵坐标，得到规律解题即可．
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式荣芬，然后除法化为乘法，然后分子、分母分解因式约分化简，再把x的值代入计算解题．
18．【答案】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)
C（关注较少）人数：(人)
画图为
（2）解：依题意得：B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数：(人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D类人数除以占比求出总人数，然后用总人数减去其他三组的人数求出C类别人数，补全条形统计图即可；
（2用500×B组的占比解答即可数；
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)
C（关注较少）人数：(人)
画图为
（2）解：依题意得：
B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数：(人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19．【答案】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据“ 购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，根据“购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元”列出一元一次不等式，取最大整数解解题．
（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．
，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
20．【答案】（1）解：直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，，
，，
，，
，，
将，代入，那么有
，解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接并延长交双曲线于点，，
，
直线的表达式为：，
时，，
，
设直线为：，代入，，
，
，
，
当时，，
，
，
的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）求得点和D的坐标，根据待定系数法求得直线的表达式，然后求出直线与直线与轴的交点，然后根据三角形的面积公式计算解题．
（1）解：直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，，
，，
，，
，，
将，代入，那么有
，解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接并延长交双曲线于点，，
，
直线的表达式为：，
时，，
，
设直线为：，代入，，
，
，
，
当时，，
，
，
的面积为：．
21．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，，如图所示：
，，
，，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据对边对等角得到，即可得到得到，继而得到解答即可；
（2）连接，，根据正切求出长，然后根据勾股定理得到长，然后得到，即可得到，再证明，根据正切解题即可．
（1）证明：连接，如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，，如图所示：
，，
，，
是直径，
22．【答案】（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于，作于，设，根据勾股定理求出值解题即可；
（2）根据勾股定理求得长，设，然后证明是矩形，得到BF和DF长，再得到是等腰直角三角形，即可根据求出的值解题即可．
（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
23．【答案】（1）证明：，，，
，
，，，
，
．
（2）解：过点作的延长线于点，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即
，解得，
，
，，
，
．
（3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图，
则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，，
在中，．
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）过点作的延长线于点，即可得到，，然后根据对应边成比例得到，设，可求得，然后代入计算解题；
（3）在上取点，使，过点作的延长线于点，可得，根据对应边成比例得到，，然后利用30度的直角三角形的特征得到，即可得到，设，然后在中利用勾股定理表示在中求出EF的长即可解题．
24．【答案】（1）解：把，代入可得，解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，得到为等腰直角三角形，即的周长最大，最大，设，则，表示出长，化为顶点式得到最值即可；
（3）先求出点P的坐标，然后分点在轴正半轴或当点在轴负半轴，过点作轴于点，即可得，根据对应边成比例求出的值解答即可．
（1）解：把，代入可得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
1 / 1四川省资阳市安岳县2025年九年级第一次模拟考试数学试题
1．（2025·安岳模拟）-2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。
2．（2025·安岳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项不正确，
B.，原选项错误，
C.，原选项正确，
D.，原选项错误，
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可．
3．（2025·安岳模拟）下列立体图形中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意；
B．该三棱柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意；
C．该三棱柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意；
D．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据从正面看到的几何图形逐项判断即可．
4．（2025·安岳模拟）2025年春节假期，安岳县游客接待量约913200人次，同比增长……印证着这座“中国石刻之乡”的文旅活力．请将数“913200”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
5．（2025·安岳模拟）若一个边形的内角和为，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
解得n=7，
故答案为：D.
【分析】根据多边形内角和公式列式求解即可.
6．（2025·安岳模拟）猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．81，83 B．81，81.5 C．81.5，81 D．81，83.5
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：80，81，81，82，83，84，
最中间的两个数据为：81，82，则中位数为：，
出现次数最多的为：81，则众数为：，
故答案为：B．
【分析】
根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
7．（2025·安岳模拟）如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，垂直平分，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知，垂直平分，即可得到，，然后根据菱形的性质得到，根据求出GH长，再根据勾股定理求出DG长解答即可．
8．（2025·安岳模拟）如图，在中，，相交于点O，，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，
，
在中，根据勾股定理可得．
．
在中，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：B．
【分析】先根据平行四边形的性质和勾股定理求出的长度然后根据正弦的定义求出∠ACB的度数，根据解题即可．
9．（2025·安岳模拟）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故答案为：D．
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，根据交点的个数得到方程的解的情况解题．
10．（2025·安岳模拟）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，根据勾股定理得到AF长，然后推理得到，即可得到，再证明是平行四边形，即可得到，当点A，G，H三点共线时，值最小值为，根据勾股定理解答即可．
11．（2025·安岳模拟）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案是：x≥﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．（2025·安岳模拟）一袋中装有若干个球，它们除颜色外无其他差别，其中有8个白球，从盒子中任意摸出一个，摸到白球的概率是，则该袋中球的总个数为 ．
【答案】36
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：（个）
故答案为：36．
【分析】根据白色球的数量除以概率解答即可．
13．（2025·安岳模拟）若是方程的根，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的根，
故答案为：1．
【分析】把a代入方程得到，然后整体代入代数式计算解题．
14．（2025·安岳模拟）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转到点处，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作轴于点，轴于点，
则
将点绕原点顺时针旋转到点处，
，，，，
，
，
，
，，
点在第四象限，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】作轴于点，轴于点，得到，即可得到，，求出点P'的坐标解题．
15．（2025·安岳模拟）如图1，点E，F在矩形纸片的边上，且，将矩形沿折叠成图2，与交于点G；点H，K分别在线段，上，再沿折叠成图3，此时恰好过点E．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：矩形中，
，
，
，
由折叠性质可知，在图2中，．
图3中，延长至，
，
，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至，根据折叠得到，，即可求出∠EKH的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
16．（2025·安岳模拟）如图，已知，，，，都是等边三角形，点，，，都在轴上，点，，，都在直线上，设点的纵坐标为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
同理：点的纵坐标为，点的纵坐标为，
，
∴点的纵坐标，
∴，
故答案为：．
【分析】过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，得到点C和D的坐标，即可得到，根据勾股定理得出的长，即点的纵坐标，同理点，点的纵坐标，得到规律解题即可．
17．（2025·安岳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式荣芬，然后除法化为乘法，然后分子、分母分解因式约分化简，再把x的值代入计算解题．
18．（2025·安岳模拟）年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；
（2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；
（3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)
C（关注较少）人数：(人)
画图为
（2）解：依题意得：B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数：(人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D类人数除以占比求出总人数，然后用总人数减去其他三组的人数求出C类别人数，补全条形统计图即可；
（2用500×B组的占比解答即可数；
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)
C（关注较少）人数：(人)
画图为
（2）解：依题意得：
B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数：(人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19．（2025·安岳模拟）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元．
（1）分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；
（2）芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？
【答案】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据“ 购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，根据“购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元”列出一元一次不等式，取最大整数解解题．
（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．
，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
20．（2025·安岳模拟）如图，已知直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，．
（1）求直线的解析式；
（2）连接并延长交双曲线于点，连接交轴于点，求的面积．
【答案】（1）解：直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，，
，，
，，
，，
将，代入，那么有
，解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接并延长交双曲线于点，，
，
直线的表达式为：，
时，，
，
设直线为：，代入，，
，
，
，
当时，，
，
，
的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）求得点和D的坐标，根据待定系数法求得直线的表达式，然后求出直线与直线与轴的交点，然后根据三角形的面积公式计算解题．
（1）解：直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，且，，
，，
，，
，，
将，代入，那么有
，解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接并延长交双曲线于点，，
，
直线的表达式为：，
时，，
，
设直线为：，代入，，
，
，
，
当时，，
，
，
的面积为：．
21．（2025·安岳模拟）如图，在中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，，如图所示：
，，
，，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据对边对等角得到，即可得到得到，继而得到解答即可；
（2）连接，，根据正切求出长，然后根据勾股定理得到长，然后得到，即可得到，再证明，根据正切解题即可．
（1）证明：连接，如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，，如图所示：
，，
，，
是直径，
22．（2025·安岳模拟）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）
（1）求坡顶处的高度；
（2）求风筝的飞行高度（即的长）．
【答案】（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于，作于，设，根据勾股定理求出值解题即可；
（2）根据勾股定理求得长，设，然后证明是矩形，得到BF和DF长，再得到是等腰直角三角形，即可根据求出的值解题即可．
（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
23．（2025·安岳模拟）【探究发现】
（1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，，
，
，，，
，
．
（2）解：过点作的延长线于点，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即
，解得，
，
，，
，
．
（3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图，
则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，，
在中，．
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）过点作的延长线于点，即可得到，，然后根据对应边成比例得到，设，可求得，然后代入计算解题；
（3）在上取点，使，过点作的延长线于点，可得，根据对应边成比例得到，，然后利用30度的直角三角形的特征得到，即可得到，设，然后在中利用勾股定理表示在中求出EF的长即可解题．
24．（2025·安岳模拟）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把，代入可得，解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，得到为等腰直角三角形，即的周长最大，最大，设，则，表示出长，化为顶点式得到最值即可；
（3）先求出点P的坐标，然后分点在轴正半轴或当点在轴负半轴，过点作轴于点，即可得，根据对应边成比例求出的值解答即可．
（1）解：把，代入可得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
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